J'- //os , g.
MISCELLANEA TAURINENSIA.
TOMUS TERTIUS.
. s.
MELANGES
D E
PHILOSOPHIE ET DE MATHEMATIQUE
D E L A
SOCIETE ROYALE
D E TURIN
Pour les Annees 1762-1765.1
A TURIN, M D C C L X V L
DE L'IMPRIMERIE ROYALE.
AVEC PERMISSION.
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•(
■ ',- * •
TABLE
des Memoires contenus dans ce Volume.*
Memoire fur la different e diffolubilite des fels neutres dans
t efprit de via , contenant des observations particular es fur
plufieurs -de- ces fels. Par M. MacQUER . . page t
JoHANNIS FRANCISCI CiGNA de novis quibufdam e.xj)erim*»
tis electricis . • .... 31
Hujus Opufculi impreiTd exemplaria jam inde a die 21.
Februarii hujus anni 1766. dofrif. Viris & Amicis Au-
ttor ditlribuerat.
De I 'action de la chaux vive fur differentes fubftancts. Par,
M. LE COMTE SaLUCES . . . . 75
Experiences pour chercher les caufes des changemens qui arri-
vent au firop violat par le melange de differentes fubflan-
ces. Par le meme . . . . .155
Johanms - BaPTISTae Gaber de humoribus animalibus fpe~
cimen tertium . . . . . . 165
•Caroli Allionii flirpium aliquot defcriptiones cum duorum
novorum generum conflilutione . . . 176
Manipulus mfe3.orum Taurinenjium a CAROLO ALLIONIO
edit us . . . . . . . 185
JoH. Petri Mariae Dana de Hirudinis nova fpecie , no-
xa , remediifque adhibendis . . . . 199
EjUSDEM de quibufdam Urticae marinae vulgo diclae Jiffe-
rentiis . . . . , , . 215
Eclair ciffemens fur le mouvement des cordes vibrantes. Par
M. EULER ...... page 1
Recherches Jur 1$ mouvement des cordes inigalement groffes.
Par M. Evler . , . . . 27
Recherches fur t integration de /' equation ( — =— ) = aa.
( - — ) -+■- (t-)-h - z • Par M. Euler . p. 60
vdx*'xvdx/x» r
Recherches fur la conflruclion des nouvelles Lunettes a 5 & 6
verres, & leur perfection ulterieure. Par M. Euler . 92
For mules de Dioptrique neceff aires pour I 'intelligence du Me-
moire precedent. Par M. DE LA GRANGE . . . 151
q
Obfervationes circa integralia jormularum lx*1 — dx (i— x") " ' ,
pofito pofl interaticnem X = i , Auclore L. EuLERO 1 5 6
Solution de dijfirens probUmes de calcul integral par M. DE
la Grange . . . . . . 179
Extrait de dijferentes Lettres de M. D'ALEMBERT a M. DE
LA Grange ecrites pendant les annies 1764. & 1765. 381
MEMOIRE
MEMOIRE
Sur la difference difjblubilite des Sels neutres dans
l' ejpnt de vin contenant des obfervations
paniculieres fur plujieurs de ces Sels.
Par M. MACQUER.
L^Examen des proprieties des Sels neutres eft une des plus
importantes , mais en m&me terns une des plus va-
ftes matieres que nous offre la Chimie , fur tout fi 1' on
&end comme cela eft a propos la denomination de Sels
neutres a toutes les combinaifons des acides quelconques
avec toutes les fubftances terreufes , alkalines falines &
metalliques , avec les quelles ces acides font capables de
s' unir. La claffe de ces corps compofes ou furcompofes
eft fi Vendue qu'il s' en faut encore beaucoup qu'on les
connoifle tous; il en refte un grand nombre que les Chy-
miftes n'ont jamais vii , & Ton peut dire meme que toutes
les proprietes des Sels neutres les plus communs , & les
plus ufites , ne nous font point encore connues.
Une des proprietes de ces Sels qu'il eft le plus impor-
tant de connoitre c' eft leur diflblubilite plus ou moins gran-
de , c' eft cette propriete qui peut donner le plus de lu-
miere fur le veritable etat , ou fur le degre de faturation
reciproque de leurs acides & de leurs bales ; il eft aife de
fentir aulli que e'eft de cette meme propriete que depen-
dent principalement les phenomenes de^ leur criftallifation
& que par confequent elle eft intimement liee avec la theo-
• rie de cette grande & intereffante operation.
a Mais
t
Mais quelques belles que foient les fpdculations qu'on
puifle faire fur ces objets \ il n' eft pas moins certain qu'el-
les ne peuvent £tre qu'incertaines & mSme trompeufes ,
il moins qu'elles ne ibient fondles fur les faits, or les faits
nous manquent prdcifdment fur cette matiere , ' ou du
moins nous pouvons affurer qu'il s'en faut encore beaucoup
qu'on ait conflate" tons ceux qu'il eft eflentiel de connoitre.
Plufieurs bons Chymiftes ont a la vdrite" determine la quan-
tite que pent difioudre l'eau de plufieurs des Sels neutres
des plqs connus" 3c c' eft aflurement un tres-grand avanta-
. mais T cau n' eft pas lie feul diffolvant qui ait de Taction
fur les Sels ; fefprit de vin qui eft un menftrue tenant en
merac terns de la nature de l'eau, & de celle de i'huile
eft capable d'agir aufli fur ces compofds & d'en difioudre
plufieurs , en plus grande quantite que 1' eau meme ; or
perfonne que jc fache n' a entrepris dc determiner quels
ibnt les Sels , dont f efprit de vin eft le diflblvant & de
quelle quantite il fe charge de chacun de ces Sels ; on
fcait feulemcnt en gros qu'il y a certains Sels , que l'efprit
de vin dilTout tels que la terre foliee , le Sel fedatif , tan-
dis qu'il nc touche point ;i d'autres , mais c' eft la tout
ce que Ton fcait, & cet objet merite aflurdment bien qu'
on fe donne la peine de 1' examiner plus a fondj une fuite
rl' experiences exatles fur cette matiere ne peut done man-
■rjucr de rcpandre du jour non feulement fur la nature des
reus Sels, mais encore fur ceiie de l'efprit de vin;
lors qu'on conno.tra bien quels font les Sels que ce men-
ftrue dilTout, quels font ceux qu'il ne dilTout point, on fera
a portce d'entreprendre une autre faite d' experiences re-
latives a la ciiftahifation de ces derniers qu'on pourra pro-
r par c!c> a, 'virions fucceinVe, de dirfcrentes quantite^
fit de vin dans 'f cau qui ie> icnt en diifolution. Jiniin
prit de vin 6taac un dc .jus qu'on peut cmplo-'
avec le plu - analyie des vegctaux &
des
des animaux par les menftrues , Iaquelle eft fans contrcdit
la plus exa£te & la plus Cure de routes, on fera a port?;
de connoitre quelles font celles des partie;; Salines de ces
compofes que 1' efprit de vin en peut extruirc , & de les
feparer enfuite de ce diffolvant pour les obtenir dans lcur
etat naturel , & fans qn'elles aient fouffert la moindre alte-
ration.
Ce font la les princip lies considerations qui m' ont de-
termine a catreprendre le travail que j' ai 1' honneur de
prefenter a P Illuftre Academie des Sciences de Turin, &
de ibumettre a fes lumieres ; mais , comme je P ai deja
remarque cet objet eft d' une etendue ft confiderable , qu'il
feroit impolfible de Pi epuiier dans un feul Memoirc ; j ai
done ete oblige de me borner dans celui-ci a un certain
nombre de Sels , j* ai ch'oifis ceux qui refultent de
Punion des trois acides mineraux , Kitriolique , Nitrcux & Ma-
rin , avec la Terre cakaire , [ 'Alkali fixe vegetal , F Alkali
fixe mineral, ou la bafe du Sel commun , T Alkali volatil , T Ar-
gent , le Cuivre , le Per & le Mercure.
Comme la qualite de P efprit de vin peut influcr beau-
coup fur les refultats des experiences de la nature de celles
dont je vais rendre compte , il eft a propos que je deter-
mine de quel efpece etoit P efprit de vin dont je me fuis
fervi j il a ete le meme pour toutes les experiences , j' ai
cru devoir me fervir d' efprit de vin le plus dephlegme &
le mieux recline qu'il feroit poffible, mais rectifie fans au-
cune addition ny intermede , & fimplement par des di-
ftillations bien menagees ck fufnfamment reiterecs , dans
Pappreheniion ou qu'il ne tut altere par P action des in-
termedes , ou qu'il n' en enlevat quelques portions avee
lui dans la diftiilation , & que cela n'oecifioiMat quelquc
faux refuitat dans les experiences. Celui dont je me fois
fervi & qui avoit etc reenhc comme je P ai dit fans au-
cun intermede, pefoit iixgros cinqiiante quatre grains dans
a 2 unc
4
une fiole qui contient jufte une once d' eau diftillee , le
Thermometre de M. de Reaumur etant a 10 degres au
deffus du terme de la glace. Je fcai qu'il eft poffible d' avoir
de 1' efprit de vin encore plus dephlegme , j' en ai vu qui
ne pefoit que fix gros 48 a 49 grains dans la bouteille d'une
once d' eau , mais j' ai donne la preference a celui dont je
viens de parler , par les raifons que j' ai dites, fauf a regar-
der comme nulles les quantites de Sel qu'il pourroit diffoudre
a raifon de fon peu de flegme furabondant , quand ces
quantites ne feroient que proportionnees a ce peu de fleg-
me , c' eft-a-dire afles petites , pour ne pouvoir etre ni
pefees , ni meme appreciees.
En fecond lieu comme 1' eau de la criftallifation des Sels
pouvoit contribuer aufli a en faire diffoudre une beaucoup
plus grande quantite dans 1' efprit de vin , tous ceux des
Sels que j' ai foumis a mes experiences, out ete d'abord
entierement depouilles de leur eau de criftallifation par la
defication la plus exa£te , j' ai verfe dans un matras fur
chacun de ces Sels ainfi prepares une demi once de mon
efprit de vin ; j' ai mis le matras bouche, fur un bain de
fable & je 1' ai chauffe jufqu'a ce que l'eiprit de vin com-
men$at a bouillir , j' ai filtre cet efprit de vin tout bouil-
lant , je 1' ai laiffe refroidir pour obferver les criftallifations
qui pourroient fe faire par refroidiffement , apres quoi j'ai
fait evaporer entierement cet efprit de vin pour recueillir
& pefer ce qu'il laiffoit de rendu falin. Toutes ces cir-
conftances ont ete obfervees pour chacune de mes expe-
riences ; elles ont ete aufli reiterees chacune deux fois de
la meme maniere, avec cette difference que la feconde fois
je faifois bruler mon efprit de vin apres la digeftion fur
le Sel, au lieu de l'evaporer, pour examiner les phenome-
nes que fa flamme pourroit prefenter.
Tartre
Tartre vitriole.
Apres avoir avoir compofe le tartre vitriole moi meme
par la combinaifon exa&e & jufqu'au point precis de fa-
turarion de 1' acide vitriolique avec 1' aJkali fixe vegetal
tres-pur , apres 1' avoir exact ement defleche , je 1' ai traite
comme je 1' ai dir avec une demi once de mon efprit de
vin, cet efprit de vin n'a rien laifle criftallifer par le refroi-
diirement , & n' a laifle par fon evaporation entiere qu'une
quantite trop petite de matiere faline pour pouvoir etre
pefee & appreciee , ce qui me determine a la regarder
comme nulle par la raifon que j' ai dite, ck a conclure que
1' efprit de vin ne diflbut point le Tartre vitriole. La
flamme de 1' efprit de vin qui avoit boiiilli fur ce Sel ne
difteroit abfolument en rien , de celle de 1' efprit de vin
le plus pur.
Nitre ordinaire.
Le Nitre que j'avois aufli compofe moi meme , comme
je 1' ai fait a 1' egard de tous les autres, s' eft diflbus dans
1' efprit de vin bouillant a la quantite de 4 grains fur la
demi once d' efprit de vin, laquelle pefe 188 grains une
partie de ces 4 grains de Nitre s' eft criftallifee tres-con-
f'ufement par le reffoidiflement. La flamme de cet efprit
de vin etoit beaucoup plus grande , plus haute , plus ar-
dente , plus jaune , & plus lumineufe que celle de l'efprit
de vin pur. La capfule dans laquelle cet efprit de vin
avoit ete brule eft reftee feche , & j' y ai trouve les quatre
grains de Nitre (ec. Je crois pouvoir coilclure de cette ex-
perience que 1' efprit de vin diflbut a 1' aide de la chaleur
de 1' ebullition ^ de fon poids de Nitre.
Sel
6
Set mann d Life d' alkali vegital nommi communement
Sel febrifuge de Sylvius.
■
L' efprit de vin apr& avoir bouilli fur le Sel marin a
bafe a" alkali fixe vegetal , rf a rien laifle criitallifer par le
refroidiflement ; par V evaporation il a laifle pres de j grains
de ce Sel. La fla'mme de cet efprit de vin etoit d'abord
comme celle de 1' elprit de vin pur , mais eile eft bien-
tot devenue grande, jaune, ardente , & lumineufe; il s'eft
trouve pareillement 5 -granis de Sel apres cette combuftion
ain(i l' efprit de vin diflbut — de fon poid du Sel dont il
eft queftion.
Sel de Glauber.
L' efprit de vin traite comme a 1' ordinaire par 1' ebul-
lition fur le Sel de Glauber defleche , n' a rien laifle cri-
ftallifer de fenfible par le refroidiflement; il n' a rien laifle
non plus apres fon evaporation , ny apres fa combuftion j
cependant fa flamme avoir une couleur rouge confiderable,
mais malgre cette couleur de la flamme je crois pouvoir
conclure que l'efprit de vin ne diflbut point le Sel de Glau-
ber , car on verra qu'il ne faut qu'une quantite infinimenr
petite de Sel pour changer totalement le caractere de la
flamme de 1' efprit de vin,
Nitre a bafe a" alkali marin nomme commummoxt
Nitre auadrangulaire.
L' efprit de vin traite avec le Nitre quadrangulaire a
laifle criitallifer par le refroidiflement , mais tres-conrufe-
tnent , une afses bonne quantity de ce Sel ; par 1' evapo-
ration & la deliccation duxout,il s'en eft trouve 15 grams.
La flamme de cet efprit de vin etoit d'un jaune lumineux
rou-
7
rougeatre depuis le commencement jufqu' a la fin ; elle
etoit d£cr6pitante & meme cpmme fulgurante & deton-
nante fur la fin j apres 1' entiere combuftion , il s' eft trou-
ve" 1 8 grains de Nitre quadrangulaire un peu humide , qui
{e font r^duits a 1 5 grains par la deficcation. 11 refulte
de cette experience que 1' efprit de vin diffout ~ de fon
poids de Nitre quadrangulaire.
Sel commun. »
Le Sel commun traite avec 1' efprit de vin ne s' eft point
diflbus en quantite bien appreciable. Cependant la flam-
me de 1' efprit de vin dans lequel il avoit bouilli avoit une
coulcur rouge considerable , & etoit plus grande 6k plus
ardcnte que celle de P elprit de vin pur.
Sel ammoniacal vitriolique.
Y ai fait le Sel ammoniacal vitriolique , qu'on nomme
aufii Sel ammoniac fecret de Glauber , en combinant enfem-
b!e jufqu'au point de faturation de l'acide vitriolique con-
centre avec de 1' alkali volaril concret degage du Sel am-
moniac par P alkali fixe ■> il s' eft fait dans P inftant du
melange une tres-vive ^flervefcence •> il s' eft excite beau-
coup de chaleur ; il s en eft eleve beaucoup de vapeurs
fort epaiftps d' un odeur finguliere. Ce Sel etant au point
de faturation & bien deffeche etoit tres-blanc , d' une fa-
veur vive & piquante , mais ni acide, ni alkaline, il s'eft
criitallife en aiguilles comme le Nitre , & ne s eft point
huir.ette' a Pair. L' efprit de vin qui avoit bouilli fur ce
Sel a laifle former par le refroidiflement ( le termometre
de M. de Raumur etant a 14 degres au deffus de zero)
quelques petits criftaux au tour du matras, ces criftaux
etoient comme des points d petits que je n' ai pu en di-
ftinguer
a
ttinguer la figure a la loupe , cet efprit de vin n' a laiffe
par lbn cntiere evaporation qu'un enduit extremement mince
& inappreciable. Sa flamme d'ailleurs ne differoit en rien
de celle de 1' efprit de vin pur. Je conclus de la que
F efprit de vin ne diffout point le Sel ammoniacal vitrio-
kque.
Nota. Y ai reitere F experience precedente avec du Sel
ammoniacal vitriolique , au quel j' avois donne pour bale
F alkali volaiil fluor du Sel ammoniac degage par la chaux,
& il n' y a point eu de difference dans les refultats.
Sel ammoniacal nitreux.
• J' ai fait du Sel ammoniacal nitreux en metant julqu'a par-
faite faturation de F efprit volatil de Sel ammoniac degage
par la chaux avec de F acide nitreux tres-pur. Cette com-
binaifon s' ell faite prefque fans effervefcence , mais il s'en
eft eleve un quantite tres-confiderable de vapeurs blanches
fort epaiffes. Ces vapeurs viennent des portions d'acide &
d'alkali volatil qui s'elevent avant de s' etre combinees & qui
fe rencontrent ck s' uniffent en F air. Ce Sel apres avoir
ete deffeche avoit une faveur de nitre tres-fraiche , mais
Jjeaucoup plus vive & plus piquante que celle du nitre a
Ixife d'alkali fixe. L' efprit de vin. apres avoir boiiilli fur
ce Sel , 6>. en avoir diffous beaucoup comme on va le
voir , le laifloit criitallifer abondamment par le moindre
refroidiffement ; ces criftaux etoient en petites aiguilles de
la figure de celles du nitre, F elprit de vin charge de ce
Sel m' a paru avoir un odeur approchante de celle de
F ether nitreux il a laiffe apres foil entiere evaporation un
gros & demi , on 108 grains de nitre ammoniacal. La
flamme de cet elprit de vin ^toit" plus blanche & plus lu-
mineufe que celle de F efprit de vin pur ; elle noirciffoit
un pcu les corps blancs qu'on y expofoit comme le fait celle
de
9
de T ether ; apres que cette flamme a eu cefle d' elle mk-
me ; il eft refte environ la moitie de la liqueur qui avoit
une faveur de nitre ammoniacal tres-forte.
La portion de ce Sel qui s' etoit criftallifee dans Teiprit
de vin , etoit en criftaux tranfoarens par ce qu' ils retenoient
vraifcmblablement de 1' efprit de vin dans leur criftal-
lifation , comme les Sels criftallifes dans 1' eau retiennent
pareillement une certaine quantite de cette eau dans leur
criftaux. J' ai laifle ces criftaux expoles a 1' air pendant
cinq ou fix jours le termometre etant a 1 8 & 19 degres ;
ils out perdu de leur tranfparence mais ne font point de-
venus friables & en poudre comme ceux du Sel de Glau-
ber , & autres Sels qui perdent beaucoup de leur eau de
criftallifation par la feule expofition a 1' air j au contraire ,
ils ont acquis un confiftance plus ferme , & adheroient
afles fortement au verre qui les contenoit. L' efprit de
vin diiTout comme en le voit "par cette experience '£ de
fon poids de Sel ammoniacal nitreux.
Sel ammoniac*
L' efprit de vin traite par la methode commune a toutes
mes autres experiences avec le Sel ammoniac ordinaire ,
a diffbut de ce Sel , & en a laifle criftallifer une quan-
tite fenfible par le refroidiflement j il s' eft trouve apres
fon entiere evaporation qu'il en avoir, diflbus 14 grains.
La flamme de cet efprit de vin ne m'a pas paru difterer
de celle de 1' efprit de vin pur. L' eforit de vin diiTout
done £ de fon poids de Sel ammoniac.
Sel vitriolique a bafe calcaire ou felenite.
Comme les Chymiftes favent prdfontement que les Pier-
res /peculates gypjeujes font des Sels neuties formes de l'union
b de
10
de T acide vitriolique avec de la terre calcaire ; qu'elles
ne lbnt en un mot que ce qu'on nomme felenite , j' ai
choifi pour 1' experience prefente de ndtre Pierre fp^cu-
laire des environs de Paris. Apres 1' avoir bien lavee &
netoyee , je 1' ai calcinee & je 1' ai traitee avec 1' efprit
de vin comme les autres Sels. Ce qu'il en a laifle apres
fon entiere evaporation n' etoit qu'un enduit infiniment
mince & trop peu confiderable pour pouvoir etre reciieilli
& apprecie , ainfi je mets ce Sel , par les raifons que j' ai
dites , au nombre de ceux que 1' efprit de vin ne diflbut
pas. La flamme d'ailleurs de cet efprit de vin n' avoit
rien d' extraordinaire.
Nitre a bafe calcaire.
V ai fait le Nitre calcaire en combinant enfemble jufqu'
au point de faturation de 1' acide nitreux tres-pur avec de
la crayc de champagne lavee , apres avoir filtre cette dil-
iblution , je 1' ai faite evaporer jufqu' a forte pellicule &
1' ayant laifle expofee au frais de la nuit , le termometre
etant a 1 1 degres au defliis de zero , cette liqueur s' eft
coagulee en une maffe criftallifee en perites aiguilles ex-
tremement fines raflemblees en faifceaux & formant com-
me de pinceaux ou brofles ; il y avoit autour de la cap-
fulc qui contenoit cette matiere quelques points criftalliies
en criitaux plus peuts que les plus petits grains de iablon,
ces points etoient environnes circulairemenv de petites
aiguilles pareilles a celles de br.ofles, & ces .aiguilles y
aboutiflbient comme a un centre, enibrte que cela repre-
(entoit autant de petits lbleils rayonnans , qu'il y avoit de
points. Ce Sel avoit une faveur tres-acre ik tres-amere &
attiroit fortement 1' humidite de 1' air. Ayant voulu ache-
ver de le deflecher a feu modere , je n' ai pu y reulfir
pendant plus de 14 heuresj ce n' dtoit tou jours qu'une
liqueur
i r
liqueur viiqueuie. r un peu- rouffe , couverte d' une peau ;
elle fe coaguloit lors qu'elle n'etoit plus- cbauffee , mai* elle
fe refolvoit en liqueur tout de fuite par 1' humidite de
1' air quoique le terns fut alors tres-fec ( c' etoit le 3 Juin)
& que le termometre fut a u degres, elle avoit la con-
fidence & la poifferie du miel. J' ai done ete oblige d'em-
plover le feu nud au lieu du bain de fable dont je me
llrvois d' abord pour deffecher ; elle s' eft reduite par la
deiiccjtion entiere en une matiere blanche ayant 1' appa-
rence d'une terre , il ne s' eft neanmoins exhale pendant
cette deficcation aucunes vapeurs d' acide nitreux. J' ai
pulvcrife ce Sel & 1' ai mis tout chaud dans un matras; il
eft (i deliquefcent que malgre la promptitude avec
laquelle je faifois cet operation , il s' humecloit un peu ,
etant merae encore chaud. J' ai verfe deflus tout de fuite
la- quantite ordinaire d' efprit de vin , & )' ai obferve que
cet efprit en diflolvoit beaucoup fans le fecours de 1' ebul-
lition ; a ce degre de chaleur il en a diffous une plus
grande quantite, & s' en eft meme fature, car il reftoit
encore au fond du Sel non diffous. L' efprit de vin char-
ge1 de ce nitre calcaire avoit une couleur rouffe & un con-
fidence huileule a peu pres comme celle de P huile d'aman-
des. Ayant laiffe refroidir cette diffolution , je . n* y ai
remarque aucune criftallifation j il eft vrai qu' il faifoit alors
fort chaud ; le diermometre etoit a u degres. II s' eft
feulement forme au fond de la liqueur un leger fediment
terreux rouffeatre. J' ai fait evaporer cette diffolution fpi-
ritueufe jufqu' a ficcite j elle s' eft deffechee a une chaleur
beaucoup moindre que n' avoit fait ce meme Sel diffous
dans 1' eau ; le refldu fee pefoit une demi once e'eft-a- dire
a88 grains autant que i' efprit de vin employe. La flam-
me de cet efprit de vin etoit d'abord femblable a celle
de P efprit de vin ordinaire , mais elle eft bien-tot deve-
nue grancle , lumineufe , rouge , decrepitante & petillantei
b 1 elle
II
elle a laMe" apres s' Stre &einte un refidu blanc falin tres-
abondant & deliquefcent.
Sel marin a bafe calcaire.
Y ai fait difToudre de la meme craye dans de bon acide
marin jufqu' a parfaite faturation il en a refulte une liqueur
faline neutre qui ayant ete filtree & evaporee avoit une
faveur (alee acre & amere. La desiccation dece Sel s'eft
faite un peu plus facilement que celle du nitre calcaire
cependant il a tallu employer auffi le feu nud , 6k le Sel
qui ell refte m' a paru aulli avide de 1' humidite 6k aulli
deliquefcent que le nitre calcaire. L' efprit de vin traite
avec ce Sel marin calcaire en a dillbus aulli fon poids
egal , 6k la flamme de cet efprit de vin etoit toute fem-
blable a celle de 1' efprit de vin fature de nitre calcaire.
Vitriol de lune.
Y ai fait le Vitriol de lune qui eft une combinaifon de
l'acide vitriolique avec l'argent , par precipitation , de la
maniere fuivante. J' ai verfe de I' acide vitriolique con-
centre dans une diflblution d'argent faite par 1' acide ni-
treux ; il 's'eft fait aulli tot, comme cela arrive toujours,
un depot blanc qui eft un compole d' acide vitriolique &
d' argent 6k que je crois devoir nommer Vitriol de lune
ou d' argent. II ne s' eft prefque pas excite de chaleur
dans cette operation ; j' ai verfe plus d' acide vitriolique
qu' il n en falloit pour feparer tout 1' argent d' avec l'acide
nitreux. La liqueur ayant ete etendue dans de 1' eau di-
ftillee pour faciliter la precipitation etoit tres-acide ; je
1' ai decantie. deflus le depot ; j' ai fepare du vitriol de
lune tout 1' exces d' acide , ou plutot tout 1' acide libre ,
par pluiieurs lotions dans de 1' eau diftillee 6k par imbi-
'tions
rions dans le papier gris , jufqu'a ce que ce Sel ne fit
plus aucune impreflion de rouge fur le papier b!eu apres
avoir parFaitement defleche ce Sel , je 1' ai fait boiiiliir
dans mon efprit de vin , il ne s' en eft rien diflbus , &
la flamme de cet efprit de vin ne differoit en rien de
celle de 1' efprit de vin pur.
Nitre de lune nomme communement crijlaux de lune.
Y ai fait deflecher parfaitement des crijlaux de lune &
ayant verfe defTus la quantite ordinaire de mon efprit de
vin , il m'a paru qu' il s' en dilfolvoit : la liqueur mile a
boiiiliir a pris une odeur d' ether nitreux , & s' eft un
peu troublee par une efpece de poudre noiratre ; je 1' ai
filtree toute boiiillante comme dans toutes les autres expe-
riences ; a mefure quelle fe refroidiflbit , il y paroifloit
une grande quantite de criftaux figures en Rombes min-
ces qui fe formoient a la furface. Ces Rombes fontpro-
duits par quatre triangles un peu inclines dans le meme
fens , enforte qu' ils ne font pas dans un meme plan , leurs
fommets reunis font au milieu du Rombe une efoece de
pointe pyramidale mais fort peu elevee , & leurs cotes
communs reprefentent deux diagonales qui fe coupent leur
milieu. Le tout refiemble done a une Pyramide a quatre
races extremement baffe 6k comme applatie : chaque face
triangulaire paroit formee de lignes paralleles au cote op-
pofe au fommet. L' efprit de vin apres fon entiere eva-
poration a laifle un gros 1 1 grains de ce Sel nitreux.
Sa flamme etoit plus blanche & plus lumineufe que celle
de 1' efprit de vin pur & accompagnee d'un peu de fuli-
ginofue. L' efprit de viu diffout done ^ de fon poids de
Nitre de lune.
Lune
»4
Lune cornie.
Y ai fait de la Lune cornee en verfant de l'acide marin
dans une diflblution d' argent par 1' acide nitreux , & je
T ai traitee comrae j' avois fait le vitriol de lune par un
lavage a l'eau diftillee , jufqu'a ce qu'elle ne donnat plus
aucune marque d' acidite. L' efprit de vin n' en a rien
diflbus meme a 1' aide de 1' ebullition. La flamme de cet
eiprit de vin n' avoit rien de particulier.
Vitriol de mercure.
Le Sel refultant de V union de 1' acide vitriolique avec
le mercure que je nomme Vitriol de mercure & qu'il faut
bien dittinguer du Turbith mineral , en ce que ce dernier
ne contient prefque point , ou meme point du tout
d' acide vitriolique , ce Vitriol de mercure , dis-je , a ete
fait par le meme procede dont j' ai parle pour le Vitriol
de lune , c' eft-a-dire en verfant de l'acide vitriolique dans
une dillblution de mercure faite par 1' acide nitreux. Je
n' ai lave que legerement a T eau diftillee le depot blanc
qui fe forme dans cette operation , par ce qu'on fcair que
par un grand lavage on lui enleve tout fon acide &
qu'on le reduit en une efpece de precipite jaune indiflb-
luble meme dans 1' eau & qu'on nomme Turbith mine-
ral , ou plus-tot parce qu'on decompofe cette combinailbn
& qu'on la fepare en deux autres ^ont l'une eft le Turbith
dont je viens de parler & I' autre refte diflbute dans l'eau
des lavages & ne contient que fort peu de mercure tenu
en dillblution par une tres-grande quantite d' acide : or ce
n' ecoit ni 1' une ni 1' autre de ces preparations de mer-
cure dont j' avois intention de reconnoitre le degre de
dilblubiiite dans I'efprit de vin ; ayant done lave legerement,
coajrae je V ai dit , ie Vitriol mercuriel qui s' etoit forme
dans
Il
dans mon operation , je 1' ai fait <&cher parfaitement au
bain de fable ; il etoit apr^s cette deliccation tres-blanc &
tres-beau ; je l'ai traite avec l'efprit de vin jufqu'a 1' ebul-
lition comme les autres , & je n' ai remarque aucune dif-
folution : ayant filtre cette liqueur toute diaude , il ne s' y
eft rien criftallife par le refroidiflement j il n' eft rien refte
non plus apres fon entiere evaporation. La flamme de cet
efprit de vin etoit comme celle de 1' efprit de vin pur ; elle
n' a laifle aucun refidu fenfible apres qu'elle a eu cefle d'elle
memej le vaifleau dans lequel cet efprit de vin avoit brule
etoit fee ; il avoit feulement une legere faveur acerbe metal-
lique & l'ayant frotte avec un papier bleu mouille , ce papier
s'eft trouvd un peu rougi. II fuit de la que l'efprit de vin ne
diffout point fenliblement le Sel vitriolique mercuriel , ou
Vitriol de mercure , meme a l'aide d'un peu d' acide libre.
Nitre de Mercure.
Ayant fait diflbudre jufqu' a faturation du Mercure dans
de 1' acide nitreux tres-pur j' ai obtenu une grande quan-
tity de criftaux de Sel nitreux mercuriel que je nomme
Nitre de Mercure ; j' ai lave ces criftaux a plufieurs eaux
diftillees & je les ai fait £gouter fur du papier gris; apres
les avoir parfaitement feches , je les ai traites par 1' ebuU
lition avec 1' efprit de vin comme les Sels cy defTus ; ces
criftaux qui e^oient blancs avant d' avoir boiiilli dans 1' ef-
prit de vin font devenus par cette ebullition d' un jaune
citronne un peu gris. L' efprit de vin qui avoit fervi a
cette operation ayant etc" eVapore entierement n' a laifle
qu'un leger enduit d' un Sel un peu argentin & (i mince
que je n' ai pu le reciieillir. La flamme de cet efprit
de vin ne dirferoit point fenliblement de celle de l'efprit
de vin pur , cependant elle a donne quelques legeres mar-
ques de ruliginolite ; il eft refte , apres qu'elle a eu cefle
(Telle
i6
cT elle meme , un enduit Salin argentin comme apres l'eva-
poration ; cet enduit a un peu rougi le papier bleu ; ayant
lave a plulieurs eaux diftillees le Nitre mercuriel fur
lequel 1' efprit de vin avoit botiilli, il m' a paru que 1'eau
en diflblvoit fort peu & il a pris une couleur de plus en
plus jaune , come cela arrive au Turbith mineral je ne
tire pour le prefent d' autre eonfequence de cette expe-
rience , fi non que 1' efprit de vin ne diffout qu'une quan-
tite prefque infenfible du Nitre de Mercure dans 1' etat
ou je 1' ai employe : comme je trouve quelque chofe de
iingulier dans ce fait, je me propofe de faire dans la fuite
d' autres experiences pour 1' eclaircir.
Mercure fubiime corrofif.
De tous les compofes de Mercure & d' acide marin ,
c' ell celui quon norame fubiime corrojif qui eft le plus fa-
lin , & c' eit par cette raifon que je 1' ai choifi par pre-
ference aux autres pour en examiner la diflblubilite dans
1' efprit de vin , j' ai done fait boiiillir de mon efprit de
vin fur ce Sel , & V ayant nitre tout chaud j' ai obferve'
qu'il fe criftallifoit beaucoup de Sel par le refroidiffemenr,
cet efprit de vin a laifle par Ion entiere evaporation deux
gros & demi & un fcrupule , ou 204 grains de Sublime
corrolif. Si flamme etoit d' abord comme celle de 1' efprit
de vin ordinaire, mais bien-rdt elle eft devenue plus gran-
ge , plus jiune , & plus lumineufe ; elle etoit melee He
quelqucs traits de couleur bleue fur tout fur la fin elle
emit tres-decrepitante. L' efprit de vin diiTout done ^t de
fon p<>ids de fubiime corrofif. II eft vray que voyant
que i' efp it de vin diflblvoit beaucoup de ce Sel par
Y ebullition , je 1' ai laiife bouillir -plus long terns que les
autre* Sw'is.
Vnriol
17
Vitriol de mars.
Ayant defleche' du Vitriol de mars au bain de fable
fans le liquefier , je 1' ai fait boiiillir avec raon efprit de
vin; il m' a paru qu' il ne fe diflblvoit rien ou qu'infiniment
peu de chofe. L' efprit de vin decante de deflus ce Sel
n' a rien laiffe criftallifer par le refroidiffement , & par
fon entiere evaporation il n' a laiffe qu'un leger enduit
brun trop peu considerable pour pouvoir etre reciieilli.
Cet efprit de vin a brule comme 1' efprit de vin pur &
it* a laiffe dans la capfule ou il avoit brule qu'une tache
brune. Ayant applique un papier bleu moiiille fur cette
tache , il a ere rougi fenfiblement. II paroit par cette
experience que 1' efprit de vin ne diffout point le Vitriol
martial.
Nitre de mars.
Y ai fait diflbudre peu a peu de la limaille de fer nora
roiiillee dans de Tacide nitreux tres-pur ; il m' a ete impofli-
ble de faturer cet acide au point de ne plus rougir le
papier bleu; la diffolution s' eil epaiilie confiderablement ;
j' y ai ajoute de 1' eau & de nouvelle limaille , le touc
s' ell mis en une efpece de pate & malgre cela la dif-
folution dtoit encore fort acide; elle etoit de couleur rouf-
fe rougeatre ; je 1' ai faite evaporer a (iccite ; il s' eft exha-
le pendant cette evaporation beaucoup de vapeurs acides
d' une odeur tres-penetrante. Le refidu fee etoit de avoir une odeur tout
a fait femblable a. celle du Vitriol de mars lors qu'on le
defleche. Ce meme Sel marin martial avoit une couleur
de roiiille afles claire & afles vive lors qu'il n' etoit que
mediocrement chauffe , mais cette couleur devenoit beaucoup
plus rouge Sc plus brune, lors qu'il 1' etoit d' avantage.
L' efprit de vin a pris par 1' Ebullition fur ce Sel une cou-
leur de roiiille un peu trouble & un peu changeante par
1' opposition , ou T interpofition de la lumiere ; ayant fbum-
mis cette diflblution a 1' evaporation il a fallu beaucoup
de tems pour deflecher entierement le refidu , il pelbit iin
demi gros ou j6 grains ; il etoit d' une couleur jaune bru-
ne , s' hume&oit a T air mais lentementj il lui a fallu fept
ou huit jours pour fe refoudre totalement en liqueur. La
flamme de cet efprit de vin etoit afles blanche , & afles
brillante , a mefure que la deflagration avancoit elle deve-
noit plus lumineufe & plus blanche ; elle etoit accompa-
gnee fur la fin de beaucoup de petites etincelles blanches
& brillantes comme des etoiles d' artifice; il elt reftEapres
cette combuftion un refidu jaune brun afles confiderable
d' une faveur martiale ftyptique. L' efprit de vin diflbut
done js de fon poids de Sel marin martial.
Vitriol de cuivre.
Le Vitriol de cuivrc deffEche" parfaitement eft devenu
prefque blanc ; 1' efprit de vin que j' ai fait bouillir delTus
n' a pris aucune couleur ;, le meme efprit de vin n' a laiAe*
aucun reiidu par fon entiere Evaporation; il a brule com-
me de 1' elprit de vin pur r Sc n' a pareiilement laifle au-
cun refidu apres fa deflagration. Ce qui prouve que l'ef-
prix de vin ne diubut point le Vitriol de cuivre.
C x Nitre
10
Nitre cl hafe de cuivr*.
y ai fait diffoudre du cuivre rouge tres-pur dans de
l'acide nitreux aufli tres-pur ; la diffolution s' eft faite d'elle
meme tres-rapidement apres quelle a ete entierement fa-
turee de cuivre , elle avoit une couleur bleue tirant fur le
verd celadon ; elle ^toit troublee par une chaux de cui-
vre de meme couleur , mais infiniment plus pale que la
liqueur & prefque blanche. J' ai fait evaporer cette diffo-
lution au bain de fable , il s' eft forme deffus une pellicu-
le de criftaux confus ; 1' ayant alors laiffee refroidir, elle
s1 eft coagulee toute entiere en une maffe de petits cri-
ftaux fi confus, qu'il m' a ete impoffible d' en difcerner la
figure., meme a i'aide d' une bonne loupe; ces criftaux fe
lont cnfuite humeftes & refous totalement en liqueur en
fort peu de terns. J' ai remis cette liqueur en evapora-
tion , la pellicule s' eft reformee de nouveau & par le
refroidiffement toute la maffe s' eft encore coagulee; ayant
entrepris de la deffecher enfuite entierement; elle s' eft E-
quetiee a la premiere impreihon de la chaleur, mais com-
ing elle reftoit toujours en cet etat , j' ai augmente le
feu ; alors quoiqu'a la referve de la pellicule de la furfa-
ce , ce Sel demeurat toujours iiquide , il a commence a
en fortir beaucoup de vapeurs d' acide nitreux tres-pene-
trantcs ; ces vapeurs m' out -fait connoitre que cette liqui-
dity que j' attribuois a de l'eau furabondante au Sel n'etoit
qu'une vraie fufion de ce meme Sel , & que ce ne fe-
roit qu' en lui enlevant fon acide par 1' action du feu ,
en le cliicompofant en un mot totalement que je pourrois
T amcner fur le feu a 1' etat de folidite feche ; V ayant
done retire de deffus le feu , il s' eft fige fur le champ
en une matiere tres-dure 6< fort avide de 1' humidite de
1' air ; \" ai puLverife promptement ce Sel & apres l'avoir
encore chaud dans un matras , j1 ai verfe! par deffus
la
2 r
la quantite* ordinaire d' elprit de vin. Je Fai laiAe" ag;-
a froid pendant deux jours: dans cet efpace de terns , ii
a pris une belle couleur bleue de faphir afles foncee , &
il eft refte au fond du matras une elpece de chaux dc
cuivre d' un verd bleu pule. Par 1' ebullition ccate couleur
n' a point pris plus d' intenlite j j' ai done nitre la liqueur
elle a paffe tres-claire & du plus beau bleu cle faphir ; il
eft refte fur le filtre beaucoup de chaux do cuivre de
couleur de verd de gris fort pale. Cette diflblution
apres fon entiere evaporation a laifle 48 grains dc Nitre
a bafe de cuivre. La flamme de cet elprit cle vin etok
4' abord comme a 1' ordipaire , mais elle. eft bien: tot deve-
nue beaucoup plus blanche , plus lumineufe & d'un verd
tres-beau , cette flamme etoit accompagnee d'une quantite
afles considerable de fumee fulieineufe noircifl'ar.te : il s'eft
forme au tour de la liqueur enflammee un bourlet de
matiere verte qui s' eft noirci en partie par la chabur &
qui a pris un caraclere charbonneux , aulli s' eft elle allu-,
mee , elle bruloit en rougilTant comme un charbon ; il
eft refte apres la flamme ceflee d' elle meme , une quan-
tite afles confiderable de Sel bleu en liqueur. L' elprit
de vin a diflbus comme on voit dans cette experience —
de fon poids de Nitre a bafe de cuivre.
Sel marin a bafe de cuivre.
J' ai pris pour compofer le Sel marin a. bafe de cuivre
du fil de cuivre rouge tres-pur , je 1' ai mis dans 1' acide
marin afles fort , diltilld par 1' acide vitriolique pur a la
maniere de Glauber ; la fiirface du cuivre s' eft temie
prorr.ptement , mais fans qu'il parut aucun autre figr.e de
diilblu:ion ; il a fallu le fecours du bain de Sable pour
faire agir 1' acide fur ce metal, alors \es flgnes ordj.nai;es
aux diffolutions des metaux par les acides ont parus , mais
•5.1
je fiis Etonne de voir que la liqueur y a mefurc que la
dnlolutiou fe faiibit , au Jieu de prendre une couleur
verte , comme je m' y attendois , prenoir au contraire une
couleur de carFE qui devenoit de plus en plus brune &
foncee. Lors que la diflblution a et& a peu pres au point de
faturation elle Etoit un peu epaifle elle rougiffbit encore
fenfiblemcnt le papier bleu , quoique dr ailleurs Tacide ne
parut plus du tout agir fur le cuivre qui reftoit. J' ai
verfE cette diflblution dans une capfule pour 1* evaporer
& ayant rincE. le matras avec de feau, j' ai vu aufli avec
furprile que le peu de diflblution brune qui reftoit dans
le matras eft devenue d' un tres-beau verd tirant fur le bleu
aufli tot qu' elle a ete etendue dans 1' eau, & cette couleur
s' eft communiquee au relte de la diflblution dans laquelle
javois me'e cette ringure. Par 1' evaporation elle s' eft re-
duite prefque toute en criftaux de couleur verte & figures
en aiguilles ; le peu de liqueur qui baignoit ces criftaux
etoit redevenue fauve brun par 1' Evaporation ; enfin lors
que tout a EtE evapore jufqu'a ficcitE , le verd des cri-
ftaux a difparu & tout etoit abfolument brun : j' ai mis
ce Sel tout chaud dans mon efprit de vin , ce diflblvant
a piis prefque aufli t6t un verd tres-fonce, & a diflbus
beaucoup de ce Sel fans le fecours d* autre chaleur que
celle de 1' air , qui a la verite etoit tres-grande ce jour
la & de iS a 29 dEgrEs (c' Etoit le 26 Aouft.) L' efprit
de vin charge de ce Sel a fourni apres fort peu d' Eva-
poration beaucoup de criftaux du plus beau verd ils etoient
EguillEs & comme (byeuxj par la deiiccation, ils ont perdu
tout leur verd & font devenus abfolument bruns : ils pefo-
ient 48 grains apres avoir ete bicn deflEches. La rlam-
me de 1' efprit de vin charge de ce Sel Etoit du plus
be.ui verd 3 on y appercevoit cependant des ElpEces de
irations blanches & rouges ; il eft refte aprei la com
b.i tion de i' c(p: u de vin beaucoup de Sel dont une par
tie Etoit verte & \" autre bru'ie. Les
Les changemens de eouleur qui arrivent a ce Set fui-
van.t la quantite d' eau plus ou moins grande a laquelle
il eft uni ont quelque chofe de fingulier & do remar-
quable ; lors qu' il eft fee, ou qu' il ne contient que tres-
peu d' eau , il eft d' un jaune fauve fonce brun ; a me-
fure qu'on y ajoute de 1' eau , il devient fucceffivement
verd d' olives , beau verd de pre plein & fonce, verd
bleuatre , & enfin lors qu'il eft etendu dans beaucoup
d' eau , il eft entierement bleu , mais clair ; il repafle en-
fuite fucceffivement par toutes ces memes couleurs, jufqu'a
redevenir tout brun , a mefure qu'on fait evaporer 1* eau
qui le tient diflbus. Ces phenomenes m'ont fait foupconner
que ce Sel de couleurs ft differentes lors qu'il eft plus ou
moins (ec pourroit etre la matiere d' une forte d' encre de
fympathie. Jen ai fait 1' effai ; ayant trace des carafteres
fur du papier blanc avec fa diffolution etendue dans beau-
coup d' eau laquelle eft comme je 1' ai dit d' un bleu pale
ces carafteres apres qu' ils fe furent feches (implement a
l'air etoient invifibles a caufe du peu d' intenfite de la eou-
leur j mais les ayant chauffes , j' ai vu auffi tot paroitre
F ecriture d'un jaune vif tres-beau. Cette eouleur qui n'eft
qu'une teinte affoiblie du fauve brun qu' a le Sel en mafle
lors qu'il eft parfaitement deffeche y m' a rappelle que M.
Baume tres-habile Chimifte de cette Ville avoit publiedes
1757 dans les cours de chymie que nous failbns enfemble,
une encre de fympathie dont les effets font tous fembla-
bles a eelle dont je parle a&uellement , & comme la bafe
de F encre de M. Baume eft du cuivre de meme que dans
celle-cy , quoique le procede qu' il a donne pour la faire
foit different , je ne doute nullement que ces deux encres
fympatiques ne foient efTentiellement de m£me efpece &
je reconnois avec plaifir que M. Baume eft le premier qui
ait obferve cette forte d' encre , & qui en ait parle , ce
Clumifte conyenoit en annoncant cette encre qu'elle n'avoir.
pas
14
pas !a propriete de redevenir invifible par la fimple expo-
f.tiun a 1' air aufli parfaitement que 1' encre fympatique
tiree "da cobalt & s' eft toujours propofe de lui donner cette
qaalird , mais des recherche> d'une plus grande importance
1' en ont empeche jufqu'a prefent ; celle dont je viens de-
parler avoit aufli le meme deffaut , mais apres les obfer-
\ v.tions que j' avois faites fur les changemens de couleur
du Sel de cuivre , & fur la caufe prochaine de ces chan-
gemens il m'etoit bien facile de donner a cette encre la
propriete defiree ; on a vu que la difference des couleurs
du Sel marin cuivreux depend uniquement de la quantite
d' eau plus ou moins grande a laquelle il eft uni , fi done
lors quil paroit en jaune par la dedication parfaite fur le
papier , il ne difparoit point enfuite entierement par 1' ex-
position a 1' air , cela ne pent venir que de ce qu' il n'at-
tire pas affes promptement & affes efficacement 1' huraidite
de fair, & en effet ce Sel quoique deliquefcent n'eft pas
a beaucoup pres du nombre de ceux qui poffedent cette
qaalite au plus haut point ; il ne s' agiffoit done pour don-
ner a 1' encre en queftion la propriete de dilparoitre en-
tierement que de la rendre plus avide de 1' humidite de
1' air que ne 1' eft naturellement le Sel marin cuivreux, &
c' eft a quoi je fuis parvenu facilement en melant dans fa
diffolution un autre Sel exempt de toute couleur , qui ne
peat le decompofer & qai eft infiniment plus delique-
fcent ; il y en a allurement plufieurs qui peuvent etre em-
ployes pour cela avec faeces ; j' avois fous la main le Sel
marin a bale de craye qui m' avoit fervi dans mes expe-
riences pfecedentes ; jen ai mele dans la diffolution de Sel
matin clnvreux a pea pies amain qu'elle poavoit contenir
de ce defnier Sel ; f y ai ajoate un peu d'exces d' acicle
i & de i' eau , enforte que le tout avoit une couleur
d*aigae mirine a;Te> belle, & ayant fut 1' epreuve de cette
encre , jai trottfe qu' elle dilparoiilbit prefque auffi bien
que
que celle de cobalt je rappelle au refte icy que 1' acide
marin qui m' a fervi pour ma difiblutio.i de cuivre avoit
ete diftille par I' acide vitriolique libre , parce qu' il n' eft
pas impoffible qu'un peu de ce dernier acide mele avec
le premier ne contribue aux effets dont j'ai parle; j'avertis
auffi ceux qui voudroient verifier cette encre que c'eft le
Sel marin a bafe de craye au quel j' ai donne la prefe-
rence fur les autres Sels marins a bafe calcaire , parce qu' il
m' a paru par des experiences faites anterieurement fur les
combinaifons de 1' acide marin avec differentes terres cal-
caires , que les Sels qui en refultoient n' etoient pas tous
egalement deliquefcens , & que celui-cy 1' etoit beaucoup
plus que la plus part des autres.
Je n' attache au refte aucune pretention a cette efpece
d' encre de fympathie , non feulement, par ce que je n'en
ibis pas le premier obfervateur , mais encore par ce que
ce n' eft la qu' un de ces petits faits curieux qui fe pre-
ientent comme d' eux m£mes aux Chimiftes dans leurs
recherches & aux quels on ne doit donner qu'un moment
d' attention quand on a pas intention d' en developper la
theorie. Je ne me fuis peut etre que trop arrete a ce-
lui-cy , c' eft pourquoi je me hate de revenir a mon objet
principal.
Les experiences dont j' ai rendu compte dans ce me-
moire , quoique deja nombreufes , ne le font cependant
point an core afles a beaucoup pres pour en tirer des con-
fequences & une theorie gendrale ; elles font entrevoir a
la verite que les Sels neutres font d' autant plus difiblu-
bles dans 1' cfprit de vin , que leur acide eft moins for-
tement uni avec leur bafe , & qu' a cet egard , ils fuivent
par rapport a 1' elprit de vin a peu pres la meme re"gle
que par rapport a 1' eau , mais la faturation plus ou moins
parfaite de I' acide des Sels n' eft certainement point l'uni-
que caufe de leur different degre de diffolubilite dans
d 1' elprit
i<5
1' efprit de vin , car il y en a qui fe diflolvent en plus*
grande quantite dans ce menftrue que dans 1' eau meme.
Le principc philogiftique , ou inflammable , influe proba-
blement beaucoup'dans les effets de ces diflblubilites , mais
je le repete , nous n' avons point encore afles de faits
connus liir ces objets pour en developper la Theorie ge-'
nerale. Je m' abftiens done pour la prefent de toute fpe-
culation a cet egard , & je me borne a quelques refle-
xions particulieres fur les experiences dont j' ai rendu compte.
En raflemblant fous un meme point de vue tous les
Sels vitrioliques que j' ai examines , il fe trouve qu' il n' y
en a aucun que 1' efprit de vin ait diflbus , ou du moins
dont il ait diflbus une quantite fenfible , & le Sel de
Glauber eft: le feul qui ait apporte quelque changement
a fa flammc. Si cette indiflblubilite fe foutient dans les
autres Sels vitrioliques qui me reflent a examiner , elle
fera une nouvelle preuve de la fuperiorite deja reconniie
de 1' acide vitriolique fur les autres acides a raifon de fa
plus grande fimplicite & de la plus grande force avec
laquelle il eft: capable d' adherer a toutes les fubftances
fufceptibles d' union avec les acides , aufli ais-je deja fait
obferver ailleurs que dans la elafle des Sels vitrioliques
nous n' en connoilTons encore aucun qui ne foit criltaili-
fable , ou dont la qualite deliquefcente annonce une con-
nexion (foible de 1' acide avec fa bale.
Comme aucun de mes Sels vitrioliques ne s' eft: trouve
fenliblement diflbluble dans 1' efprit de vin , il n' eft point
ttonnant , qu' ils n' ayent occafionne aucun changement a
la flamme de cet efprit , mais on pourroit etre furpris
cjue je n' aye obferve aucune couleur verte a la flamme
de eclui que j' avois fait boiiillir fur le vitriol de cuivre,,
tandis que M. Bourdelin dit dans fbn memoire for le Sel
fodatif imprime dans les memoires de l'Academie des fcien-
cci de Paris pour Tann^e 1755 , qu'ayant fait bruler da
1' efprit
*7
I* efprit de vin fur du vitriol de cuivre , il a obferve une
belle couleur verte dans fa flarnme. 11 eft tres-certain
cependant que la contradiction qui fe trouve entre nos
deux experiences n' eft. qu' apparente, & qu'elles font exa-
ftement vraies 1' une & 1' autre. M. Bourdelin avoit pour
-but dans le memoire que je viens de citer , non d' exa-
miner le degre de differente diffolubilite des Sels dans
1' elprit de vin , mais de reconnoitre s' il s' en trou-
veroit quelqu' autre que le Sel fedatif qui eut la proprie-
te de communiqucr une couleur verte a fa flamme, il
n' e^oit pas ncceflaire en confequence que ce favant Chi-
mifte prit comme moi la precaution de priver fes Sels
de leur eau de criftallifation avant de les foummettre a
1' aftion de 1' efprit de vin, aufli ne dit il point qu' il
eut defleche le vitriol de cuivre, fur le quel il a fait ion
experience , & Ton ne doit point douter que ce ne ibit
P eau de criltallifation de ce Sel qui P ait rendu mifcible
a P efprit de vin en quantite fuffifante pour verdir la flam-
me , cf autant plus qu' il eft prouve par plufieurs des ex-
periences dont j' ai rendu compte qu' il ne faut qu'une
quantite de Sel infiniment petite , pour changer confide-
rablement la flamme de cette liqueur. Ces differences de-
montrent bien au refte , combien il etoit neceflaire que
je priife la precaution de priver mes Sels de toute humi-
dite furabondante , pour en reconnoitre au jufte le degre
de diflblubilite.
Si nous jettons apres cela aufli un coup d' ceil general
fur Ic Sels nitreux nous verrons , que tous ceux que j'ai
fbummis a P experience fe font comportes a P egard de
P eiprit de vin bien diiTerement des Sels vitrioliques on
fait que P acide nitreux tient en general infiniment moins
que P acide vitriolique aux differentes fubftances qui peu-
vent former des Sels neutres avec ces acides ; il eft de-
montre aufli en chymie que ce meme acide renferme le.
d x pr">
principc inflammable dans fa compofition ; Or it eft trfcs
probable que ce font la les deux eaufes principales de la
diflblubilite des Sels dans 1' efprit de vin, aufli refulte-t-U
des experiences que j' ai rapportees , que prefque tous les
Sels nitreux font diflblubles dans 1' efprit de vin , & la
plus part meme en quantite alios confiderable ; il y a
cependant deux de ces Sels qui font une forte d' exception
le premier c' eft le Nitre de Mercure dont l'eforit de vin
n'a pas diflbus une quantite fenfible, & le fecond c' eft
le Nitre de mars dont le mcnitrue n'a diflbus que fort
peu , quoique ce dernier Sel foit tre^ deliquefcent & pa-
roifle par cette qualite devoir etre un des plus diflblu-
bles. Je n'ajoute ricn pour le preTent a. ce que j'ai dit
aux articles de ces Sels, ce font de ces effets dont la
caufe demande a etre recherchee par un plus grand nom-
bre d'* experiences : mais il eft bon de remarquer encore
au fujet de nos Sels nitreux qu' il n' y en a aucun qui
n' ait altere fenfiblement la flamme de 1' efprit de vin, ce
qui indique toujours une grande difoolition de leur part
a s' unir a ce diflblvant en tout ou en partie. Au refte
cette alteration de la flamme de 1' efprit de vin par les
Sels neutres eft encore un objet important , qui merite
beaucoup d' attention & dont il paroit qu' on pourra re-
tirer autant de connoiflances nouvelles fur la nature des
Sels , que de leur diflblubilite" meme , mais il demande
aufli une nombreufe fuite d' experiences 6k d' obfervations.
Nous entrevoyons feulement par celles qui font deja faites,
que la flamme de 1' efprit de vin peut recevoir trois for-
tes d' alterations de la part des Sels. La premiere c' eft
dc devenir plus jaune , plus rouge , plus grande , & plus
dccrepitante ; la feconde c' eft d' etre plus blanche , plus
Inmineule , & en meme terns plus ou moins fuligineufe ,
& la troilieme , c' ell de contrafter quelque couleur par-
ticuliere, comme par excmple la couler verte que lui don-
nent
»9
nent Ies Sels a bafe de cuivre. Je foup^onne que la pre-
miere de ces qualites a lieu lors que c' eft le Sel neutre
entier & comme Sel neutre , qui agit dans cette flammc,
que la feconde eft produite particulierement par 1' acide
des Sels, lequel donne a P eiprit de vin un cara&cre
plus ou moins approchant de celui de 1' ether ? &: que la
troifieme eft due principalement a la bafe ou a la fub-
ftance qui eft unie a P acide des Sels , mais tout cecy a
befoin d' une plus grande iuite d' experiences pour etre
eclairci.
Enfin Ies phenomenes des Sels neutres contenant l'acide
marin reunis auffi fbus un meme point de vue nous font
connoitre que ces Sels fe font difious pour la plus part
dans T efprit de vin , & ont caufe de 1' alteration a fa
flamrne ; ainfi a cet egard 1' acide marin paroit differer
de P acide vitriolique a peu pres comme 1' acide nitreux,
mais il eft bien remarquable que le compole de mercure,
& d' acide marin foit infuiiment. plus diffoluble dans 1'efprit
de vin que Ies Sels refultans de T union de cette fubftan-
ce metallique avec Ies autres acides , & que ce meme
compofe, ( le fublime corrofif) fe diflblve en plus grande
quantite dans 1' eiprit de vin que dans 1' eau meme.
L' acide de ce Sel , ni meme la maniere particuliere dont
il eft uni au mercure ne paroilTent pas Ies feules caufes
de cette iinguliere diflblubilite ; je fupconne que la nature
de cette fubftance metallique tres abondante en principe
inflammable • & qui eft peut etre meme celle de toutes
qui en contierit le-plus, influe pour beaucoup dans Ies phe-
nomenes de fa diflblubilite , mais c' eft encore la un ob-
jet qui demande des recherches 6k des experiences ulte-
rieures. Je finis par une derniere remarque fur la nature
de la flamme de 1' efprit de vin traite' avec Ies Sels con-
tenant P acide marin je fais done obferver que de tous
ceux de ces Sels que j'ai examines jufqu' a prefent le Sel
marin
3° .....
marin martial eft le feul qui ait donne a cette flamme la
couleur blanche & un caraftere rapproche de celui de la
flamme de 1' ether ; je ne doute point que parmi ceux
qui reftent a examiner , il ne s' en trouve plufieurs autres
qui produifent le merae effet , mais en attendant on peut
toujours en inferer que le fer eft un des metaux qui
peuvent communiquer un caraftere particulier a 1' acide
marin , par la quantite abondante de principe inflammable
qu' il lui tranfmet.
A Paris ces 8.e Octobre 1765.
JOHAN;
JOHANNIS FRANCISCI CIGNA 3%
De novis quibufdam experiment is eleclricis.
CUm in eximia gallica fymmeriani Iibri verfione ,
quam fins notis auclam CI. Nolletius ad me per-
humaniter miferat (a) nova multa, ,ac ingenioia.
cxperimenta invenirem , illud maxime laude dignum vide-
])atur , quod &c in cruralibus per friclionem excitatis , & in vi-
tris ele&ricitatem ex communicatione habentibus oppofitac
eleftrickates fejunclae ■difiintr.aeque exhibeantur. Sic enim
earum ele&ricitatum mutuas aftiones mutuafque rclationes
melius perveiUgari poffe cenfebam , ficque viam pandi ad ex-
plofionis elecitricae theoriam luculentius declarandam. Hifce
excitatus eo quoque operam meam contuli , & multa col-
legi , quae etfi manca adhuc funt , & imperfecta , propo-
nenda tamen duxi , quod hujufmodi videantur , quae acrio-
ri ingenio , ac diuturniori , quam mihi licuerit diligentia,
ampliiicari , ac perlici poffint.
CAPUT I.
De friclione binarum tacniarum fericearum ejufdem colon's.
i. 3~*\Uas taenias fericeas albas (*) igne recenter ex-.
_L/ ficcatas , alteram alteri fuperextenfam, & piano
levigato , five deferenti , ut metallico , five coercenti , ut
vitreo , fuperpolitas regula ex ebore in aciem exfefta fri-
cabam : inde taeniae eleftricitatem acquirebant, qua ad pla-
num adhaerefcerent ; ab eo fimul divulfae , f"e ie attrahe-
banr , fuperiore , quae rricata fuerat , refinofam , eamque
ma io-
ta) Experiences, & obfervaiions nouvclJes concernant 1' clcftriciic par M.
Robert SymmiT.
(.*)jtillicc del rutans.
3*
majorem, fubjc&a vitream e!e£tricitatem oftendente. Si feor-
fim divellerentur a piano , fupra quod fricatae fuerant , fefe
repellebant , & litraque refinofam ele&ricitatem monllra-
bar.
i. Eveniebat vero interdum , ut etiam fimul a piano
revulfae taeniae fe fe repellerent ; idque quoties , vel inter
fricandum fuperior ab inferiore fuerat revulfa , vel laxio-
Tes taeniae erant , ficque ex friftione inferior taenia
adverfus fubjeclum planum atterebatur , ut inde congene-
rcm , & fuperiori parum difparem eleclricitatem acquireret.
3 . Enimvero ad eum • friftum , quo eleclricitas inducitur,
mngnam corporis fupra corpus excurfionem haud requiri ,
1'itis intellexi poftquam expertus fum eafdem albas taenias,
etiam charta inaurata rigidiore , aut lamina plumbi inter-
ceptas, ex ipfius chartae , aut plumbi friftione latis fenfibi-
lem ele&ricitatem adeptas fuifTe.
4. Dum porro taeniae a piano , fupra quod fricatae
.fnnt, revelluntur (1. 2) in locis , ubi fecedunt , ipfas inter
.6k fubje&um planum fcintillae emicant , quae fcintillae fi-
militer conipiciuntur , quando taeniae fimul a piano divul-
fae , & in unum adliaerefcentes ab invicem feparantur ,
ubi vero femel a piano , fupra quod fricatae funt , taeniae
revulfae fuerint , aut a fe invicem , quantumvis iterum de-
inceps ad planum , aut ad fe mutuo admoveantur, nulla un-
quarh amplius in earum feparatione lux fe prodit.
5 . Similiter quamvis taeniae a piano , fupra quod fri-
catae funt, fingillatim fejunftae , fe fe repellant (1), fi ta-
men femel ab eodem una revulfae fuerint , atque adeo fe
fe attrahentes faftae fint , quantumvis ad ipfum iterum ap-
plicentur , & feorfim fejungantur , fe fe attnrhere pergunt;
& viceverfa , quae taeniae a piano feorfim divulfae fue-
runi , & propterea fe fe repellunt , licet poftea altera fu-
per alteram ad ipfum iterum aptentur, & quocumque mo-
do rurf us diraoveantur , fe fe repellere pergunt.
6,
33
6. Ex his modus patet , quo taeniae ex parte alia fe
fe attrahentes , ex alia fe le repellentes fieri poflint , ll '
poftquam fiipra planum leve fricatae funt, pars alia earum-
dem fimul, alia leorfim , & fingillatim ab eo piano divel-
latur. Verum de his phoenomenis fufius deinceps difiere-
mus.
7. Porro quamdiu taeniae fupra planum , fupra quod
fricatae funt , relinquuntur , vix ulla eleftricitatis indicia
praebent ; fimul vero revulfae , & adhuc invicem adhae-
rentes, praepollentis refinofae ele&ricitatis (1) , ex utra-
que facie indicia praebent , & inftar unicae taeniae refino-
fiam elettricitatem habentis fe gerunt: fi ad planum iterum
admoveantur , iterum figna eleclxica in ipfis fopiilntur ,
quae iifdem ab eo revulfis denuo fe produnt , & ita de-
inceps , donee omnis ipfarum ele&ricitas extincla fit.
8. Quod i\ modo diclae taeniae non jam levi fuperfi-
ciei, fupra quam fricatae funt admoveantur, fed imponan-
tur corpori hirfuto, ac deferenti , uti telae ex cannabe , aut
gofiipio haud exficcatae , cito ipfarum ele&ricitates ad ae-
quilibrmm perducuntur, ita ut inde dimotae taeniae, quam-
diu fimul junctae perftant, nulla praebeant electricitatis in-
dicia, fi dimoveantur, ele£fcricitates oftendant contrarias, &
aequales , quae , iifdem iterum jun&is , rurfus delitefcunt ,
& ita porro.
9. Imo vero taeniae fe fe repellentes , quae levi defe-
renti fuperficiei altera fuper alteram admotae , eique quan-
tumvis adhaerefcentes , fe fe repellere pergunt, quoties re-
velluntur (5) , fi hirfutae deferenti fuperficiei altera fuper
alteram imponantur , intra aliquot fecunda temporis minu-
ta jam fe fe attrahent , ut iifdem ab ea fuperficie quovis
modo revulfis apparet ; idque ex eo fit , quod eleftricitas
taeniae hirfutae iuperficiei proximae jam in contrariam abie-
rit , & ex refinofa vitrea facia fit.
JO.
34
i o. Hine eft , ut fi binae albae taeniae fupra hirfu-
fam fuperficiem di£to modo (i) fricentur contrarias Tem-
per ele&ricitates acquirant , ita ut quovis modo inde re-
vulfae fuerint , fuperior Temper refinofam , inferior , quae
hirfutae fuperficiei proxima fuit , vitream eleftricitatem
oftendat.
1 1 . Quod autem efEctt fubftratum hirfutum deferens
corpus (9) , id ipfum praeftat deferens quodcumque in api-
cem efformatum. Etenim fi duae taeniae ex eleftricitate fe
fe repellentes (1) parallelo fitu fufpendantur , ut planis fa-
ciebus fe mutuo refpiciant, turn acuminatum metallum tae-
niarum alterutri obvertatur , & per ejus longitudinem pro-
moveatur ad unius , duorumve pollicum diftantiam , mox
oppofita taenia ad hanc , cui apex obvertitur , accurret ,
cique junfta adhaerebit , & neutra jam amplius taenia ulla
ele&riea figna dabit , quamdiu junftae perftabunt : quodfi
divellantur , conftabit , illius taeniae, ad quam apex con-
verfus eft , ele&ricitatem mutatam fuiffe , & ex refinofa in
vitream evafifle.
ii. Eodem autem artificio, quo refinofa taeniae unius
eleftricitas in vitream mutatur , poteft etiam taenia non
eleftrica ele£tricitate imbui : fi nempe, taenia non eleftrica
hirfutae fuperficiei impofita , fuper ipfam ele&rica taenia ex-
tendatur (9), vel fi , taenia ele6f.rica ad non ele&ricam ap-
plicita,ad banc acuminatum metallum obvertatur, & juxta
ipfius longitudinem promoveatur (11). Conftabit vero fem-
per taeniam , quae ele&ricitatem hoc pafto acquifivit danti
contrariam acquifivifle , ita ut fi illius electricitas vitrea
fuit , hujus fit refinofa , & viciffim : conftabit infuper tae-
niam , quae hoc modo eletfricitatem largitur , inde vix
majorem pati virium eleftricarum jacluram , quam fi per
id tempus fufpenfa ftetiflet, nullamque ele&ricitatem com-
municaJTet.
*3-
3.5
1 3 . Hinc eft , ut una eademque taenia eleftrica pluri-
bus non ele&ricis contraria ele&ricitate imbuendis infervire
polfit , fi fingulae fucceffive eidem applicitae expofito mo-
do (a) tra&entur. Unaquaeque vero ipfarum ele&ricita-
tem acquiret contrariam quidem , fed aequalem eleftrici-
rati taeniae excitantis , eo tempore , quo vis excitabatur
(8) , ut propterea ea ratione ele&ricitas abfque firi&u mi-
rum in modum multiplicari poffit.
14. Taeniam albam minus ficcam , adeoque minus coer-
centem alii item albae recenter ad ignem exficcatae fup-
ponebam , eafque fupra planum leve , five deferens , five
coercens impofitas regula ex ebore fricabam : quovis modo
taeniae a fubje&o piano divellerentur , fuperior Temper re-
finofam , inferior vitream eleftricitatem oitendebar.
15. Ex quo apparet vim apicum in fuperioribus expe-
rimentis in eo pofitam effe , ut taeniam , cui obvertuntur,
magis deferentem efficiant , feu faciliorem reddant ele&rici
fluidi per eamdem fluxum , quum humiditas fubje&ae tae-
niae , quae iplam vapori eleftrico magis penetrabilem reddit,
idipfum efficiat (14), quod fuppofiti eidem apices, fi ficca
effet , praeftare potuiffent (10).
1 6. Hattenus expofita experimenta eodem omnino fuc-
cefiu tentari pofiunt duabus nigris taeniis optime exficca-
tis , ut certo conftet , fericum five album, five nigrum ex
friclione , quae ebore fit , refinofam ele&ricitatem adipifci.
17. Si loco eboris, pelle merer ad fricandas duas tae-
nias , five utramque albam , five utramque nigram , idem
iterum erat experimentorum omnium exitus , ut fimiliter
concludere fas fit (ericum utrumvis ex pelle refinofam ele-
ftricitatem recipere. Si vitrum ad fricandum adhiberem in
eifdem experimentis , idem eventus. Si demum fulphur ,
ele&ricitas taeniae , quae fricabatur vitrea erat , caetera
fimiU modo , ac in fuperioribus experimentis contingebant,
c 2. fed
*6
fed inverfo ordine , ut ubi in illis refmofa ele&ricitas ha-
bebatur , hie haberetur vitrea , & viciffim.
1 8. Er haec quidem conftanter ita fe habere vifa funt,
ut nimirum taeniae fericeae , five albae , five nigrae ex
frictu ope eboris, pellis, vitri, vim refinofam acquirerent,
ex friclu ope fulphuris vitream , idque non modo in re-
cenfitis experiments , fed in aliis quibufvis ; quando nem-
pe vel alterutrius coloris taenia utroque extremo affixa ,
ck horizontaliter per aerem tenfa diftis corporibus fricaba-
rar , vel iifdem circumjecla , & utroque extremo prehen-
fa , altero , alteroque alterne ita trahebatur , ut adverfus
ea corpora attereretur , vel demum aliquo ex iis corpori-
bus tranfverfim obvoluta juxta longitudinem per ipfa ita
trajiciebatur , ut in eo trajettu vehementem ab iifdem at-
tritum fubiret.
1 9. Cum charta nuda, vel inaurata taenias fricarem minus
conftans fuit indu&ae eleftricitatis indoles; quamvis enim
plerumque ex his albae taeniae vitream (a), nigrae refino-
fam eletlricitatem reciperent , contigit tamen interdum, ut
haec aliter aliterque fe haberent. Cujus quidem inconftan-
tiae caulTas omnes haftenus aflequi non potui ; vifum tan-
tummodo eft , attritum , quem olim eae taeniae ex aliis
corporibus paflae fuiflent, ipfas ad infuetam eleclricitatem a
charta vel nuda , vel inaurata recipiendam aptas effeciffe.
20. Illud vero etiam conftans fuit, ut taeniae binae
albae , turn binae nigrae charta nuda , aut inaurata inter-
ceptae , interea dum ipfa charta fupra tabulam fricaretur
(3), vim ele£tricam ejufdem generis acquirerent, & qui-
dem refinofam , ob quam de charta exemtae fe fe repelle-
bant : quo in experimento , cum taeniae nonnifi adverfus
chartam , aut inauraturam , qua undique obvolvebantur, af-
t'ri-
( a ) Sericum glnbo vitreo crrcumdufturri , & charra inaurata fricarum vi-
tream elc&ricitatem in catenam cuuiiile CI. P.Bcccana. experius eft.
Utitrt §. 134. 135.
37
fri&um pad potuerint , patet in eo faltem experimento ,
chartam turn nudam turn inauratam vim etiam refinofam
taeniis five albis , five nigris impertiri , indeque fit vero-
fimile varium etiam modum , quo friftio peragitur, ad eam
inconitantiam (19) aliquid conferre.
CAPUT II.
De friclione binarum taeniarum fericearum oppo/itU
coloribus infeBarum : turn de fymmtriana
cruralium eleUricitate.
21. T^X- experiments in praecedenti capite expofitis
■ ■- fatis conftitit contrarietatem ele&ricitatum ferici
albi , atque nigri , quas CI. Viri Symmerus (£),&Nol-
letius (c) propofuerunt generatim admitti non pofle ,
cum contra ex plerifque corporibus (18), & in quibuf-
dam adjunftis ex omnibus , quae experiri libuit , folo ful-
phure excepto , (18. 20) fericum album fimiliter ac ni-
grum refinofam ele&ricitatem acquirat (d). Praeftabit igi-
tur ea ipfa experimenta expendere , ex quibus CI. Viri in
eam opinionem adducli funt.
21. Symmerianorum experhnentorum haec fumma eft.
Cruralia fericea oppofiti coloris , alterum fciiicet album ,
nigrum alterum (e) prius excalefa&a (/) in crus vel in
brachium (g) opportuna tempeftate (A) immitebat , ibique
vel
(*) f- !<>• ?!• 58. ?9. 40.
( c ) In Symmcrum p. 43.
(d) Revcra fericum generatim inter corpora refinoram ele&iicitatera pofD-
deDtia recenferi confueverat, Nolkt lucons VI. p. 345.
((/)Pp.77.Ji- * 4I'
(.g) p. 9- a*.
IAJ P. 6. 7. ay. 7y. ,6. . »
3*
vel relinqnebat aliquamdiu ( i ) , vel etiam fufque deque tra-
hebat (k) dein utrumque fimul e crure , vel brachio de-
trahebat (7). Quamdiu tonjunfta erant exigua eleftricita-
tis indicia dabant : fi alterum ab altero educeretur , ac
removerentur , utrumque vehementer ele&ricum fe often-
debat, & album quidem vitrea, nigrum vero refinofa ele-
ftricitate imbutum erat ( m ).
13. Nullibi porro Symmerus meminit exterioris affri-
ftus , quo ad tibialia excitanda ufus fuerit : unde ipfo-
rum ele&ricitas foli eorum fri&ui adverfus crus dum in-
duerentur , aut exuerentur ( n ) , vel cruralium inter fe
fri&ui tribuenda erit.
14. Porro li ex friftu cruralium adverfus crus ele&ri-
citas indufta fuiftet , ilrad perpetuum fuiffet , ut crurale
cruri proximum , quod maximam fri&ionem paffum efTet
vim refinofam reciperet , cujufcurnque demum coloris ef-
fet (17) contra Symmerus monet, fi crurale album fit,
vitream ele£tricitatem conftanter recipere,feu fubfit nigro,
feu eidem fit fuperpofitum , & viciffim , fi nigrum, conftan-
ter recipere refinofam ( 0 ) , ex quo conftat elefitricitatem
cruralium in iis experimentis eorumdem friftui adverfus
crus tribuendam non efle.
2 5 . Reliquum igitur eft , ut cruralium ele&ricitas eo-
rumdem inter fe friftui tribuatur (13): & quidem exper-
tus fum fericum album quovis ex recenfitis modis (18)
ferico nigro fricatum , vitream eleclricitatem acquifiviffe ,
nigrum fricatum albo refinofam.
16. CI. Noixetius crurale album, & nigrum alterum
alteri fuperextenfum , & corpori deferenti impoiita confri-
cabat
(*) p. 11.
(I) P. fi. 9.
in) Vid. loca cit. n. c.
(« ) Huic eleftricitatem tribucre videtHr Symmtrus p, 7. o.
(•) P. 6. 141.
3*
cabat , & fimiliter ea ratione album vltrea , nigrum refi-
nofa ele&ricitate conftanter imbuebat ( p ).
17. Porro cum duas taenias oppofitis coloribus infe-
ftas alteram alteri fuperpofitam , fupra deferens leve pla-
num confricarem , eveniebat. interdum , ut alba vitream t
nigra refinofam eleclricitatem reciperet , feu alba fubeffetr
feu nigra , feu pelle , feu charta , feu corpore quovis fri-
carentur. Eveniebat alias , ut taenia fuperpofita eleftricita-
tem reciperet refpondentem indoli corporis , quo fricaba-
tur (18. 1 9) , fubje&a vel eamdem, vel contrariam , prout
taeniae vel fimul , vel feorfim a fubje&o piano feparaban-
tur , non aliter , ac quando duas taenias albas (i) vel
duas nigras (16) adhibebam.
28. Quare cum in primo cafu indoles eleftricitatis na-
turae confricantis corporis non refponderet , fed fricati fe-
rici colori, conftat fimiliter, ac $. 14. ele&ricitatem non
ex friftione , quae charta aut pelle fit , indu&am fuiffe ,
fed ab alterius taeniae adverfus alteram attritu (confer $),
cum contra in cafu altero ele&ricitas indufta refpondens
indoli corporis fricantis oftendat confricatam taeniam ma-
jorem adverfus illud , quam adverfus fubje&am taeniam
attritum paffam fuiffe.
19. Revera primum illud (17) eveniebat conftanter,
quoties fericum confricandum laxum erat , ac cedens , &
cruralium inftar retiforme (y), ut contra fubje&um feri-
cum facilius excurreret , ac fricaretur ; corpus vero confri-
cans ex iis , quae minorem ferico eleftricitatem impertiun-
tur ; cum contra contigeret alterum, fi fericum fricandum
ftri&ius , craffius , rigidius effet, corpus vero confricans ex
iis
Mem. de l'Acad. an. 17*1. p. 148.
Fait i maillt. Ex his pater , cam ftruflurim , quam prae textu-
ra ordinaria telae fericeae his experiments aptiorem exiftimaverat.
O. Symmerus, revera pluriraum conferre ad contrarietatem clcfikrici-
tatum feiki aJbi , fit nigri ler vandara , quoiics alterum fuper alterum
fticatur.
4°
iis , quae majorem ferico ele&ricitatem tribuunt ; ( * ) fie
enim fericum confricatum ab ipfius affriclu potius , quam
ah affriftu adverfus fubjeclium fericum , eleftricum evade-
bat.
30. Idque adeo verum eft , ut fericeum crurale , etiam
album, fupra vitrum charta irtaurata fricatum, vim recipe-'
ret refinoiam , fubjettum vitrum vitream oftenderet ; cum
contra tela fericea firmior, ac denfior (r) vitro fuperex-
tenfa ex friclione per inauratam chartam plerumque , ex
friftione fulphuris perpetuo vitream elefhicitatem reciperet,
tuncque fubjeclum vitrum refinofa imbueretur. Ex quibus pa-
ret ( ut obiter id obfervemus ) fericum album fupra vitrum
fricatum , quod ab ipfo attrahitur , contrariam femper ei-
dem ele&ricitatem poflidere , hinc ftare leges eleftricorum
motuum a Desagulierio propofitas (s). Eas enim eleftri-
citates contrarias efte luculenter conftat , turn quod ex bi-
nis taeniis oppofita eleftricitate imbutis (18), quae ab eo-
rum altero attrahitur ab altero repellatur , & viceveria, turn
quod caeteras omnes contrarietatis notas exhibeant.
31. Igitur fricatum fericum interdum eleftricitatem re-
cipit a corpore fricante , alias a ferico fubjefto , pro ut
ab eorum alterutro majorem attritum patitur , & pro ut
alterum prae altero ele6tricitati in ferico per affriftum cien-
dae aptius eft.
31. Hue etiam facit experimentum aliud , quod nem-
pe fi binae taeniae, alba altera, altera nigra , vel fi tres, qua-
rum duae extremae albae , & media nigra , aut duae ex-
tremae
(*) H'nc diuturna fri&io , quae ut vitrum (Nolla Lccons torn. VI. p. 274.)
fie fericum aptum rcdtlcb.it ad majorem eleftriciiatem ex fndtu fu-
fcipiendam id eiiam efficiebat, ut fricatum fericum potius a fricante
corpore , quam a fuppofito contratii colons ferico ele&ricitatem rcci-
perct.
Jr) Gallice faun Hanc.
s) Confer CI. Nolluium in Symmtr, p, 149. 15c, & Mem. de l'Acad.
torn. cit. p. aj3.
41
tremae nigrae , & media alba , aliae aliis hoc ordine
impofitae charta inaurata intercipiantur , ex chartae fri-
&ione , albae femper vitream , nigrae refinofam eleftricita-
tem acquirant , cum contra , ut diximus (10) , binae albae
taeniae , aut binae nigrae , ea ratione , refinofa Temper im-
buantur. Quo quidem in experimento , qnam vis affri&us
inauraturae circumpofitae adverfus taenias , & taeniarum
contra fe mutuo aequalis fit, inde colligi poteft , pofita
aequali fri£tione , fericum majorem ab oppofiti coloris fe-
rico , quam ab inaurata charta ele&ricitatem recipere ,
adeoque talem exhibere , qualis ab oppofiti coloris ferico
induceretur.
33. Ex his jam facile eft intelligere , cur cruralia in
crus indu£ta , etiam nulla externa adhibita fri&ione ele-
ftrica fierent (13): nempe dum alterum fuper alterum in-
duebatur inter fe mutuo fricabantur. Cur perinde effet five
albo crurali nigrum, five album nigro fubeffet (24) : fcili-
cet , five album fericum nigro, feu nigrum albo r'ricetur,
album conftanter vitream , nigrum refinofam eleftricitatem
acquirit (15). Cur etiamfi cruralia cruri indu&a manu fri-
centur , album perpetuo vitream, nigrum refinofam ele-
ftricitatem recipiat ( t ) ; nempe cruralia cum cedentia fint
ex manu fuperdudta minus atteruntur , quum adverfus fe
invicem confricentur (Confer. 29. 31.) Cur duo cruralia
ejufdem coloris vim acquirant exiguam ( u ) , cum tamen
duae taeniae , etiam ejufdem coloris ex friftione non mi-
nus eleftricae fierent , quam fi diverfum colorem praefe-
ferrent (1. 2). Nempe Svmmerus cruralia cruri applicita
extrinfecus non fricabat (23) hinc fi ejufdem coloris ef-
fent , non aliam ele&ricitatem acquirere potuerunt , nifi
quam levis eorum aifriclus adverfus crus dum indueren-
/ tur ,
(1) Ut in experimentis C/. Nollttii, Mem, dc l'Acad. torn. cit. p. 045. ^$%
(«) 5ymmcr. p. a6. 17. 30.
41
tur , aut exuerentur , excitaffet , quae porro exigua eft i
quod fi vero poftquam ejufdem colons cruralia induta
ruiffent , manu fricarentur , non fecus , ac taeniae in fuperio-
ribus experimemis (i. a) eximiam ele&ricitatem acquire-
bant ( v ). Ex his etiam eruitur , cur cruralia fimul de-
rrahi debeant ( x ). Si enim alterum prius educatur con-
tra fubjechim confricari debet dire&ione illi contraria ,
qua confricabatur , dura indueretur, ex quo eorum vis in-
fringi proculdubio debet , ut taceam , quod gencrale eft
corporibus contrarias elefrricitates poffidentibus , ut nimi-
rum fejuncla multo citius ele&ricitatem difperdant , quam
fi juntta ferventur. Quod fi crurale nigrum albo fuperpo-
fitum fit , quod frequentius contigiffe videtur in Symme-
ri experimemis ( y ) , & mariu etiam fricetur , cum ea-»
dem eleftricitas , & a manu fricante , & ab albo fubje-'
fto in nigrum crurale ex eo friftu conjiciatur, fcilicet re-
finofa (17. 15') , hinc fiet , ut nigri cruralis ele&ricitas ele-
ftricitate albi multo fit vehementior ; proindeque ea obti-
nebunt , quae de binis taeniis, aut fimul , aut fingillatim
a fubje&o piano divellendis adnotata fuerunt (1). Ex liis
demum conftat cruralium ele&ricitatem inprimis excitari
dum alterum fuper alterum induitur , aut fi fimul induan-
tur ({), dum alterum fuper alterum trahitur, extenditur-
que i dum enim detrahuntur, cum detrahantur fimul , vix i
ac ne vix quidem inter fe mutuo atteri pofiunt,; imo ve-
ro, ut diximus, fi feorfim detrahantur, quando ingens
fieri
.
(v) Etiam album fericum fuper album, aut nigrum fuper nigrum cruri im-
pofiium , & manu fticatum eleftricum fieri , fed minus Nollet
in Sym. p. a< Alibi de gradu elefkncitatis caute efle deccinendum ,
feque taeniis fenceis experimenta ioftituuTe , quae Symmcianis contraria
vidcamur p. 43. 44.
( x ) II faut bien prendre garde- de ne pas les defunir. fymmer. p. 8. q.
(y) Uti p. 10. 11., & 30. ji,, & 14;. 144. j'ai trouve que Ic bas noir ne
doit point Ion electrifabilite fur Je bas blanc &c. Nollct in Sym. p. 42.
(t) II eft aires indifferent comment on met les bas Symmer. p. H. Ambo
fimul in crus induxiffe videtur NolUtius Mem. de i'Acad. cii. p. 245.
43
fieri debet alterius fuper alterum affriftus , eorum vis in-
fringitur . Poftquam cruraliu detratla fiint inter fe mutud
■tenaciflime adhaerenr , certo indido jam fufoeptae eleclxi*
-citatis , ut propterea affri£r.ui , quem paiiinitur, dum a fe
mutuo feparantur , ea ele&ricitas tribui non poflit ( & ).
CAPUT III.
Dc conjlanti taeniarum elcclricarum ad laeves
juperficies adJiaeJione .
34. f Aminam plumbi planam ac laevem ex fericeis fills
I j fufpcndebam , ut infulata undique elTet. Turn
taeniam vitrea eleclxicitate imbutam uno extremo ita pre-
henfam , ut manus ipfam fiiftentans a plumbo dillita effet,
tnd planam plumbi fuperficiem admovebam ; fegnirer attra-
hebatur. Si interim ad plumbum digitum ferrem , hunc
inter & plumbum profiliebat fcintilla , & multo alacrius
eo momento taenia ad plumbum ferebatur , eique firmi-
ter adhaerens toto pondere fuo facile fuftentabatur . Per-
gebat deinde taenia ad plumbum adhaerere (a) ; at quan-
lumvis junfta relinqaerentur , nee plumbum, nee adhaerens
taenia ulla amplius eleftrica figna dabant. Si taenia a
plumbo removeretur , nova plumbum inter , 6k admotum
digitum fcintilla emicabat , & taenia ut prius ele&ricam fe
praebebat .
35. Si loco taeniae vitream ele&ricitatem habentis ,
taenia adhiberetur refinofa electricitate imbuta , eadem orn-
nino obfervabantur .
(fr) Quae CI. Nolletli fufpicio eft in Symmir. p. 19.
(.1) Conrtantcm tunc ferici ele&rici ad laeves luperficies adhaefionem CI.
Symmerus primujn obfervavit p. 68. 69 Confirmarit £1. NoiUtius , li«
cci eius explicatio adhaefioni taeniarum ad leves coerccntium fuperfi"
cies' tantummoJo conlciuanea fit. lb. pag. So. Hi.
44
36. Si taenia electricitate five vitrea, five refinofa im-
buta ad plumbi laminam , ut prius (3 4) aptetur , nee fcin-
tilla ulla ex plumbo eliciatur , plumbum taeniam aliam co-
gnomine ele&ricitate imbutam repellit , imbutam eleftrici-
tate oppofita attrahit. Si fcintilla primum ex plumbo eli-
ciatur , attrahit utramque. Si , poftquam fcintilla ex plum-
bo excufTa eft , prior taenia revellatur , plumbum taeniam
aliam cognomine ele&ricitate imbutam attrahit , imbutam
oppofita repellit.
3 7. Igitur plumbum , cui eleftrica taenia adplicita eft,
ejufdem generis eleftricitatem emittit , qua cognomine ele-
ftricitate imbutam taeniam repellit : ubi ea ele&ricitas ab
admoto digito recepta fuerit fcintillae fpecie , jam plumbum
inftar corporis fe habet nullam ele&ricitatem habentis , &
taeniam utramvis indifcriminatim attrahit. Demum fi re-
vellatur taenia, jam plumbum aptum fit eleftricitati , quam
emifit , recipiendae , & propterea ipfi taeniae contrariam
ele&ricitatem oitendit , & admoto digito , novam fcintil-
lam edit .
38. Similiter taenia, quamdiu ejufdem generis ele&ri-
citas ex plumbo haufta non fit per admotum digitum , fi-
gna eleftrica edit : poftquam fcintilla ex plumbo edufta eft,
inftar non eleftricae fe habet ; fi a plumbo dimoveatur ite-
rum fuam eleftricitatem oftendit.
39. Patet itaque taeniam eleftricam planae faciei plum-
bi admotam , niti ut contrariam , & aequalem in plumbum
ele&ricitatem inducat ; poftquam admoto ad plumbum di-
gito talem in ipfo ele&ricitatem excitavit , plumbum , &
taeniam aequaliter , fed contrario modo ele&rica , firmiter
invicem adhaerere , & nullam jam in exteriora corpora
ele&ricam vim exerere : demum fi dimoveantur fibi mutuo
contrarias , & aequales eleftricitates oftendere .
40. Et haec quidem ftellulae & pennicilli obfervatione
confirmantur. Etenim fi dum taeniam ele&ricam planae
faciei
45
faciei plumbi admoves (34. 35.)* acuminatum metallum
oppofitae plumbi faciei obvertas , ftellulam ad ejus apicem
emicare videbis , fi taeniae eleftricitas vitrea fit , pennicil-
lum , fi refinofa : mox utrumvis evanefcet , nee ullam am-
plius ele&ricitatem ad eum apicem obfervabis , quantumvis
taeniam plumbo adhaerentem relinquas. Hanc demum fi
revellas , & removeas a plumbo , apex iterum ele&rica fi-
gna , fed contraria dabit ; nempe pennicillum , fi revulfae
teniae ele&ricitas vitrea fuerit , ftellulam fi fuerit refinofa .
Si acuminatum metallum non plumbo obverfum , fed ipfi
adnexum fuerit , eadem omnia , fed contrario , ut confen-
taneum eft , ordine apparebunt (b) .
4 1 . Igitur ut taenia eleftrica non eleftricae applicita ,
contrariam , & aequalem in hanc ele&ricitatem inducic
( 12, 13.), fie etiam inducit in plumbum , fi eidem ap-
plicita fit (39). Totum difcrimen in eo pofitum eft ,
quod in taeniam vapori eleftrico difficilius penetrabilem con-
traria ele&ricitas alici non poffit, nifi eidem acuminatum
metallum obvertatur ( 1 5 ) ; in plumbum , quod deferens
eft , & acuminato metallo , & cujufcumque figurae defe-
rente corpore admoto , facile aliciatur . Rurfus quemad-
modum , poftquam taenia eleftrica oppofitam , & aequa-
lem ele&ricitatem in adplicitam taeniam non ele&ricam
induxit , utraque atmofphaera caret ( 8 ) , fie etiam poft-
quam taenia ele&rica aequalem , & contrariam in
plumbum ele&ricitatem induxit , nee jam ipfa , nee plum-
bum ulla oppofitarum eleftricitatum figna praebent, quam-
diu jun&a relinquuntur, eas ofteniura , ubi primum a fe
invicem fuerint dimota (39).
41. Ex quibus jam intelligitur , cur fi duae taeniae
oppofito modo , & aequaliter ele&ricae ( 8 ) ad planam
plumbi faciem fucceflive admoveantur , ex cujufque admo-
tione
( t> ) Confer de his fignis eleftricis CI. Btccaria iltttrUis artlfic. §. aoo. & fcq.
tione plumbum inter , & digitum fcintilla exiftat , quae ite-
rum exiltat ex cujufque dimotione, fi fucceflive dimovean-
tur : contra fi (imul vel admoveantur , vel dimoveantur ,
fcintilla nulla fit. Cur fi taeniae eleSricae ad plumbum
haerenti , taeniam oppofito modo , & aequaliter ele&ricam
( 8 ) admoveas ; ilia huic adhaereat , a plumbo fecedens (c)
& interim plumbum inter , & digitum fcintilla exiliat : ni-
mirum dum taeniae oppofitas , & aequales ele&ricitates ha-
bentes in fe invicem agunt , agere deiinunt in ambientia
corpora ( §. cit. ) , hinc plumbum ab aftione teniae ipfi
primum applicitae jam liberum , aptum fit , ut ele&ricita-
tem per hanc induclam amittat , ac fcintillam edat. De-
mum intelligitur ex his, cur duae, aut plures teniae eam-
dem eleftricitatem habentes , atque adeo fete repellentes
fucceflive laminae plumbeae applicitae , fucceflive hanc in-
ter & admotum digitum totidem fcintillas excitent , &
interim aliae fuper alias ad plumbum adhaereant , fi fin-
gillatim dimoveantur , totidem fcintillas iterum excitaturae.
43. Quoniam vero ele&ricitas in plumbum inducitur
oppoiita , & aequalis ele&ricitati adplicitae teniae (3 9), pa-
tet in eo faltem experiments deferentia corpora tantum
vaporis eleftrici recipere , aut emittere pofle , quantum
continent coercentia ; propterea minus tutum ratiocinium
efle , quo ex coercentium onere concluditur, longe majo-
rem in coercentibus , quam in deferentibus corporibus ip-
fius copiam contineri ( d ).
44. Imo experimentum habeo , ex quo direfte confici
videtur aequalem in utriufque claflis corporibus vaporis ele-
ttrici quantitatem contineri. Nempe glaciem intra vas me-
tallicum ex fericis filis fufpenfum aeftivo tempore immifi,
turn leviflima deferentia corpora circa vas conftitui , quae
a qua-
fc) II. ctiam a CI. Symmtro notatum p. 69.
d ) Franklin Tom. I. pag. 186. 1B7. & iy6. & 2.01. VCrf. gallicae.
47
a quavis, vel minima in vafe orta ele&ricitate commove-
ri poflent. Glacies tota in aquam liquata ell , quin ulla
in illis corpufculis commotio obfervata fit. Jam vero
aqua , ur notum eft , fuccuffionem defert , & pro arma-
tura interna phialae fuccutientis infervit , glaciei fruftum
ipfam deferre fimiliter non poteft (c) , adeoque haec coer-
centibus vaporem eleftricum , ilia deferentibus eft an-
numeranda (f) ; quapropter fi coercentia corpora ma-
jorem quam deferentia ele&rici ignis copiam continerent,
glacies , quae liquefcendo ex coercente deferens fit , ex-
ceflivum ignem emittere deberet in vas metallicum , quo
includitur , tantamque ejus copiam dumtaxat retinere , quan-
tam deferentis corporis , in quod liquefcendo abit , natura
poftularet . Quum igitur nil fimile obfervetur , maxime
probabile fit , parem in utroque corpore , glacie fcilicet,
& aqua , parem adeo in coercentibus , ac deferentibus cor-
poribus ignis ele&rici quantitatem inefle (g).
4 j . Si taeniam eleftricam non planae plumbi infulati fa-
ciei (34), fed ejus marginibus in aciem feftis , angulif-
ve admoverem , attrahebatur primum , fed mox repelleba-
tur . Tunc , admoto ad plumbum digito , fcintillam ex-
cutiebam , 6k rurfus taeniae attraftio habebatur , mox , re-
moto digito , in repulfionem abitura ; ficque alterne admo-
to , reraotoque digito , alterne attrahebatur , ac repelleba-
tur taenia , donee omnis ipfius eleftricitas extinfta eflet.
46. Inde liquet , in hoc experimento ex taenia in
plumbum ejufdem generis ele&ricitatem diffundi , quae'
dum difTunditur attraclionem efiiciat, mox vero difWa re-
pulfionem pariat: tunc fi, admoto digito, plumbi eleclri-
citas extinguatur , iterum reliduam taeniae eleelricitatem in
plum-
it ) lb. p. 190. 191.
/') Uii concludit idem Franklinut p. 40. in adnotatione.
{g) Similiter ccratn tbfam,ti refirum deferentia efle ex Wilforo rradit Frankli-
nui ( loc. ult..cit. ) & (amen refinas fufas fola fogeta&ione. clcrtriras
non ricn , led atfnttu incaute admiiro accuraufliinis expenmenus CI.
Zkccaria demonftravit , I. c. §. 468. & feq.
4*
plumbum diffundi , quae dum fluit , novam efficiat attra-
&ionem , dein ubi , fublato digito , rurfus in plumbo ac-
cumulata fuerit , denuo repulfionem producat , ficque al-
terne , donee omnis taeniae ele&ricitas fuerit exhaulla.
47. Si iftud experimentum (45) cum fuperiore ( 34)
conferatur , patet in illo taeniam eleclricam oppofitam ,
& aequalem ele&rieitatem in plumbum inducere (41); in
hoc ejufdem generis (46) ; hinc in priori cafu conftantem
taeniae , & plumbi attra&ionem haberi , in altero attra-
ftionem mox in repulfionem abire. Ejus vero diicriminis
rationem in eo totam pofitam efTe conftat , quod taenia
illic planae plumbi faciei , hie ejus angulis admoveatur : fci-
licet dum planae faciei plumbi admovetur taenia , cum
aegre ejus eleclricitas , ob naturam coercentem , ipfam
deferere poflit , & in plumbum fe diffundere , reliquum eft
xxt eontrariarji , & aequalem eleftricitatem in hoc ex admoto
digito aliciat , cum qua poflit aequilibrari (41); contra cum
plumbi angulis admovetur taenia , horum vi ejus ele&rici-
citas facilius exfugitur , idemque contingit , ac fi taenia
magis deferens eflet (15); hinc plumbum ejufdem generis
eledricitatem acquirit , eaedemque taeniam inter , & plum-
bum motuum leges obtinent , quae in deferentium corpo-
rum motibus obiervantur (g*) .
48. Hasc
ig*) Similiter CI. Atp'mus tubum ex frittione elcftricum , in quadam diflan-
lia, at elc&nciias communicari poflet, vitream elcclricitatem, qualcm
portidebat, de more in aeneam laminam objettam emififfe obfervavir.
Cum eorum diflamia tanta evafiflet , ut per interjettum refiltcnietn
acre in clcftriciias diffundi non poflet, ac propagari , tubum contra-
liam , feu refmofam ele&ricitatem in earn laminam ex corporibus
ipfi vicinis alicuifle ( Vid. Nor. Com Ac. Petrop. Tom. vn. ). Et
ais porro fimilia jam propofuerat CI. Cantonut ( Vid. AuiSt. exper. ad-
je&a edit, parif. oper. Frankl. II. a pag. 289. ad 0^3.) Propterea eleftri-
citas , five interpofitione coercentium intercepia, ut in experiments
Acpmi , & Cantoni , five eorum poris implicita , ut in noflris , adeout
in circumpoCta , aut applicita deftrentia propagari non poflit , con-
trarian} electricitatem in ipfa ex vicinii aliis deferemikus accerfn , ac
conger it .
49
t 48. Hjc adnotata diftinftione (47) facile eft refponde-
re quaeftioni , quam Cl. Nolletius proponit : cur nem-
pe folia metallica a tubo vitreo , refinifve ele&ricis , pie-
rumque alterne attrahantur, & repellantur j alias tamen at-
trahantur dumcaxat , & pertinaciffime ad ipforum fuperfi-
ciem adhaereant ( h ) , nempe quoties eleclricitas .a cor-
pore elecfxico aegre extricatur (i), quae folia acutos mar-
gines , angulofve ad id corpus convertunt ea omnino funt
in adjuncts §. 45., propterea alterne attrahi , ac repelli
debent ; quae vero plana fuperficie ad ipfum converfa funt ,
vel angulum ad oppolitas partes obvertunt , quae res vi-
cem fuppleat digiti tangentis ( * ) , vel manu ad ele&ricum
corpus aptantur , in cafum incurrunt §34, proindeque iif-
dem legibus obnoxia funt , & conftanter adhaerefcunt .
49. Cum taenia elecTxica taeniae non eleftricae contra-
riam elettricitatem conciliabat, inde non multum debilita-
batur , ita ut aliis , & aliis taeniis oppofitam elecrricita-
tem fucceffive impertiri poiTet (12. 13.)- Similiter tae-
nia eleclrica a plumbo dimota , cui contrariam , & aequa-
lem elecftricitatem conciliavit (34) propriam eleclricita-
tem fere integram fervalTe deprehenditur. Hinc eft , ut
eadem taenia ele&rica aliis, aliifque plumbeis laminis con-
trariam , & aequalem ele&ricitatem fucceffive etiam tri-
buere poffit , vel , quod idem eft , fi eleftricitas in plum-
bum indufta , admoto digito , fcinrillae fpecie educatur ,
rurliis nova , & ejufdem naturae ab adplicita taenia in id
induci queat , ficque repetito , donee taenia eleclricitatem
aliquam fervaverit. Igitur in quovis taeniae eleftricae ad
S Pla"
!h ) In Symmtrum p. 56. & Mem. de I" Acad. pag. 2.J4.
i) Quando nam aegre exiricetur intra conftabir
(*) Monuerat jam CI. Nollitiiis , quod fi fjlia metalTca aut alia Fevia cor-
pufcula in tubum mediocriter cleftricum demittantur , Vous oifervere^
tris'fouvent , qu unc panic de ces corps paroit comme collie au corps ilcflri~
que , pendant que i autre ptroit foulevic , 6" comme tntraincc . Ellai (as
1' e'lcttrccite pag. 76.
JO
phnam plumbi faciem aeceflu digitus ex plumbo fcintillam
eliciet , in quovis ejufdem receffu fcintillam fimiliter edu-
cet , fed priori oppofitam ; adeout fi ilia a refinofa plum-
bi ele&ricitate repetenda erat , haec vitreae ipfius eleclxi-
citati tribuenda fit : fcintillae propterea totidem ejufdem ge-
neris ex plumbo elici poterunt , quot vicibus taenia ad
plumbum admovetur , fcintillae iterum totidem ejufdem ge-
neris , fed priori oppofiti habebuntur , quot vicibus taenia
ab eodem plumbo removetur .
5 o. Eae quidem fcintillae paullatim decrefcunt , pro ut
taenia paullatim eleftricitatem fuam exuit ; quandoquidem
vero id lente fit , hinc eft, ut alterna taeniae admotione,
&: remotione plures hoc pafto fcintillae haberi poflint ia-
tis v.ehementes , fi celeriter taenia ad plumbum admovea-
tur , removeaturque. Et quidem cum externam phialae ar-
maturam manu prehendiffem , ejufque unco in qualibet tae-
niae vitream eleclxicitatem habentis ad planam plumbi faJ
ciem admotione , fcintillam ex plumbo elicuhTem , dum
fcintillas ab ejus remotione ortas extraneo deferente cor-
pore excutiebam > faclum eft ut quadraginta circiter fa-
tis validas , parumque decrefcentes fcintillas obtinerem , qui-
bus phiala onerabatur , & fuccutiebat , interiore ejus facie
vitream , exreriore refinofam eleclricitatem habente. Si
eodem modo fcintillas intra phialam accumularem , quas
in quavis taeniae remotione plumbum praebebat , & vi-
ciflim , quas edebat in quavis ejus admotione ,. extraneo
deferente corpore elicerem , phiala etiam onerabatur , &
fuccutiebat ; fed ejus interna fades reiinolam , externa vi-
tream eleclxicitatem habebat : (i utrafque fcintillas , turn
quas in taeniae acceffu , turn quas in ipfius recefiu plum-
bum praebet , in phialam fimiliter congererem , nullam
inde phiala eleclricitatem acquirebat , oppoiitis fcilicet ele-
ftricitatibus M'q invicem deftruentibus. Demum fi fingula
haec experimenta taenia refinofam eleclricitatem habente
infti-
inftituerem , eadem omnia , fed inverfb , ut quifque intel-
ligit , modo eveniebant. Ex quibus illud confirmatur , quod
aliis argumentis fuperius oftendimus (39. 40. ) , fcintillas
plumbum inter , & digitum confpicuas in taeniae admotio-
ne , turn in ejufdem remotione a contraria ele&ricitate ip-
fius plumbi ortas eft'e.
51. CI Symmerus cruralium ele&ricitatem acuminato
ferro hauitam (45. 47.) in phialam adigebat , ficque fuc-
cuffionem habebat , quae porro tanta erat , quanta ele&ri-
citas cruralium , qua phiala fuerat imbuta ( k ) nos fcin-
tillas totidem habemus , quarum fingulae aequales funt aftua-
li cruralis ele&ricitati , quot vicibus ad plumbum admo-
vetur , totidem iterum , fed contrariae naturae , quot vici-
bus ab eodem removetur , ficque modum invenimus faci-
lem ele£tricitatem abfque affriclu multiplicandi.
51. Ex haftenus diftis intelligitur ratio phaenomeni fu-
perius (7) propoliti ; cur nempe taeniae, quamdiu piano,
fuper quod fricatae funt applicitae perftant nulla ele&rica
figna edant , quae itatim praebeant , fi ab eodem dimo-
veantur. Scilicet relinofa ele&ricitas in taeniis praevalens
ab aequali quantitate vitreae eleftricitatis in mbje&o piano
aequilibratur , uti conftat , fi prius infuletur planum , quam
taeniae removeantur : hinc nullam in exteriora corpora
actionem exercet, donee , dimoto piano , aequilibrium non
f uerit fublatum (41).
(*) P. 40. 41.
g I C£r
CAPUT IV.
De phaenomenis tubi aire vacui , aut deferentibus corporibus
pleni . De analogia cruralium oppojitas eleSricitates
habendum cum onerato vitro . De tenacitate
electricitatis in coercentibus .
53. ^1 duo vitra plana, nuda , optime exficcata , al-
v3 terum alteri fuperpofitum fupra corpus deferens
laeve ex. gr. fupra chartae inanratae folium cum fob com-
municans fimiliter ac taeniae (§. 1 . ) fricentur , inde ele-
ftrica fiunt , & turn ad fe mutuo , turn ad fubjeclam char-
tarn adhaereicunt : ft lamina plumbea haud valde crafTa
loco chartae inauratae adhibeatur , ipfa etiam vitris ad-
haerens ab eorum vi eleftrica toto pondere fuo fuftenta-
bitur .
5 4. Quamdiu charta vitris adhaerens perftat , vix ul-
lum praebent eleclxicitatis fignum : ft removeatur , & vi-
tra jun£ta ferventur , utraque facie vitream eleclriciratem
oftendunt : taeniam enim vitrea ele&ricitate imbutam utra-
que facie repellunt , imbutam reftnofa attrahunt utraque .
Si charta vitris iterum aptetur , iterum eleclrica figna
ceffant , & ita deinceps , prout charta vitris adplica-
tur , aut ab eis removetur , ipforum ele&ricitas aut filet
veluti fopita , aut ad exteriora fe prodir , donee penitus
extin&a fit .
55. Si charta, aut plumbum vitris fubje&um fericeam
taeniam adnexam haberct , per quam a vitris divelli poller,
quin tangeretur , atque adeo receptam elettricitatem amit-
teret , ipfum inter , & vitra leve corpus ex ferico filo
pendulum ofcillabat , aliaque omnia habebantur , quae con-
trariam vitris , atque adeo refmofam illius ele&ricitatem
oltenderent .
f6.Vi-
56. Vitra vero ipfa contrariam eleftxicitatem praefe-
fcrcbant , adeo ut inter ipfa leve corpus ex lerico filo
pendulum ofcillaret fuperiore vitream , eamque majorem t
inferiore refinofam eleftricitatcm habente .
5 7. Confideranti facile patebit hoc experimentum idem
omnino effe cum illo , in quo duae taeniae ejufdem colo-
ns altera fuper alteram fupra planum deferens fricatae
fimul ab eodem divellebantur ( 1 ) : ut enim illic reiinofa
ele£tricitas in fuperiori taenia , vitrea cum ipfa aequili-
brata partim in taenia fubjefta , partim in fubltrato defe-
rente corpore poiita erat (7. 51.) , ita hie viciflim vi-
trea in fuperiori vitro , refmofa cum ilia aequilibrata par-
tim in vitro inferiori partim in fubje&a armatura refidet,
unde vitrorum eleftricitas non prius ad exteriora fe pro-
dit , quam detra&a armatura aequilibrium fuerit fubla-
tum .
Hifce itaque vitris eadem experimenta exhiberi poffunt,
quae taeniis ele&ricis inftituta praecedenti capite expofita
funt .
58. Quod (i, detra£ta priori laevi armatura (j3)fricata
vitra per breve tempus hirfuto deferenti corpori imponan-
tur , aut fi fupra id corpus fricentur , ab eo dimota vix
ullam in ambientia corpora eleclricam vim exercent :
cohaerent tamen inter fe, 6k ab invicem dimota acquifitas
oppofitas, 6k quidem aequales ele&ricitates oftendunt , quae
iterum filent vitris ad conta&um reiHtutis , 6k ita deinceps
donee omnis ipforum eleftxicitas extinfta fit . Et haec qui-
dem iis iterum funt fimilia , quae de taeniis. in fimilibus
adjunftis expofita funt (8. 10.)
59. Jam vero patet experimentum noftrum (53) idem
omnino effe cum hauksbejano ( * ) , in quo globus , aut
tubus vitreus aere vacua , aut deferentibus corporibus re-
ferta
(',) Evpcriin. phyf. mcch. torn. I. p. 177., 8c feq. vid. etiam fimilia
Du F*y experimenta a CI. Vcmarejl hue allata p. 399. 8c fe,'
quandiu junfta pcrftabant. Symmer. pag. 36. 37.
f t ) Tom. 1. p. 101. ioi.
(u ) lb. p. 6&. 69., 8c 115. 116.
(v) lb. p. 9. 186. 196. > 201, St alibi paffitu.
6a
75. Enim vero vsporem, quo ex una in alteram arma-
turam deducr.0 oneratur vitrum , non ex ilia prodire , nee
in hanc congeri cenfet VIR fummus , fed a iubje&a vitri
fuperficie per armaturam alteram erumpere , ut per alte-
ram in oppofitam vitri fuperriciem immittatur . Nam, mu-
tatis quantumvis onerati vitri armaturis , fucceflionem haud
minus haberi obfervat (x) , & praeterea adnotat ( j), dum
deoneratur vitrum , iis ex locis , quibus arcus deferentis
oxtremitates admoventur, ab emicante igne armaturae por-
tionem disjici , & interpofitum gluten comburi ; ex quo
confirmari contendit eleftricitatem , quae fuccutit , in arma-
turis neutiquam refidere , fed fub ipns pofitam in fuo tra-
jeclu earum portionem abriperc.
76. Quae quamquam maximam veri fpeciem praefefe-
rant , experimenta tamen nonnulla afferam , quae fuadere
videntur ele&ricitates , quibus vitra onerantur , in armaturis
praefertira relidere ( £ ) , ex iis in extimas vitri fuperficies,
teu in exteriora ipfius ftrata deponi , quando armaturae
divelluntur : idque non alio confilio , ni(i ut acutiores ex-
citem ad eandem rem accuratius perveiiigandam.
77. Taenias plures fericas ejufdem coloris , quinque ad
exemplum , aut fex , optime exiiccatas , alias aliis fuperpo-
iiras fupra laminam deferentem laeyem regula ex ebore r'ri-
cabam , ea cautione , ne in eo affriftu taeniae , vel ab
invicem fepararenmr , vel adverfus fubje&um deferens cor-
pus attererentur . Poltquam fricatae fuerant , li lingulas
feorfim, a fuprema incipiendo , &: ex ordine divellerem ,
in uuiufcujufque divullione. inter taenias fcintillae appare-
bant illis praecife in pun&is , quae ab invicem feparaban-
tur :
( a ) L. e. p. 140. 8c fcq.
iy) L. c. p. 184. 185.
( { ) Vim foccuiiendi in armaturis pofuerat Watfonut fu'uc p. 240. objeftia-
nes ciiam comra doftrinam lranklimanam propofuit , quibus tame*
Franklinus ipfe refpondtt win. I, p. 164. fie feq.
6i
mr : eae fcintillae fimiliter exiliebant in infimae taeniae fe-
paratione a fubftrata deferente lamina. Taeniae autem hoc
modo divulfae omnes refinofam ele&ricitatem praefefere-
bant .
78. Si poftquam taeniae fricatae fuiffent ( 77. ) , omnes
fimul a fubjecto piano divellerentur , in unum fafciculum
cohaerebant, qui praevalentis reiinofae ele&ricitatis ex utra-
que facie figna exhibebat . Tunc fi fades , quae laminae
laevi deferenti applicita fuerat ad hirfutam fuperficiem ad-
moveretur , ut ele&ricitares oppofitae ad aequilibrium re-
digerentur (58), dein ab infima taenia incipiendo , fin-
gularum iterum , fed inverfo ordine feparatio fieret , ite-
rum fcintillae , ut prius , apparebant , fed taeniae omnes
ele&ricitatem habebant vitream , atque adeo priori oppofi-
fitam , fuprema excepta , quae refinofam ele£tricitatem ex
affriclu acquifitam fervaverat.
79. Hinc eft ut'fi taenias eas alias aliis fuperpofitas fu-
pra hirfutum corpus fricarem , dein omnes fimul ab eo di-
vellerem , nt fafciculum haberem , in quo oppofitarum fa-
cierum eleftricitates aequilibratae effent (58) intermediae
taeniae omnes , vel fupremae congenerem eleclricitatern
acquirerent , vel infimae , pro ut a fuprema incipiendo , 8c
progrediendo verfus infimam , vel contra ab infima ad fu-
premum procedendo ex ordine revellebantur.
80. Porro fi binae earum taeniarum fimul revellantur
(77- 78- 79) fibi mutuo adhaerent, & fimul junftae ean-
dem ele&ricitatem habent , quam una tantum revulfa ha-
bitura eflet , fed fi feparentur , obfervabitur earn ele&rici-
tatem in ipfarum extima refidere , intima, per quam fafci-
culo adhaerebant oppofitam , fed multo minorem ele&ri-
citatem habente.
81. Ex quibus conjec~r.are licet, per affri&um (77.)
fupremam taeniam ele&ricitate imbui , caeteras , aut nul-
lam, aut perexiguam recipere : oppofitam vero ,& aequa-
lea
6i
lem eleclricitatem in fubjeftam deferentem Iaminam con-
gen , quae cum fupremae taeniae ele&ricitate aequilibrium
conftituat , impediatque quominus fuprema taenia ulla ex-
teriora edat elettricitatis figna . Si taeniae , a fuprema in-
cipiendo fingillatim , & ex ordine divellantur, fupremae
elecbicitatem in fubjettam deponi fcintillarum fpecie , ex
hac in tertiam , & ita deinceps , donee in infimam depo-
natur, propterca taeuias omnes fupremae cognominem eleclxi-
citatem aclipifci.
8z. Si taeniae omnes fimul a piano deferente divellan-
tur (78), verofimile eft ele&ricitatem in eo congeftam,
& cum fupremae taeniae eleftricitate aequilibratam in in-
fimae fuperficiem , quae ab ipfo divellitur , ex parte depo-
ni fcintillarum fpecie , hine taenias in unum faiciculum
junclas retineri: praevalere tamen in eodem fupremae tae-
niae ele£hicitatem , quod fubjeftae deferentis laminae ele-
clxicitas cum ea aequilibrata , tota in infimam taeniam per-
meare non potuerit : quod ii jam ea infima taenia hir-
futo corpori obvertatur , ex quo majori vi in ipfam elecTai-
citas immittitur (15), tantam recipiet , ut cum fupremae
contraria eleftricitate aequilibretur , Sc tunc porro , fi ab
hac incipiendo fingulae taeniae ex ordine divellantur , fiet ,
ut ejufdem ele&ricitas (imiliter fcintillarum fpecie ex una
in alteram diffundatur , licque taeniae omnes intermediae
ipli congenerem ; atque adeo fupremae contrariam eleftri-
citatem obtineant.
83. Quando porro binae earum taeniarum fimul revel-
lantur ( 80 ) earum extima comperitur habere eleftricita-
tem quam ex friftu , aut ex divulfa fuperincumbente taenia
acquilivit , intima contrariam ab oppolita extima taenia
propagatam , fed nmlto minorem , tantam nimirum, quan-
ta per interpofitas adhuc taenias alias propagari potuit .
84. Cum vero eleftricitas in hac taeniarum feparatione
ab extremaruxn taeniarum alterutra (81. 82.) , vel potius
una-
6*
utraque (83.) in intermedias diffundatur fcintillarum fpe-
cie , hinc ell ut ubi femel taeniae fafciculum componentes
feparatae funt, quantumvis in fafciculum iterum ordinentur
nullae amplius in earum feparatione fcintillae confpiciantur;
nam, ele&ricitate in eum modum ex taenia in taeniam jam
propagata , ratio cefiat , ob quam in nova earum feparatio-
ne fcintillae fuuTcnt appariturac.
8 5 . Intelligitur etiam ex his , cur binac taeniae , ubi
femel feorfim divulfac a fubje&o piano , aut a proximis
taeniis fe fe repellunt , vel ex fimultanea feparatione fe fe
attrahunt , quantumvis ad eas taenias , aut ad planum ite-
rum admoveantur , five feorfim, five fimul divulfae , ut an-
tea fe attrahere , aut repellere pergant . Nimirum eleftri-
citate imbuuntur taeniae in prima ea feparatione : ubi fe-
mel eadem imbutae funt fruftra ad planum deferens , aut
ad cacteras taenias iterum admoventur . Ex quibus porro
jam ratio patet phaenomenorum plerorumque in capite pri-
mo expofitorum ( ab 1. ad 10.)
86. Similiter vero taenias alias aliis fuperpofitas laminae
metallicae adplicabam , quae electricitatem ex globo reci-
piebat , dum interim ad oppofitam taeniarum faciem acu-
minatum metallum obvertebam^ & per ipfius longitudi-
nem promovebam ; dein cum ceflante globi a£tione tae-
nias explorarem , eadem omnino eveniebant , ac in fupe-
rioribus experimentis : nempe pro vario ordine , quo re-
vellebantur taeniae, vel omnes metallicae laminae conn-a-
ria eletlricitate imbui poterant , vel eadem , prima excepta,
cui apex obverfus fuerat , quae ab codem receptam eleclri-
citatem laminae contrariam conftanter fervabat.
87. Quemadmodum igitur ab extimis taeniis in fabjeftii
electxicicas propagatur , aut a fubje£to piano in proximam
taeniam , quando a fe mutuo feparantur , fie ab armaturis
in vitri fuperficies deponi in ipfarum feparatione eorum
phaenomenorura alfinitas maxima , vel potius iclentitas fuade-
re videtur. 88.
6«
88. Revera cum vitrum optime exficcatum laminis p!um-
beis armaflem , quae eidem tanrum adplicitae , nequaquam
vero adglutinatae erant , vitro de more ouerato , armatu-
ras firmillime ipfi adhaeiiffe obfervavi , a quo cum poftea
divellerentur , lux pariter & fcintillae in locis apparuerunr,
ubi ab invicem feparabantur .
89. Cum vero plura fericeae telae (a) folia alia aliis
fuperpofita fimiliter armaflem , 6k oneraflem ( onus au-
tem exiguum recipere poterant , quod , ubi paullo major
ele&ricitas congefta fuilTet , per ferici crailitiem ex una in
alteram fuperficiem exiliebat , unde deonerabantur ) , fir-
miter etiam armaturae ad ferici fuperficiem adhaeferunt ;
fed cum earum alteram , fulpenfa quamvis manu , divelle-
re tentarem , nunquam id perficere potui , quin interim
fcintilla a punftorum aliquo , unde divulfio fiebat per feri-
ci crailitiem ad oppofitam armaturam exiliret , unde &
deonerabatur fericum , &c oppolita armatura proprio pon-
dere fecedens decidebat .
90. Quare verofimile eft ele&ricitates oppofitas in op-
politis armaturis praefertim locatas , eas efl'e , quae ipfa-
rum ad vitrum , aut fericum adhaefionem efficiant , quae-
que , dum armaturae divelluntur , in vitri fuperficies ir-
ruentes fcintillas exhibeant (88) , in ea divulfione confpi-
ciendas . Cum maximo impetu ex armaturis , dum divel-
luntur , in proximam coercentem fuperficiem irruant , hinc
faftum effe , ut armatura altera divelli a ferico non pofTer,
quin eleclricitas ab ipfa in ejus fuperficiem irruens ad op-
pofitam armaturam perveniret (89) .
91. Neque tamen ele&ricitatem totam ab armaturis in
armati coercentis corporis fuperficies deponi, dum divel-
luntur , fed partem eius coercentis reftitentia reprimi ( vid.
cap. praec. ) experimenta iterum infinuare videntur : etfi
enim,
( 0 ) Du fmln .
6*
entrfl , >poftquam ab onerato • .vitro armaturae revulfae fue-
runt, oppofitae .ele^tcioitaces aequilibratae efle pergant , id
«»i>eo-fit i quod aequa^ pars eletkicitaris ab utraque fade
repellatur ; cum autem vitrorum , aut taeniarum altera fu-
perficies eleftricitatem immediate a fricante corpore reci-
peret , altera uonnili a fubje&a. armatura in eius fepara-
ttone fuper ipfam depofitam , eveniebat conftanter , ut non
tota deponeretur $. nam ele&ricitates oppofitae, quae in
aequilibrio erant, quamdiu1 lamina deferens applicita per-
ilabat , ea -dimota , amplius non e rant , praevalente nimi-
rum ele&ricitate fuperriciei fricatae , ex eo , quod defe-
rens lamina oppofitae ele&ricitatis partem fecum abripiiiffet
( conf. cap. i. iy.) . , ... ■ . ..
91. Eamdem rem experiments etiam aliis confirmavi .
Nam , fi vitrum inferiori facie armatum , fuperiori nuda
t-leftricitatem ab '. .acuminato metallo e catena pendulp re-
cuperet.^ r-urfu? eveiuebat,..ut onerarerur , Sc binae oppo-
fitae ele£trieitates i aequilibrarentur , quamdiu vitro adhae-
rens ar-matura eidem aiplicita. perftabat , ea vero detra&a,
fupremae fuperficiei ele^ricitas praevaleret . Si fuperficies
iuperior armata ele£tricitatem reciperet a catena , dum acu-
minatum metallum ad inferiorem nudam obverfum per
pun&a fuperiori armaturae refpondentia promovebatur, ite-
rum onerabatur vitrum , & oppofitae electricitates in aequi-
librio erant , rurfus armatura. adhaerebat , rurfufque r ea
cUvulfa , apparebat haud totam . ele&ricitatem ,fupra vitri
fuperficiem ab ipfa depofitam fuiffe j nam praevalens in-
ferioris faciei electricitas jam ex utraque vitri facie fe
oftendebat.
'9^. 'Scilicet ,- tit pauciVrem -hane- comple&amur , in vi-
tris , aliifque coe; centibus praevalet femper oppofitarum
clectricitatum ilia, quae in alterutram faciem majori vi
adacU eit : propterea ,' Ci nine per friftionem , aut per acu-
minata corpora immitatur , inde per planas fuperficies , ilia
i huic
66
huic praevalebit : aequilibrabuntur vero quoties , vel utrim-
que per planas fuperficies ac laeves , vel per ftilos aeque
acutos utrimque , vel hinc per fridtionem , inde per acu-
minata corpora fuerint immiuae.
94. Ex quibus iterum verofimile fit ele£tricitates fuccu-
tientes in armaturis maxime deferentibus praefertim refidere,
nee nifi aegre in coercentium interpofitorum poros pene-
trare : partem tamen earum non exiguam in ipforum coer-
centium fuperficies irruere , dum armaturae divelluntur ,
ex eo quod eae oppofitae ele&ricitates tanta vi in fe in-
vicem tendant , ut a fe mutuo dimoveri non patiantur .
Friftione , aut acuminatis corporibus obverfis facilius per
coercentia fibi viam facere ele&ricitatem , & per extima
ftrata , quibus haec obvertuntur , non aliter ac per defe-
rentia permeare .
9 5 . Hinc eruitur fieri utique poffe , ut deferentia pa-
rem , ac coercentia ele£trici ignis quantitatem contineant
(43. 44.): ele6tricitatem tantam in illis congeri non
pofle ac in coercentibus , quia oppofitae ele&ricitates fe
mutuo cohibentes in iifdem conftitui nequeunt , quin fta-
tim permifceantur : id tantum obtineri interpofitione coer-
centis ; indeque fieri , ut etiam ad coercentium fuperficies
accumulatae oppofitae ele&ricitates maxima ex parte , vel
per refiftentem aerem difperdantur , quando fepararis , &
dimotis coercentibus laminis , quibus incumbunt in fe age-
re , mutuaque ea aftione fe invicem cohibere definunt (l>) .
96.
( * ) Uti in experimento §. 64. expofito , turn in fymmeriano mox §. 97.
enarrando, quando dimotis vitris , quibus oppofitae ele&ricitares in-
fident per minimum tempus , etfi armaturae nullo deferente cor-
pore tangantur, vis ele&rica maxima ex pane per refiftentcin aerem
dillipaiur, uti conltat ex maxima vi , qua in ea divulHoae repellitur
deferens corpus fupenori armaturae iinpofituni , ex fitilo , ex ampla
luce, quae tunc temporis in loco tenebrk-Mo fupra vitronjin fuperfi-
cies cernitur, hinc ell, ut ad contattum reflilutis vims vel Qulla ,
vel pcrcxigua fuccuflio habcatur.
67
96. Ex his iterum intelligi poteft , cur coercentii , quot-
quot ha&enus explorata funt , indifcriminatim omnia' ad
i£tum ele&ricum idonea fuerinr comperta. Sic porcellana ,
talcum (c) cryftallus montana (J) , refinae , cera hilpanica
(e) , fericum (89), aer ipfe (/), fimiliter ac vitrum one-
rari poiTunt , onerata fimiliter fuccutiunt. Scilicet nulla ha-
bita ratione denfitatis , elafticitatis , mollitiei , fluiditatis ,
peculiarifve indolis eorum corporum , fufficit , ut interpo-
fitione fua contrariarum ele£tricitatum in ie mutuo tenden-
tium mixtionem impediant , ut oneri fufcipiendo apta fint.
97. Demum ex his commode explicari poteft elegan-
tiflimum Symmeri experimentum , in quo duo vitra
fibi invicem applicita , dein exterius tantum armata inftar
unici vitri onerabantur , & adhaerebant (g) , contra ve-
ro , Ci utrimque unumquodque ipfbrum armatum eflet , fu-
perior cuiufque fuperficies vitream , inferior refinolam il!i
aequalem de more recipiebat (Ji) , proptereaque nulla in-
ter ipfa vitra adhaeho oriebatur (i); enim vero, quando
nulla armatura vitris interjicitur , nullum eft corpus , in
quo mobilis ele&ricitas fit praeter armaturas externas , hinc
eleftricitas in alterutram ipfarum immiffa contrariam , 8c
aequalem ele&ricitatem nonnifi in oppofitam armaturam
inducere poteft , confequenter contrariae , & aequales ele-
ftricitates ad oppofitas tantum junftorum vitrorum facies
refidebunt . Quum vero armaturae interjiciuntur , earum
mobilis ele&ricitas fuppetit , quae commoveri poffit : hinc
eleclricitas vitrea in iuperiorem armaturam a globo adve-
i x niens
( t ) Cl. Btccaria in epift. ad Cl. NoUtuim §. 471.
Cl. Ic Roy Encyc. coup, foudroyant .
( ( /) , quan-
(Jt) Eitperiinentum hoc lymmerianum aliquoties fruflra tentatum a Clarif-
fjmo Nollttio tandem ad votum fucceffit Mem. de I' Acad. I. c. p 267.
Enimvero , ut propria obferyatjpfle didki , vei.ievJiTiujus.li^mpr vj-
tris adhaerens efficn , ut non (ecus onexeniur ., ac (1 armatura ,'effet
interjefta. Ex quo apparet multo .magis ab jpfo caye;udum.elTe in hoc
& afluiibus experiments ha&enus propofitis ', -num jn. plerifque aliis
elc&ricis1', cum hunapr, quj ,pro armatura iqferyu-e pntert illo multo
adhuc minor Ct ,' qui impedit , ' quomiaus vitra onetari pof-
fint.
(•) Vid. Frank, torn. I. p. 187.
\lj Idem torn. I. p. ,87. ' ' ' '
quam erumpens ignis eleffcricus .ipforum. craffiti^nv :neuti-
quam trajicere debeat . ,. ••_!:. i •
■'••.' ■ '
C A 1 U , I y I. -
mincer : i ..n: ,>u< v, .j.. , u . e tn
Df quam exp.eqmentis , mempratis . .(74).,,^ aliifquu
permultis (m) Franklinus. dempnftrayerjit , , fimplic,u?ima *.
ceIeberrirnaque,.hypothe(i explicavit j alteram nempe contrar
riarum vele£tjicitatum ab exceflu.-eleclrici fluidi, ,aU-eram a.
defectu nativag ejufd^epi , _q,uaj^itatis ji\ .corpp^ib^s, ,prgfi^i(cij t
ifldeque fieri , ut .pa^copia pjermteaje tfe S»WUfl dejWuaiit.
£ujus hyppthefeos,,praej]antiani] facile . perfpiciujit quicuny,
que naturae fimp}icit^tem - in intrjcatiflimis , etiam _.phaenor
rnenis.mirari cpnfueverunf. Haud dimtendun^vtamen,. eft ,
alii cuicumque, hypothefi locum g'ttk ^ f\ ita _exp£rimeiit^
poftulent , modp illi contrarietati aeque latisfaciafa((/^)r fi
. ; 00. Ft Symmerius quideiu convarietatgrn^iuan^£ov.is.
arguments confirrnavit (oj , at; hypothelim aliam francjkjir
jiianae . fubflituendam duxit : nempe binas jppppujtas elgftri,-
citatesca ,binis. pppoiitis viribus utrimqud pojltivis ' fierij ex
quamm contrjirietate , &: pugna phaenocnena , omnia ,ehV
ftrica^roducajitur , quae^quidem vices oppofltae a duo-
bus ilui^is' oppofitas' natur.as" habehtibus originem . j"du-
cfflM- ■ .. - . . ., . ..- - , ;
1.01. Quanguam yero de duplicis fluidi narura nihil, ul-
tejius, . de.cernere audeat YlR, modeftiflimus (q) , manifeflurn
elt duo fluida elallica fe fe invicem attrahentia eius hypo-
thefi
(m) Tom. 1. a p. 85. ad 93. , 8c alibi paffim. ,
(a.) Confer. CI. Biccaria Utter* II. §. 65.
(0) P. i'i6. 117."'
(/' ) Pug. in., & 119.
(9) Pag. no.
7° . .
thefi adamu/fim re(pondere ; nam prius non quiefcent , quam
aequabiliter fuerint permixta. Haec autern profero , nou
quod velim CI. Viri mentem interpretari in re , de
qua ipfe confulto noluit aperire , fed tantummodo , ut
appareat , quatenus haec hypothefis phaenomenis fatisfaciat.
101. Scilicet ea femel admiffa haud minus explicantur
Watsoni , & Franklini experimenta ad vaporis ele&rici
circulationem fpe&antia ( r ) , & fimiliter intelligitur , cur
vitreae ele&ricitatis fubeuntis , & refinofae prodeuntis ea-
dem (pedes fit ; & eadem iterum (pedes refinofae fubeun-
tis , ac vitreae prodeuntis turn ad acutorum deferentium
apicem (/) , turn ad mercurii fummitatem in communi-
cantibus barometris ( t ) , nam ubi alterutrum elementum
in quovis corpore praevalebit , in ambientia corpora fe fe
expander , ex quibus interim par oppofiti elementi quan-
titas in id corpus migrabit , donee aequabiliter utrumque
elementum fuerit diftributum . Quod , fi lamina coercens
inter deferens ele&ricum corpus , & deferens aliud cum
folo communicans interje&a fit , tunc a (bio in hoc cor-
pus par oppofiti elementi quantitas attrahetur quidem , fed
coercentis refiftentia impedita , tamdiu ad ipfius fuperficiem
haerebit , quamdiu via praefto fit , per quam contraria ea
elementa fibi invicem permifceri queant : unde nullo ne-
gotio ea intelliguntur , quae §. 73. allata funt , & reliqua
omnia ad coercentium eleftricitatem fpe£tantia ; cur ad
exemplum contraria elementa ad oppofitas vitri facies
ajqaabiliter permixta quiefcant , ita fecreta , ut vitrea ele-
ftneitas ad unam ficiem confluat, refinofa in alteram abeun-
te , vitri onus conftituant , quod (bla aequabili eorum di^
(Hbutione iterum deftruatur (74) . Pari facilitate ea intel-
liguntur,
< r ) Vid. Franck. loco ultimo citato.
(/) Vid. CI. Beccaria elmricifmo artificial* paflitn , Fraacklinum torn. II.
p. 167. , 8c fcq.
( / ) Vid. experimenta CI. Wdfon , quae referuntur in Mm. dc I' Acai.
176a. pag. 155.
7'
liguntur , quae cap. III. , & IV. de coercentium ele&rici-
late di£ta flint , quando redundans elementum ita coercen-
tis poris irretitum eft , ut non nifi aegre extricari poflit t
elementum vero oppofitum , quod in ejus locum fuccedere
debet aegre fimiliter eorum poros pervadit , unde in ad-
motis deferentibus diu moram patitur , nifi ea deferentia
ita acuminata Tint , ut illi eliciendo , huic vero immitten-
do lint aptiora.
103. Equidem Symmerus hypothefim fuam dire&is ex-
perimentis confirmari cenfet , quod & fuccuflio in utroque
brachio aequalis ab onerato vitro habeatur (u) , & fora-
mina a traje&a per chartam eleftricitate fimbriata utrim-
que fint , fimbriis oppofitarum facierum ad oppofitas plagas
aire£tis , quibus duarum virium oppofita dire&ione agen-
tium certum argumentum exhiberi opinatur (v). Imo ex-
perimentum affert , quo huiufmodi oppofitae virium dire-
&iones luculentius demonftrantur , ac veluti fub oculos po-
nuntur : nempe metalli tenuem bra&eam chartae foliis in-
terceptam ex vehementi vitri ele&ricitate per chartam tra-
jecla duas impreffiones recipere , quae chartae foramini-
bus a trajiciente ele&ricitate pera£Hs utrimque continuae
(int , & oppofitas plagas refpiciant (x) , & ea quidem vi-
rium contraria direftione agentium aequahtas etiam CI.
P. Beccaria experimento confirmatur , in quo lami-
na vitrea onerata , ac pendula , dum admotis ad oppo-
fita respondentia punfta arcus deferentts extremitatibus de-
oneratur , ne minimum quidem commovetur (y).
104. At quantumvis haec omnia vires oppoiita dire&io«
ne agentes oftendant , vix probant duplici ad eas exercen-
das , eoque contrario fluido opus effe. Etenim ad iuccu£
fionem , quod fpe&at , advertit CI. Beccaria eo ma-
jorem
( » ) P. 87. , 8c feq.
( v) P. 90. 91.
( * ) P. 9>- . & feq.
[y] Laura V. §. t68.
'7-
•jo'rem'^flteJ&feaV-evqtfo angu&tor via eft, per quarrr ele*
nftriciis' vapor- -tmjicirur , hinc sequalitfubrachia-'in omologis
•locis aecju« percuti',''& fuccuffionem eo aitius ,• leu ad am*
'pliores bra^hiorum dimenfioipres pmirigere ^ -quo ele&rici'-
■tas fuerit veheiwemior ( £) ; Fimbrias vero * oppofitas di-
re&iones habentes ab expanfione 'fltridi qiraquaverfus ciiv
ca centrum tindaeA^a) \ -neutiquam vero ab iplius undae
dire£Hone fieri refpondet Franklinus ( &•) j! i ■ fimiliterque
did >poffet imprei'fionum ■contrariacmn , fquae. in folio me-
tallico-obfervantur-', alteram quidenv ab imperu- advenien-tis
fluidi prodaoi , alteram vero -ab'iejufdemv reper.cufiione ob
Teliftauiarn chartae ad -oppofitamii. iplius partem adhuc
ci-a^ciendaeriMiec aliter Cl.m.BeacARiA ex i a&ionis , ■ &
fea^iorais 'aequalitate^explicat tin > firankliniana , hypothefi\
xur vitrum^ pendakiaii,j dumn explofioifit , non comnv>
veatur ( c ): ■ ■ _ .• .;> i i.i a
105. Gontira vero ,. iut ^principro1 dicebam -y > franklinia*
nam hypothefim miraeius fimplici'tas dornmerjdat , turn it-
lud fcholarum entiafine^mcejfitate contrariae ■ele&picitates'. inter 'ie permixtae
fe deilruant , eadern . explicetur ,■ cur, quando mifceri non
poiTuntt, ie invicem alliciant ^ cohibeantque-^nec aliter in
ie agant , quam, ft imutua inter -ipfas-'actraftio iritercedecet
(41; j\. 74. 9j. ),.' Sed ja minimis muloa de perobfcura
quaeftione , quae magnos. Viros in eontrarias partes dutr-a-
xit , qaaa tamen . indicard. voluimus , ut .confturet ,-• .hypo-
thefim: qu&mcumque y quae contrarietatem eteclricitatum in
4e tendentium , &; aequabili .rnixtione Ce & deftruentium
explicet.; notis rhaftenus phaenomenis . aeque confentaneam
efe. |j ,
(l) EUftrfC. artific. §. 431. 432.
( a ) Du coura.nl .
(b) Tom. II. pag. 130. Ita etiam CI. Stccaria tltttric. artific. §. 513.
«. c ) L. C.
DE L' ACTION
DE LA CHAUX VIVE
Sur dijfiremes fubfiances
Par M. le Comte SALUCES.
i . T)Lufieurs Savans ont traiti de la Chaux , & leurs
JL produ&ions font tres-intereffantes ; mais les reful-
tats differens qu' ils ont eus de leurs travaux, ayant contribue
a une diverfite1 de fentimens fur la nature de cette fubftan-
ce , la verite fe trouva ainfi balancee par la reputation des
grands hommes , qui y avoient donnes leurs (bins , & , a
quelque opinion pres , on demeura dans la perplexite &
dans 1' incertitude : c' eft pour cette raifon , qu' apres ce
qu' en avoient dit les Vanhelmont , les Stahl , les Le-
mery , les Zvelpher , les Hartmann , les Fickius , les
Ludovici , lesKuNKEL, & beaucoup d'autresque j'omet-
trai pour plus de brievete, M. du Fay en entreprit un nouvel
examen : fon travail ne fut pas neanmoins ni des-plus fuivis,
ni decififj car quoiqu' il en eut retire un Sel , il n'en a
pas determine la nature. M. Malouin travailla enfuite
fur le meme fujet , & prouva que la Chaux contenoit un
Sel felenitique. M. Macquer voulut, au furplus, voir fi
fes propri^tes etoient dues a quelque matiere faline , qui
concourut a fa formation , & il a demontre le contraire.
M. Pott tourna fes vues fur les phenomenes que prefente
la dhTolution de la Chaux vive dans 1' acide nitreux. M.
Du Hamel obferva ce qui refultoit de la combinaifon de
cette fubftance avec tous les acides , & augmenta par la
Mifcei Torn. III. k l> du Tartre vitriole commun, en
ce qu' il contient moins de phlogiftique , que celui qui fe
volatilife, & qui , probablement , ne doit fa volatilite , qu' a
la grande quantite de phlogiftique , a la quelle il eft uni,
le Sel de Tartre etant une des matieres les plus fixes.
18. C eft encore ici un exemple de la volatilite que
peuvent acquerir les Alkalis fixes , par l'addition du phlogi-
ftique } nous nommerons le premier , Sel volatil , & le
Mifcel Tom. III. I fecond
( t ) La petite quiotite de phlogiftique qui fe trouve combine'e avec un aci-
de vitnolique afFoibli par bcaucoup d'eau, eft la caufe de cette odeur
faetide; ce qui a c'te tres-bicn prouve par M. Hoffmann pag tio.
T. 1. or, dans l'addition qu'on tait de l'huile de vitriol au Sel en
queftion,on combine I* acide vitriolique au phlogiftique furabondanc
du Sel, d' oil il doit ncccllaireaicui Ic naanifefter 1' odeur des auli
pourris.
8i
fecond Sel fixe fulphureux (/). La liqueur qui pafTa
dans le recipient, etoit un peu trouble , & avoit une odeur
fmguliere,etant melee a 1' huile de vitriol; elle s' echauffa
coniiderablement , & developpa une forte odeur de Soufre
brulant ; avec 1' eau-forte , elle donna des fumees dont on
ne pouvoit pas diftinguer la couleur , mais qui fentoient
1' odeur de celles de V efprit de nitre fumant : elle fit ef-
fervefcence avec 1' Alkali fixe , de meme qu' avec 1' Al-
kali volatil. Le Caput mortuum etoit une fubftance com-
pare blanche, tirant fur le gris a fa partie fuperieure; gris
brun a la furface inferieure , avec une partie tres-blanche
au centre; j' en effayai un peu , comme j' ai fait ci-devant ,
& il me refulta ce qui fuit; favoir.
19. II fit une grande effervefcence avec les acides , fe
couvrit d' une matiere onftueufe ; prit une couleur brune
avec 1' huile de vitriol , laiteufe avec 1' eau-forte, ne mani-
fefta aucun changement avec 1' Alkali fixe 6k volatil : il
fe fit au furplus un precipite, dans chacun de ces melanges.
Ce precipite etoit tanne dans 1' acide vitriolique, verd-clair
dans 1' eau-forte , tanne plus clair dans 1' Alkali fixe , &
prefque noir dans P Alkali volatil.
20. J' ai dhTous le reite , je 1' ai filtre , & faitevaporer
jufqu' a ficcite , & il fe forma une croute epaifie , crifial-
line & afiez ferme , qui avoit une faveur on£tueufe pi-
quante , amere , & fentoit un peu 1' odeur d'ceufs pourris,
moins cependant, de ce qu1 elle le fentoit, avant que la dif-
folution fut filtree : c' eft-la le Sel dont nous avons parle
ci-devant §. 17.
2 1.
(/") J* ai dit un exemplc de la volaiilite qu* acqu'drcnr les alkalis fixes, par
I' addition du phlogiflique, pour m'expiimer felon 1'acccption com-
mune; car j'aurai occafion de faire voir, dans la fuite, qu' elle dole
crrc attribue'e, en grande partie, 4 1'aflbciation qui s'eft faitedequd-
que peu d' acide, de maniere, qu' on doit rcgardcr ces prodnits com-
nic ilcs compofe's d'acide , dc matieres inflammables , 8c d'unc fub-
flance fixe, au moien dc 1'eau.
8?
2 1 . II refta fur le filtre une matiere grife fans faveur ,
& fans odeur, qui ne bruloit point, etant mife fur les char-
bons ardents , mais qui y prenoit , teulement , une couleur
blanche; elle fermentoit beaucoup avec les acides,&ma-
nifeftoit une forte odeur fulphureufe avec 1' huile de vi-
triol ; ayant enfuite me!e la combinaifon de ce relidu
avec l'eau-forte, dans celle faite avec 1' huile de vitriol, il
s' eft eleve une quantite de vapeurs fi prodigieufe , qu' il
paroilToit que le melange dut s' enflammer; j' y projettai des
charbons en feu, & les vapeurs s'eleverent avec une force
furprenante ; elles etoient d' une couleur jaune tres-vive ,
& repandoient une violente odeur d' efprit de nitre fumant,
melee d' efprit fulphureux : le refte de la liqueur , qui ne
s & fe reduifoit avec
toute la facilite en une poufliere tres-fine , qui s' at-
tachoit aux doigts : fon odeur approchoit de celle du foye
de Soufre , fon gout etoit un peu amer , & fembloit tenir
comme un glu a la langue. Je 1' ai diffoute dans beau-
coup d' eau , & apres 1' avoir filtree , je 1' ai fait eva-
porer.
32. Lorfque la diflblution fut , environ , a moitie evapo-
ree , il fe forma a la furface une forte pellicule, fans qu' il
fe precipita rien au fond ; ce qui me fit penfer qu' elle
pourroit bien fe criftallifer : mais ce fut inutilement que
je 1' expofai , pendant une nuit , au froid j je pris done le
parti de F evaporer a ficcite,
33. J' en retirai,par ce mo'ien, une croute faline d'un
gout fale fk amer , avant qu' elle fut entierement deiTe-
chee ; mais lors qu' elle fut reduite a une entiere dedica-
tion , elle reflembloit aflez , au gout , a du Sel commun, a la
feule difference pres , qu' elle etoit un peu moins falee , que
n' e(l le Sel matin , fcv un peu on£tueufe , laiflant quelque
trace d' une matiere terreufe graffe brulee par 1' acide vi-
triolique ; ayant enfuite pris ce qui etoit reite fur le nitre,
& f ayant mis dans 1' eau boiiiilante , que j' ajoutois a chaque
fois
87
fois que je filtrois la diflblution qui s'etoit taite , je mis
toutes ces diffolutions fur la croiite faline , dont je viens
de purler, & j' en eus , par l'evaporation, une croute qui,
du blanc, avoit paffe au jaunatre , d' un gout fade,&ayant
la conliltence d' une terre.
3 4. Cette fubftance diffoute daus 1' eau , fait beaucoup
d' effervefcence avec 1' huile de vitriol, donne une grande
odeur fulphureufe , prend une couleur laiteufe, au moment
du melange , s' eclaircit , & fe fait un precipite blanc, &
une ecume graffe a la furface de la liqueur.
Apres qu' on a verfe une certaine quantite d' eau-forte
reiTervefcence fe manifeite avec des fumees blanches, & apres
quelque terns , il fe fait un petit precipite.
35. II fe fait un peu de mouvement avec 1'Alkali fixe,
il fe forme enfuite un coagulum blanc , qui nage dans la
liqueur devenue laiteufe , avec un petit precipite roux jau-
natre.
On voit le meme mouvement avec 1' Alkali volatil , la
liqueur prenant une couleur roufleatre ; apres £tre repofee,
on ne fent plus d' odeur urineufe , il fe fait une precipite
brun ; & on voit une tranche , a la furface de la liqueur,
qui reffemble a une huile.
36. Ce qui eft refte fur le filtre etoit une matiere grhe
foncee , qui perdoit un peu de fa couleur, etant defTt-chee,
pour Ten enlever , l'ayant mile fur une poele defer a un
feu violent, jufqu' a faire rougir a blanc la poele, elle a
commence par prendre une couleur jaune fans fumee, ni
odeur & elle devint enfuite blanche.
37. Je pris une partie de ce reildu que j' avois fait
deflecher fur le hitre , & je 1' ai foumis aux experiences
ordinaires.
11 fit une violente effervefcence avec les acides , & il
manitcfta une puiffante odeur fulphureufe volatile avec
f huile de vitriol , & une tres-forte odeur d' elprit de nitre
fumant
88
fumant avec i eau-forte ; dans le premier , une ecume fur-
nageoit la liqueur que j'avois ettnclue dans feau, & Ton
voyoit des petites particules qui s' y foutenoient , il le fit
au furplus , un precipite gris-brun ; dans le fecond on de-
couvroit de meme cette ecume grafle, qui adheroit aux
parois du verre ,& il n'y avoit point de precipite fenfible.
38. Dans les Alkalis , il parut fe faire un petit mouve-
ment , & il fe lit , fur tout dans l'Alkali fixe , une preci-
pitation , a ce que j'ai pu conjeclurer , prefqu' entiere de
ce refidu , lequel prit une couleur obfcure.
39.Ce meme reiidu, calcine, donna les memes fignes d'effer-
vefcence avec les acides , & de mouvement avec fes Al-
ka'is ; mais avec plus de force , de meme que pour les
odeurs qu'il developpa dans le melange, des acides : cette
ecume fe montra auffi avec 1' huile de vitriol , mais elle
n' etoit pas en fi grande quantite , & le precipite en fut
plus abondant , plus clair , & moins leger ; rien ne fe
foiitenant dans 1' eau; dans 1' eau-forte , il ne fe fit point
d' ecume.
40. Avec les Alkalis , il fe fit une precipite tres-abon-
dant , mais plus clair que celui dont nous avons parle
ci-devant.
41. Je reiterai cette experience „ en mettant 14. parties
de Chaux fur une deSoufre,& j' obfervai que la matiere
fublimee au Chapiteau , & au Col de la cucurbite, etoit
tres-blanche & luifante , fans le moindre veitige de jaune;
on y decouvroit meme des criftallifations en afTez grande
quantite ; mais elles etoient tellement entrelacees les unes
dans les autres , qu' on ne pouvoit pas diitinguer la figure;
cette matiere etoit neaumoins tres-graffe , tk la partie ,
qui adheroit au verre ne put etre enlevee , qu' en la dif-
folvarit dans i' eau : j' en mis un peu de celle que j' avois
detachee avec le pinceau fur les charbons ardents , 6k je
vis qu' elle fe bourfouffloit comme fait 1' alun , pendant
qu' elle
*9
qu' elle donnoit des fumees qui fentoient le Soufre; je dif-
(bus le refte, & je m£lai de cette diflblution dansl'huile
de vitriol, 1' eau-forte, 1' Alkali fixe, & 1' Alkali volatil j
je remarquai , outre les cffets dont nous avons parle ci-de-
vant, §. 23.24. 25. qu1 elle manifeftoit 1' odeur de foye
de Soufre avec 1' huile de vitriol , une odeur fulphureufe
avec 1' eau forte ; qu' elle fe troubloit, devenoit laiteufe , &c
formoit une efpece de coagulum , exhalant une puiflante
odeur de leffive , apres s' etre repofee, avec 1' Alkali fixe: par
1' evaporation du refte de cette diflblution filtree,je retirai
une fubftance grafle, amere , un peu falee, laiflant une im-
preflion terreufe fur la langue , elle etoit par ecailies com-
me la creme de Chaux deflechee , ce Sel manifeftoit une
forte odeur de Soufre brulant avec les acides , & faifbit
effervefcence avec eux ; il ne faifoit voir, au refte , aucun
mouvement avec les Alkalis , & developpoit 1' odeur uri-
neufe volatil du Sel ammoniac.
42. Je faturai d' acide vitriolique le peu qui me reftoit
de ce Sel , je 1' etendis dans l'eau, & apres 1' avoir filtre
& evapore, j'en eus un Sel blanc fait, a-peu-pres, comme
le precedent qui reflembloit a un Sel felenitique, mais dont
le gout apre & ftiptique approchoit beaucoup de 1' alun.
Je tentai de le faire criftallifer par Y addition d' une leffi-
ve, mais je n' en retirai qu' une fubftance qu' il fallut def-
fecher , & qui reflembloit a des coquilles d' ceufs pilees ,
& dont la faveur etoit extremement ftiptique , & laiflbit
enfuite un impreflion terreufe fur la langue.
43. Les refultats des experiences faites fur la liqueur
ont ^te les memes, que ceux dont j' ai parle §. 19. 30.
44. La tete-morte ne dirTeroit de la precedente $. 31.
qu' en ce qu' elle paroiflbit plus legere , & plus brune a
fa furface. Je trouvai
Qu' elle faifoit une forte effervefcence avec 1' acide vi-
triolique , & qu' il s' exhaloit une forte odeur d' acide vi-
m triolique
9«
triolique fulphureux. Avec l'eau-forte, eHe fit aufli beau-
coup d' effervefcence , & manifefta une forte odeur , telle
que celle que donne 1' efprit de Nitre fumant.
45. Avec 1' huile de tartre, on voyoit un petit mouve-
ment qui partoit de la Chaux, pour fe rendre a la furface
de la liqueur ; & je crois etre fonde a penfer , que ce
mouvement etoit produit par l'air, qui fe developpok de la
Chaux: melee enfin a l'eau, elle faifoit efferveicence com-
rne la poudre de la Chaux , &, a-peu-pres , comme la creta
bathenjis.
46. Ayant mis le refidu qui etoit fur le filtre , & qui
y etoit en aifez grande quantite, dans un creufet fur le feu*
je remarquai des petits points de flamme bleuatre, qui in-
diquoient qu' il contenoit encore un peu de Soufre, quoiqu'
en petite quantite" ; il apparoiffoit enfuite des petites e^in-
celles de feu, comme fi elles euffent ete de poudre de char-
bon : apres un feu tres-vif, cette terre qui etoit grisatre,
devint beaucoup plus claire •■, elle ne fe diflblvoit qu' en
tres-petite quantite dans 1' eau: il fe fit un precipite confi-
derable d' une terre tres-fine , & tres-blanche, d' ailleurs, in-
fipide , & inodore : ce refidu mele a 1' huile de tartre
developpa une odeur urineufe, pendant qu' il ert donnoit
une de leflive , lors qu' il n' etoit point calcine.
EXPEr
EXPERIENCE SECOND E.
Combinaifon de la Chaux avec le foye de Soufre dicompofe
par r addition de /' acide vitriolique.
47. TE melai du Soufre avec du Sel de potafle , & je
J noyai ce melange dans 1' huile de- tartre ou j'avois
mis la Chaux ■, lorfque ce melange fe fut repofe , je le fa-
turai d' acide vitriolique, pour faciliter le degagement du
Soufre , & le foumis a la diftillation au bain de fable ;
le feu etant tres-vif du commencement , il fe fit neanmoins
une feparation des fubrtances , felon leur differente gravite
fpecifique ; mais la liqueur qui fe montroit rouge dans le
matras monta claire , & apres elle , il paffa un peu de Sou-
fre dans le bee du Chapiteau : lorfqu' il ne parut plus
d' humidite , je poufTai le feu jufqu' a faire rougir le fable ,
&c il fe fublima dans le Chapiteau des taches blanches en
petite quantite ; voyant , enfin , que la tete-morte avoit une
apparence vitreufe brune, je. laiffai refroidir le matras ;
1' ayant enfuite decoeffe , il s eleva une violente exhalaiibn
de vapeurs volatiles qui a une odeur urineufe, celle-ci etoit
encore plus developpee dans la matiere faline du Chapiteau.
48. La liqueur , qui etoit palTee dans le recipient , etoit
un peu laiteufe, & n/ avoit point d'odeur. Melee a l'acide
vitriolique , elle ne fermenta point, & developpa feulement
un peu d'odeur fulphureufej avec l'acide nitreux, elle pro-
duifit le meme effet.
49. Melee a 1' Alkali fixe , il me parut qu'elle avoit deve-
loppe quelque peu d' odeur urineufe. Melee enfin , a une
diffolution de Sel volatil concret dans 1' huile de tartre ,
melange qui ne donnoit plus qu' une foible odeur urineufe,
elle fe renouvella avec beaucoup de force.
5 o. Le foupcon que j' avois forme , que cette liqueur
put contenir du Sel ammoniac , me fit penfer a la meler
m x a.
a 1' eau-forte , pour en faire une eau regale ; je mis de Tor
dans la liqueur, elle 1' a entierement diffous ( i ).
5 1 . En confiderant les reTultats de toutes ces experien-
ces, il paroit qu' on peut conclure que le Soufre a change
quant a fes proprietes principales , & que 1' aflbciation de
la Chaux , & des Alkalis fixes le rend fufceptible de plu-
fieurs modifications , & d'une decomposition dans fes princi-
pes qui ne peut fe faire d'ailleurs , que par la combuftion a l'air
libre ; mais comme les fubftances , qui fe meloient , & fe
noyoient dans F eau qui paflbit dans le recipient, & celles
qui fe fublimoient dans le Chapiteau , oil, qui s' elevoient
dans le col, etoient en trop petite quantite pour en deter-
miner par des experiences exacles la nature , & pour en
deduire en confequence les alterations arrivees au Soufrej
j' ai pris le parti de faturer de Soufre une quantite deter-
minee
(i) M. du Hamd a obferve' p. 76. mem. de 1'Acad. R. des Sciences an. 1747.
un phenomene quia beaucoup de rapport a celui-ci, & par lequel
il parolt que 1' efprit de nitre fe rcgalife en paiTant fur la Chaux,
ce qui avoit ere' dit par Beker , nous renvoyons a ces deux Auteurs
ceux qui voudroient examiner le Ibnderrent de leur opinion, & nous
nous contenterons d'avancer quelques reflexions qui y ont rapport.
Af. Malouin dans (on memoire fur la Chaux dit pag. 95. d' en avoir tire
une liqueur de la nature de V cfptit de Sel commun &c
On fait qo' en ne fatutant pas les terres abforbantes d'acide m aria , on
obtient un Sel qui a les prrpriete's des Alkalis fixei-
On fait que le fang contient du Sel marin denaiuie par 1' aftion de»
efprits vitaux.
M. Baumi dit avoir fait un Sel alkali artifice!, en faturant de la Chaux
avee du phlogiflique. Man. de Chimie pag. 74.
Ne pourroit-on pas fnupconner que par cette operation, on ne , fit par
une route inconnue, que la combinaifon de I' acide marina laterre,
dans le rapport qui ell necefTaire pour former la fubftance faline
dont nous avons parle, quia les pioprietes de 1'alkuli fixe; ce (eioit
l'efle( d'une dccoinpofition , & recoiupolition, ou, au moins celui
d'une furcompofiiion dont nous avons tant d'exemplcs.
Je n'oublierai pas de rapponer ici un phe'nonene qui feinble prouver
I'e'xiflence de I'acide marin dans la Chaux; c' eft qu' en dilTolvant
de la Chaux dans une forte difTolution de Sel de glauber, il m'efl
refulte , par la filtration & evaporation, un Sel cryftallife comme 1c
Sel d'Ebibirj.
9i
minee de Cliaux , & cT Alkali fixe pour en examiner les
produits.
5 1. Je pris pour cela de la Chaux fulphuree , ou le
caput morruum d' une diftillation de la Chaux faite avec
le Soufre ; le rapport de ces matieres etoit de 16: 1. Sur
deux onces de ce caput mortuum, je mis un gros de Sou-
fre, ayant foin de bien meler les matieres , & de les in-
corporer par le fecours de 1' eau , je fis diftiller ce me-
lange dans une cucurbite de terre a feu nud, ayant la pre-
caution de n* augmenter confiderablement le feu, que Iorfqu'
il ne fe fublimoit plus rien dans le Chapiteau , & je Y y
lbutins ainfi pendant une heure ; je laiflai refroidir la cu-
curbite , j' en retirai la tete-morte qui etoit devenue en-
core plus grife , & plus legere; je la melai a un autre gros
de Soufre, & la foumis de nouveau a la diftillation, remet-
tant le meme Chapiteau , & tel que je 1' avois retire de
la diftillation precedente , je mis a part P eau que j' en
avois retiree , & je reiterai fix fois le meme procede, en
pouflant le feu a la derniere violence la feptieme fois.
5 3- Je vis a chaque fois fe fublimer une matie re blan-
che comme celle dont j'ai parle §. 23. elle pefoit 36.
grains , & a la fixieme fublimation la matiere du Chapiteau
devint jaune pale en dedans , pendant quelle refta blanche
contre le verre.
54. La premiere liqueur qui pafla dans le recipient, le
rapport de la Chaux au Soufre etant de 10:1., etoit un
peu laiteufe, elle avoit une odeur d' ceufs pourris.
Melee a F huile de vitriol , elle s' echauffa , fit efferve-
fcence & prit P odeur de Soufre brulant , en donnant des
vapeurs blanches.
Je ne remarquai aucun mouvement avec l'eau-forte, feule-
inLiu elle s' y meloit comme fait le iirop dans P eau.
55. 11 me parut entrevoir un peu de mouvement par
P addition de 1' Alkali fixe , & il s' eleva une odeur de
leflive. Cette
94
Cette liqueur etoit , d' ailleurs , Ci foible , que les feuls
fignes de 1' huile de vitriol ont ete manifeltes.
56. La feconde liqueur etoit limpide, & fentoit un peu
1' empireume.
Elle ne fit aucune effervefcence avec les acides ; elle
donna feulement des fumees rouffes & epaiffes avec l'huile
de vitriol , & une odeur de Soufre brulant aromatique
avec tous les deux ; on doit encore obferver , que 1' huile
de vitriol fe precipitoit , & ce n' etoit , qu' en agitant les
liqueurs , qu' elles fe meloient , faifoient paroitre les fu-
mees , & T odeur en queftion.
Elle fit effervefcence avec 1' Alkali fixe , & diminua
1' odeur urineufe avec 1' Alkali volatil que je lui rendis ,
par 1' addition du Sel de Potaffe.
57. La troifieme etoit aufli claire , fentant de meme l'em-
pireume , & donnant les memes relultats.
58. La quatrieme etoit auffi claire a la furface, on voyoit
nager une liqueur qui paroiffoit huileufe , elle fentit l'odeur
d' efprit de nitre dulcifie , & produifit les memes effets
que ci-devant.
59. La cinquieme etoit claire, une huile verte fembloit
nager a la furface , fon odeur etoit fulphureufe tres-vola-
tile & tres-penetrante.
Melee a I' huile de vitriol , elle prit une odeur aroma-
tique que 1' Alkali fixe lui enlevoit , & elle fuivit en tout ,
ce que nous avons vu ci-devant.
60. La fixieme etoit , a-peu-pres , comme la precedente,
& donna les memes refultats ; mais on voyoit un fediment
considerable d' un blanc jaunatre.
61. La tete-morte dans les premiers procedes etoit
bleuatre ; mais cette couleur fe changeoit a chaque fois ,
& devenoit plus blanche , jufqu' a ce qu' elle paffa au
blanc fale a la fixieme repriie ; & elle reffembloit , pour
lors , un mortier dont on fait les revetemens , &: fentoit
l'odeur
95
Podeur de la Chaux , a laquelle on mele la colle, & le
gypfe pour blanchir les murailles , elle etoit infipide , &c
peloit one. i. -s- —
6 1. La Chaux a done augmente fbn poids de -_ —
car je n' en avois employe que one. x. & , en ajoutant les
gr. 3 6. de la matiere qui s' eft fublimee , il manque en-
core -£- au poids total, puifque j'avois fait l'addition de -5- de
foufre : or , il faut que ces -g- foient paffes avec 1' eau dans
les recipients ; mais corame les liqueurs etoient fenfible-
ment acides , 6k que dans les dernieres , 1' acide fulphureux
volatile etoit manifefte & developpe j il fuit, qu' il doit avoir
pafTe dans les recipients gr. 100. d' acide libre , etant,
d' ailleurs , probable que le phlogiltique fe foit combine (/fc)
avec les parties de la Chaux , dont gr. 3 6. ont ete fubli-
mes a la voute du Chapiteau: il eft vrai que dans la f>
xi^me operation, il fe fublima un peu de Soufre, fans avoir
foufFert aucun changement, autant du moins, que j' en ai
pu juger par la feule infpe£tion ; & quoique la quantite
ne fut pas confide>able, elle a, neanmoins , concouru aux
gr. 36., & c' eft cette partie que nous verrons qui ne
s' eft point diffoute dans 1' eau.
63. Je pris la fubftance qui s' etoit fublimee , & qui
n' etoit plus ft graffe, qu' elle etoit, a la premiere & a la
feconde fublimation ; je la mis dans 1' eau froide , elle fe
foutint
(A) A la fixie'me reprife une partie du Soufre fe fublima fans fe decompo-
fcr, & c' eft cette partie qui ne put pas fe dilfoudre , & dont nous
parlerons plus bas ; le refte n' etoit , je crois, que des parties dc
Chaux combinees avec le phlogiftique qui a abandonne I' acide vi-
triolique, cc qui doit icvenir environ a gr. 9., favoir au quart du
poids total.
9* .
foutint a la furface pendant quelque temps ; mais petit-a-
petit, il fe fit un precipite blanc , le peu qui furna-
geoit demeurant jaune ; j' en mis tin peu fur le feu
& il s' enflamma comme le Soufre. Les premieres fu-
blimations cependant en contenoient tres-peu $ car cette
matiere etoit toute diflbluble dans 1' eau , quoiqu' elle fut
fort graffe , & qu' elle eontint par confequent beaucoup de
{mlogiftique. Je crois ntfanmoins que dans lr un & dans
' autre , il fe trouve encore du veritable Soufre ; mais il
n'eft pas moins vrai, que la Chaux fe volatilife avec lui ,
&: qu' elle en d^compofe la plus grande partie : or il eft
probable que , pendant que la Chaux agit fur une partie
du phlogiftique du Soufre , & qu' elle en degage 1' acide ,
il y a des parties de cette Chaux, qui font volatilifees , par
1' aggregation du phlogiftique du Soufre, qui a ete decompof^.
64. Ces obfervations fervent a appuyer 1' opinion de
quelques Phyficiens , qui pretendent que la cohefion des
parties des corps depend de la matiere inflammable : M.
Stahl a demontre qu' elle fe rencontre dans les trois Re-
gnes , & qu' elle n' y differe, que par la quantite; or, cela
pofe , en raprochant des faits qui nous montrent que par
une calcination fuivie , & violente, ou par d' autres ope-
rations reiteres , on peut depoiiiller les corps du principe
qui fervoit a les cara£terifer, fans qu' on puiffe les recom-
pofer par 1' addition du phlogiftique , il paroit naturel de
conclure , qu' il n' eft pas le principe qui conftitue toutes
les proprietes des corps, comme quelques Chimiftes l'ont cru.
65. Qaoique les experiences , que ]' ai rapportees, prou-
vent que la Chaux decompofe le Soufre, en attaquant la
partie phlogiftique , il eft pourtant vrai aufli qu'on n' en
retire environ que la moitie en acide fulphureux , en y
comprenant une partie qui fe fepare par la fublimation; il
nous refte done encore a examiner, ft le Soufre reftant, ne
fe trouve dans la Chaux, que comme un fimple aggrege,
ou
97
ou bien s' il s' eft combine avec elle d' une maniere plus
intime ; ce qui me porte a etre plutot de cette opinion ,
c' eft que j' ai toujours fait rougir les cucurbifes de terre
dont je me fuis fervi dans ces dernieres experiences , en
employant un feu de bois tres-vif & continue pendant
long-tems , apres toute diltillation , & toute fiiblimation
finie : or il paroit que par cette operation, le Soufre auroit
du reparoitre, s'ilavoit encore ete uni a fon phlogiftique*
ma is je prefume que ce phlogiflique s' eft combine avec
la Chaux d' une maniere affez forte, pour ne plus etre fu-
jet a Paction de 1' acide vitriolique , qui, a fon tour, eft
puiffament retenu. par la Chaux comme le prouve M.
Hoffmann.
66. Pour determiner plus exa£tement il le Soufre qui
refte dans la Chaux, n' eft plus fous la forme de Soufre, je
fis les experiences fuivantes.
Je mis la tete-morte §. 6i. dans fix livres d'eau,ils'en
eft diflbut environ trois gros ; je la filtrai, & ayant divife
cette diffolution , je mis du Sel de potafle dans une partie,
elle devint d' un jaune clair , il ne fe fit point du tout
d' effervefcence , & il parut feulement un peu de precipite;
mais comme je n' ai eu aucune marque qui m' indiqua le
point de faturation , je ne fais pas fi ce peu de precipite
n' a point ete produit par de I' Alkali furabondant ; ce qui
me paroit d' ailleurs tres-probable. 11 s eleva nenamoins
a la furface de la liqueur une fubftance blanche qui ref-
(embloit a de la graifle figee , & qui, peu-a-peu,s' eft pre-
cipite. (J' avois vu la meme chofe dans le melange du
foye de Soufre a la Chaux : toutes les fois que j' ajoutois
du Sel de potafle, le melange alors fembloit meme fe gon-
fler , & il en fortoit une grande quantite de bulles d'air)
mais revenons a 1' experience i je decantai la liqueur, & la
fis ^vaporer au bain de fable , ce qui me fournit un Sel
gras fait , a-peu'-pres, comme celui du §. 41. mais fentant
Mifcel Tom. III. n T odeur
98
1' odeur d' urine evaporee fans aucune difference , fon gout
eroit fort acide e^ant bien deifoche" , ( / ) amer , un peu
rtiptique , & laiffoit une impreffion oncTaieufe for la langue,
d' ailleurs tres-avide de 1' humidite.
67. Ce qui etoit for le filtre defleche a 1' air, eroit com-
me du limon , il fe petriffoit avec 1' eau ; mais il fe fen-
doit au feu, il exhaloit un peu d' odeur de Soufre brulant ,
6k il paroiffoit altere par un autre odeur qui reffembloit
a du Camphre ; il ne donnoit point de flamme, fon poids
ne fut pas fenfiblement diminue, il devint tres-blanc 6k ap-
prochoit beaucoup de la eraye friable.
68. Je mis le refte de la diffolution dans un alembic de
verre , 6k: apres la diftillation finie, je trouvai une croute
grife elaire, dont le centre etoit roux noiritre. Je ne pus
detacher cette partie , tant elle adheroit au verre; je pris
le parti de la diffoudre dans 1' eau, pour la remettre a eva-
porer jufqu' a ficcite, fins pouffer le feu fur la fin (comme
j' avois foit dans la diftillation, pour voir s' il ne fe fobli-
moit rien au Chapiteau , ) & j' eus encore une craffe rouffe
qui fentoit !a grailfe brulee, 6k tres-adherente a la capfule;
dans le milieu, on remarquoit une tache qui ne reffembloit
pas mal a une pierre , dont on tire le gypfo, qui eft un
peu argentine; j' eus beaucoup de difliculre a la detacher,
& elle relfembloit exaclement a la pouffiere par fa couleur.
J1 en mis une prife fur un for rouge, elle y jetta beau-
coup de fomees d'une odeur de graiffe brulee, 6k y prit
la couleur du charbon ; l'ayant mife dans 1' eau elle parut
s* y diffoudre, mais elle fe precipita en entier, autant que
f en pu juger lorsqu'elle fut bien r^pofee.
■ -. ■ " ' *.
(1) Tout le mnndc fait, que de la combinaifon de la Chaux avec un Al-
kali fixe il rcfuhe le cauiliquc potemiel ieure,
je 1' arrofai d' eau fans qu' il y ait eu la moindre effer-
vefcence , & je vis fe former comme des graifles qui ne
reflembloient pas mal a de 1' huile noire empireumatique
qu' on tire de la fuye , & comme le melange etoit trop
liquide , j' ajoutai -~- de charbon ce qui endurcit aufli-tdt
la matiere ; je la detrempai avec de nouvelle eau la pe-
triffant, & la foumis a une nouvelle diftillation.
81. Je retirai une liqueur claire un peu on£tueufe qui
ne faifoit aucune efFervefcence avec les acides , en faifoit
fenfiblement avec 1' Alkali fixe & rougiffoit un peu les
bords du papier bleu; fon odeur etoit celle du noir de
fumee. II fe fublima une bande tres-blanche au Chapi-
teau. Cette liqueur acidule & ce fublime me firent naitre
la penfee de cohober de nouvelle eau le caput mortuum,
& de voir ce que j' en aurois ; je dilpofai l'appareil, &
ayant mis le meme Chapiteau fans recipient, 1' Evaporation
qui fe fit pendant la nuit enleva tout le fublime ; je fis
n^anmoins la diftillation, & 1' eau que j' en retirai quoiqu'
ayant la meme odeur que la precedente ne donna aucun
figne d'acide ni d' Alkali , il fe forma cependant un nou-
veau fublime' qui reffembloit aux fumees que laifle la bonne
poudre a canon fur la batterie des moufquets.
82. Pour m' affurer fi ces fublimes dependent du phlo-
giftique qui entre dans ces combinaifons, ou fi en efFet ce
font
107
font des parties volatiles qui exiftent dans la Chaux , je
melai encore -zr de charbon a cette tete-morte delayde
dans 1' eau & en meme- terns je mis de charbon dans
' one.
une autre cucurbite & de Chaux dans une troifieme
one.
pour &tre allure des mes reTultats ; il paroit meme que
j' aurois du commencer par-la j (i en effet je n' avois pas
regarde" ceci comme un acceflbire, fans doute c' eut ete
ma marche ; mais venons au fait: 1' eau qui pafia etoit
roufleatre onftueufe & fentoit 1' odeur de la fum^e du
bois , d' ailleurs elle ne donna aucun figne d'acidite , il me
parut a la verite qu'elle faifbit quelque mouvement avec
les acides , & que le papier bleu perdit quelque nuance
de fa couleur. Ce qui fe fublima au Chapiteau etoit 11
peu de chofe qu' il etoit a peine fenlible.
83. La tite-morte dtoit une matiere farineufe un peu
jaunatre , on n* y voyoit plus de velHge de charbon quoique-
j' en eufle mis un poids egal a celui de la Chaux fans
tenir compte de 1' huilej fon poids n' etoit plus que d'
y. Nous avons remarque §. 77. que la tete-morte apres
la premiere diftillation devoit avoir augmented de -5- —
le poids de la Chaux employee qui etoit de j. or il
feut de toute neceffite qu' il fe foit volatilife — ■ gros, .
* one. 2 °
de ces fubftances par l'intermede de 1' eau j il me paroit.
naturel d' afligner cet eifet a 1' eau ( p ) car nous voyons
0 x. qu'elle
(p) Ceil id le denouement du doute propofc §.08.
ioS
qu' elle etoit toujours charged de couleur ; la premiere fur
tout donnoit des marques fenfibles d' un Sel acide: une
partie doit done avoir ete confondue ou diflbute par l'eau
meme , 1' autre qui fans doute n' etoit pas la moins confi-
derable eft celle qui s' eft fublimee au Chapiteau les trois
premieres fois fur tout.
Cette volatilifation de la Chaux ne me paroit pas nean-
moins 1' effet de l'art, & femble nous convaincre que
1' eau feulement eft le vehicule propre a degager ces par-
ties, qui exiftent telles dans la Chaux, fans que le phlogi-
ftique concoure a cet efTet , fi.ee n' eft qu' en s' engageant
a la Chaux , 1' eau qui eft dans les corps dont il arrive
la decompofition , par fa privation , puifle alors operer
( a ) cette feparation des principes fixes , & volatils de la
Chaux; en effet nous voyons que la quantke de matiere
qui fe fublime va toujours en diminuant , qu' elle conti-
nue a fe faire fans addition de phlogiftique , & par le feul
intermede de la nouvelle eau qu' on ajoute.
84. Je crois de pouvoir me dilpenfer d' examiner ce
qui regarde les Sels nitreux avec la Chaux; ce fujet ay ant
etc traite avec plus d' etendue par des Savans du premier
ordre ( r ) fous un point de vue , exige un temps plus
long que celui que je pourrois y donner pour le prelent.
II me fuffit de rendre compte ici , que nou feulement le
nitre
{q) Les re'fuhats dont nons avons rendu compte §. 81. Hi. Temblent nou*
prouvcr qu' il arrive le changement en queflion ; car quelque foin
que je me fufle donne' pour priver la Chaux, & I'Akali fixe de
toute humidite, il eft neanmoins pafle un peu de liqueur , & il s'eft
forme a la voute du Chapiteau un peu de fublin e blanc qui
avoit les caradteres de ceux dont' nous avons parle §. 8. & 23. I«
petiic quantiie cependant de ces ptoduits nous a encoe tait coo-
nottre que ce n' eft qu' a la faveur de l'eau que le Soutre pcut
^tre decompofe.
(r) Outre les oblcrvations de M. Du-Hamcl, on trouve dans le rectieil des
ouvrages de A/. Pott un excellent memoire dans lequel il reftifie biea
des c holes , quiavoient eie avancecs par d'auues Savaius.
nitre calcaire eft moins inflammable que le falpetre com-
mun , mais que la Chaux fulphuree ne fait point d^ton-
ner ce Sel , & que la poudre a canon difloute dans une
eau de Chaux , cohobee plufieurs fois fur de nouvelle
Chaux, perd beaucoup de fbn inflammability.
Le travail que V Illuftre M. Du-Hamel a fait fur la
Chaux , & fur le Sel ammoniac a jette" un fi grand jour
fur cette matiere , qu' il ne refte plus que quelques expe-
riences a faire , & dont il en a rente quelques unes lui-
meme.
8 5 . Celle qui paroit etre la plus naturelle , 6k en m£me
temps decifive ell fans doute celle , par laquelle il
s' etoit propofe de faire du Sel volatil en chargeant la
Chaux de phlogiftique ; mais comme je n' ai pas vu la
fuite du travail dans laquelle il fe propofe la refblution
de ce probleme , j' ai cherche s' il etoit poflible de reuf-
(ir par un (r ) procede different de celui dont le Savant
M. Baume' a fait ufage. Ce procede quelqu ingenieux t
& quelqu' elegant qu' Il foit , me paroit neanmoins fouf-
idr des difficultes pour la refoluuon du probleme en que-
ftion : ceci ne doit cependant diminuer en rien le merite da
travail
(i) Comme il n' eft pas poflible de fe procurer rous les e'clairciffemens ne-
ceflaires pour de'velopper les caufes qui produifent, ou qui con-
courent a un effet dans un fujet quel conque , fans chercher a de-
terminer s'il n'eft produit que dans un cas particulier, ou C c'eft
une loi conflante dans des circonfiances determiners (cc qui em-
pone la ne'ceflite de comparer le plus grand nombre de refultats
qu' il eft poflible , & qu' on obtient des variations de quelque cir-
conftance que Ton tache de fe menager) on ne fera pas furpris fi,
m'etant propofe' I'examen de quelques phenomenes qui refultent de
l'a&ion de la Chaux fur le Sel ammoniac, je donne une quantite
d' • xper iences cd la Chaux n'y entre pas, & qui ne doivent fervir
qu' a me faciliter le developpement de l'objet que je me fuis pro-
pofe. Je ne crois cependant pas de devoir ne'gliger quelques obler-
vations , 8c quelques reflexions qui fe prefentenr naturellemenr danj
le cours de ces experiences, & je me fais un plaifirde reconnoitre
que ce travail ne doit etre regarde, dans cette pariie , que comme
une fuite de celui du Savant M. Du Hamtl,
no
travail de M. Baume' ; car il eft en effet parvenu k
faire non feulement du Sel volatil en employant la
Ghaux pour intermede , mais il a encore tellement dena-
ture" la Chaux , qu' il dit lui-m&me 1' avoir convertie en Al-
kali fixe j d' ailleurs fon but n' a pas iti d' examiner , (i
ce Sel volatil etoit produit entierement par la d^compofition
du Sel ammoniac , ou s' il ne s' en trouvoit pas une par-
tie , qui fut produite par la matiere animale avec laquelle
il avoit phlogiftique la Chaux; (t) mais ce fut pour re-
finer un probleme propofe" dans le journal de Medecine
en O&obre 1761. dans lequel il eft annonce* qu' on peut ob-
tenir par le moien de la Chaux-vive pure , 1' Alkali vo-
latil du Sel ammoniac louj, la forme fluide ou concrete ,
a la volonte de 1' artifte : on voit que c' en etoit aflez
pour demontrer 1' infubfiflance de 1' enonce du probleme;
mais en eft il de meme pour la refolution du probleme
propofe par le Savant M. Du-Hamel ? Je crois qu' elle
fuffit pour demontrer , que tant que la Chaux ne change
pas fa nature , elle ne peut donner de Sel volatil.
86. Voici les difficultes qui me paroiffent encore fub-
fifter dans leur entier.
Primo. La Chaux chargee d' une matiere qui contienne
du phlogiftique , ck dans laquelle on ne puifle foupconner
rien
(«) On pourroit objefter que par la violence du feu qui eft necefTaire pour
cette operation, 1' Alkali volatil auroit du fe diffiper; mais il me
paroit qu'on ne fcroit pas bien fonde a penfer ainfi; car 1' Alkali
volatil n' exiftant pas par Iui-m3me dans ces roatieres , & n' etant
qu' une produftion de I' an, il eft nature! de croire que la Chaux
qui eft capable de le retenir avec tant de force dans la combinaifon
qu'on fait de cette fubflance avec le Sel ammoniac , doit de meme
empecher la diffipatton qui »'■ en feroit en fe combinant avec le
Sel atnmoniacal dont cet Alkali fait partie: il eft vrai qu'on pour*
roit meme mer la pre'fence ou la formation de ce Sel ammonia-
cal , comme n' etant pas demon tree, fi Ton rerlechit cependant fur
lei produits de 1' analyfe du fang , on vena que la cholc n' ell pas
jout-a-lait hois de vraifemblancc.
Ill
rien de volatil , donne-t-e!le du Sel volatil avec le Sel
ammoniac ?
Secundo. L' efprit volatil fait par la Chaux-vive , ou.
par les Chaux metalliques n' enleve-t-il rien de 1' inter-
mede ?
87. Void les experiences que j' ai faites fur ce fujet :
je commencerai par xrelles qui fe rapportent a la premiere
queftion.
Je melai aufli exaftement qu' il me fut poflible deux
p'rties de charbon vegetal fur une de Chaux, & j'en fts
une pate avec de 1' huile d' olive , je la mis dans un
creufet au feu, que je fis rougir a blanc aprefque 1' huile
fut toute brulee & reduite en charbon ; je retirai alors
cette Chaux, & la petris avec de nouvelle huile, remet-
tant ce melange dans un creufet au feu , je reiterai enfin
trois fois cette operation.
88. La Chaux ainfi chargee des matieres graffes , &
expofee a un tres-grand feu foutenu pendant long terns
fe reduit en une pouffiere brune feche qui ne fait plus
d' effervefcence avec 1' eau ; j' en pris -^ que je melai avec
-g- de Sel ammoniac dans une cucurbite de verre fur un
bain de fable ; je commencai par un feu doux que j' ai
poufle enfuite jufqu' a faire rougir le fond de la cucurbite:
il pafla un peu de liqueur foiblement urineufe dans le
recipient , & le Sel ammoniac s' eleva le long des parois
du verre , fans qu' il fe foit fait le moindre atome de Sel
volatil: je decoefai 1' alembic, & je mis — d'eau de pluie
o
ayant foin de faire diffoudre autant qu'il m'etoit poflible
le Sel qui s' etoit eleve, mais comme il en etoit pafle
dans le recipient meme, & qu'il en etoit refte dans le
bee du Chapiteau, je ne crois pas que la quantite dif-
foute
lit
foute par T eau put arriver a — ; je commencai de meme
par un feu tout-a-fait doux, & lorfque la diftillation fut
achevee , je pouflai le feu a la derniere violence & il
fe fublima fur la fin une petite quantite de matieres blan-
ches , qui s' eft neanmoins refoute en liqueur en conti-
nuant l' operation ; le Chapiteau ne fentoit pas d'odeur uri-
neufe & tenoit plutot une foible odeur de foye de Sou-
fre , ce qui s' accorde parfaitement bien avec les expe-
riences de M. Malouin ; la liqueur etoit du veritable
efprit de Sel ammoniac qui tenoit cependant en diflblu-
tion une certaine quantite du meme Sel , favoir celut
qui avoit paffe dans le recipient a la premiere diftillation ,
& ce qui m' a prouve que ce n' etoit point un Sel vo-
latil ce font les vapeurs blanches qui exhaloient du me-
lange de cette liqueur avec les acides vitrioliques & ni-
treux dans le temps de 1'efFervefcence; phenomene cepen-
dant qui n' a pas lieu lorfqu'on mele a ces acides un
efprit de Sel ammoniac tire de la Chaux qui foit exafte-
ment pur : ( u ) une autre indice qui a fervi encore a me
confirmer dans ce fentiment , c' eft le mouvement qui
s' eft excite dans cette liqueur par le melange d' un peu
de Sel de tartre, ce qui a augmente confiderablement la force
de cet efprit.
Un phenomene cependant tout-a-fait digne de remarque, c'eft
la cou'eur verte decidee que cet efprit fait prendre au
papier bleu , ce qui paroit encore confirmer ce que nous,
avons dit a la n. du §, 70.
89.
(■) Je dis un efprit e'xaftement pur, car il arrive tr£s-fouvent que par un
coup Je feu imp vif du commencement de I' operation, d'une pro-
poition peu convenable entte !e Sel ammoniac & la Chaux, if
pafle du Sel dans le recipient; *uili nc fautoit un a£Te> prendre de
precaution*.
H3
89- N' ayant pu reuffir par ce procid6 a retirer du Sel
volatil , je me doutai que cela eut pu provenir d' une
trop grande quantite de matieres graffes dont )' aurois im-
pregn^e la Chaux , & comme je n' etois pas dans le cas
de chercher par un tatonnement trop long a determiner
la quantite qui pourroit £tre • ndceflaire pour procurer a la
Chaux cette propri&e etrangere a fa nature ; je me flattai
d' y parvenir de m£me en broyant enfemble du charbon
a la Chaux, & en combinant enfuite ce melange avec un
tiers de fon poids de Sel ammoniac.
90. Quoique je fufle af {ire que le charbon ne peut pas par
lui-meme decomposer le Sel ammoniac, pour m'en convaincre
cependant par 1' experience , je fls auffi un melange de
charbon & de ce Sel dont en effet je ne retirai rien-.
Dans la premiere de ces combinailbns , la Chaux, le
charbon & le Sel ammoniac que je mis dans une cu-
curbite de terre etoient en egale quantite , & il me re-
fulta une liqueur infipide & fentant tres-fort l'empireume
avec du Sel concret a la voute du Chapiteau , ce Sel
n' etoit cependant que des fleurs de Sel ammoniac com-
me je m' en fuis alsure en en mettant dans 1' huile de vi-
triol avec T huile de tartre , & la Chaux.
La liqueur quoiqu' infipide & fans odeur urineufe
donnoit les memes figues , de maniere que je ne favois
fi le defaut de faveur & d' odeur urineule devoit etre at-
tribue a la iurabondance des matieres graffes dont elle
avoit les caracleres les plus marques , favoir l'onftuofite,
1' odeur tres-empireumatique , la couleur rougeatre, l'odeur
fulphureufe qu' elle manireltoit avec 1' huile de vitriol ; ou
a ce que la plus grande partie du Sel ammoniac fut paf-
fee fans fe decompofer en forme liquide : ce fentiment me
parut le p'us probable; mais avant toutes chofes je cms
devoir reiterer cette experience en variant la dofe des
matieres.
Mifcel Tom. JIT. p Je
ii4
9 1 . Je retirai done d' un melange d' une partie de
Chaux-vive fur deux de charbon & une de Sel ammoniac
\ine liqueur dont l'odeur approchoit tres-fort de la prece-
dente , & le Sel qui s' etoit i iiblime en plus grande quan-
tire avoit un peu d'odeur urineufe , a-peu-pres comrae
les fleurs ammoniacales metalliques.
91. Je repaflai une partie de ce Sel fur deux parties
de nouvelle Chaux-vive , mais les produits furent tres-peu
considerables; car ayant employe un gros de ces fleurs,
je ne retirai que quelques grains de nouvelles fleurs de Sel
ammoniac ck quelques goutes d' efprit urineux , malgre
que j' eufl'e fait cette operation a feu nud dans une cu-
curbite de terre.
9 3 . Quelque foin done que je me fois donne je n' ai pu
parvenir a retirer du Sel volatil de la Chaux chargee de
phlogiftique tire d' une fubftance vegetale (jf).
Je
(*') La Chaux ainfi chargee de phlogiflique & fature'e enfuited'acidc vitris*
lique , donne par la diffolution, filtration & I' evaporation un Sel
qui ne m' a pas paiu diffe'rer de I' alun de plume & qu' on ne dote
cependant pas contondre avec I'amiante comme fait M. Lemtry ,
celui-ci eft d'un gout aftringent un pcu douceatre blanc commc
de la neige , forme des vegetations en bouquets par une evapora-
tion rooienne, fe bourfoume fut le feu, enfin il a tous les cara-
cWres de ce Sel qui eft fort rare, 6c qui par-la peut devenir tres-
commun. Je ne fache pas que perfonie ait encore donne la ma-
nure d'en faire , ni cherche a connditrc ce qui entre dans facoro-
pofition.
•Je de'compofai cet alun par V addition de 1' efprit .volatil dans 1'efperance
de retirer un nitte, fonde fur les experiences de M ValUrius & d«
M. Pietfch. Le premier difant qu' il avoit retiic' de ce Sel par la
combination de I'acide vitriolique avec 1' huile de 1' efprit de vin
& leSelde tanre, & rappottant en nieitie terns que ce dernier en
avoit fait avec du vitriol , de I' urine putrefiee & de la Chaus :
or comme il fui.roit de ces experiences que le nitre ne feroit que
I'acide vitriolique denature pari' Alkali volatil qui fe devcloppe pac
la putrefaction , 011 felon le premier que ce meme acide charge de
matiere phlogiftique eft combine a un Alkali fixe; j'ai voulu voir ft
cette combinaifon m' en fourniroit , mais fe 11' ai retire que du Set
animoniacal lecret.
Je ne pretends pas dire pour cela que la chofe ne
foit pas poflible ; ft le probldme de M. Baume' elt fo-
luble dans cette circonftance , on voit qu' il ne rencontre
plus de diffieultes ; mais la refolution du probleme pro-
pofe" par ce Savant ne feroit-elle pas plus facile , i\ on
employoit la pierre a Chaux, la craye , ou toute autre
fubftance capable de fe convertir en Chaux, mais qni n'eut
pas encore fouffert 1' a£tion du feu , au lieu de fe fervir
de la Chaux-vive ?
Comme c' eft une queftion qui ne peut etre decidee
que par le fait , je me difpenferai d' expofer les raifons
qui me determines a penfer qu' il y ait un plus grand
degre de probability & qui m' ont engage a propofcr
cette conjecture.
Les rel'ultats des dernieres experiences & les reflexions
que m' ont fourni d' autres qui font tres-connues fur le Sel
ammoniac , conjointement a celles du Savant M. Du-Ha-
mel , m' ont engage a en faire de nouvelles dont je vais
rend re compte.
Pour plus grande clarte, je commencerai par expofer
quelques corollaires que cet Uluftre Physicien a tires de
fon travail rempli de fagacite.
„ I.° Toutes les fois que 1' urineux ammoniac paroit
„ dans la diftillation en forme concrete , c' eft qu' il a em-
„ portde avec lui une portion concrete de 1' intermede
„ avec lequel on l'a diftille.
„ II.o Toutes les fois qu' on a cet urineux eo
„ forme d' elprit , c'eft qu' il a pafle dans la diftillation
„ avec 1' eau qui etoit contenue dans les matieres , &
„ qu' au lieu d' etre joint a un fubftance folide qui lui.
„ donne du corps, il l'eft a un liquide qui le fait pa-
„ roitre fous cette forme qui lui eft propre.
Apres les experiences que nous venons de rapporter ,
tout cela ne fouffre plus de dirficulte j mais pourquoi la
p 2 craye
n6
craye pafle-t-elle avec 1' urineux dans la diftillation , &
que la Chaux refifte fi puiffament a ces efiets}
94. II nous eft encore moins difficile de repondre a ces
difficultes apres ce que nous avons dit de la Chaux §. 83.;
car nous avons demontre que la partie volatile de cette
fubftance ne peut en etre degagee qu' a la faveur de 1'eau
qu' on y mele & dont il eft probable , comme nous le
verrons dans la fuite , que depend la decompofuion du
Sel ammoniac ; mais comme elle n' eft pas en grande
quantite , il eft naturel de penfer que 1' eau qui lui fert
de vechicule en quelque petite quantite qu'elle foit elle
meme , pent toujours diffoudre le Sel volatil qui fe degage
par ce moien (y ).
95. L' examen des differences qu'on reconnoit dans plu-
fienrs operations entre 1' efprit volatil tire par la Chaux
& celui que 1' on obtient avec les Alkalis fixes , m' avoir
fait penfer auffi que 1' efprit urineux fait avec la Chaux
n' emportoit point de fon intermede concret; je crus cepen-
dant devoir m' en afsurer , & je fis dans ce deffein 1' ex-
perience fuivante.
Je diftillai du Sel ammoniac avec de la Chaux eteinte
a Fair dans une cucurbite de terre a laquelle j'avois
adapte un Chapiteau ouvert a fa partie fuperieure , pour
qu' il put avoir la communication avec un fecond Cha-
piteau de verre que j' avois foigneufement lutte au premier
qui etoit de terre garni de fon refrigeratoire , au moien
du quel, en rempliffant une grande partie de fa cavite ,
je pouvois mettre du feu autour du fecond Chapiteau ;
je decompofai de cette maniere 1'elprit volatil en trois
parties , c' eft-a-dire en une liqueur tres-limpide qui fentoit
un peu 1' urineux & qui etoit paffee par le bee du premier
Cha-
(y) Ccci ne fuffit pas encore pour rendre raifon 3c ce fait, mais nous en
xrouverons le denoueinect par la fuiie.
117
Chapiteau. Une couche de terre blanche infipide , fans
aucune odeur urineufe & aulTi mince qu' une feiiille de
papier laquelle adheroit fortement au verre, & formoit
comme une zone qui tenoit du rebord du Chapiteau julqu'
au commencement de la voute. Une feconde liqueur tres-
rouffe & fans odeur qui avoit pafle par le bee du fecond
recipient.
96. La premiere qui etoit limpide ne paroiffoit pas aug-
menter fon odeur urineufe par 1' addition de 1' Alkali fixe,
au contraire la feconde developpoit cette odeur avec beau-
coup de force en y melant du Sel de tartre ou de la
Chaux.
97. La matiere blanche dont je viens de parler ne me
paroit &tre autre chofe que la partie terceufe du Sel fele-
nitique de la Chaux qui n'eft que la creme de la Chaux
meme, laquelle eft la veritable partie volatile dont nous
avons pafle * en eftet , j' en ai retire du Sel felenitique
en y ajoutant un peu d' huile de vitriol affoibli par beau-
coup d' eau , & il s' eft meme reproduit une croute cri-
ftalline un peu opaque & affez femblable a la creme de
Chaux a la furface de la liqueur ; 1' odeur fort-urineufe
qui fe d^veloppa de la feconde liqueur par le melange de
la Chaux ou de 1' Alkali fixe, femble nous prouver la
prefence d' un acide qui formoit un Sel ammoniacal ; &
je penfe que c' eft le meme qui etoit auparavant enga-
ge a la terre en queftion , & qui formoit avec eUe la fe-
lenite ; pour me convaincre de la verite de cette opinion,
je fis une diftillation d' une partie de Sel ammoniac fur
deux parties de creme & d1 eau de Chaux que j' avois
fait evaporer a ficcite , mais n' ayant obtenu qu' une tres-
petite quantite de liqueur urineufe le Sel ammoniac s'etant
fublime , je decoeffai V alembic , & je mis une quantite
affez considerable d' eau , ayant eu foin de diffoudre' au-
tant qu' il nf etoit poffible le Sel ammoniac : j' en fis en-
fuite
1 1.8
fuite la diftillation , & j' obtins une liqueur foiblement uri-
neufe , un Sel par floccons a 1' orifice de la cucurbire &
au bord du Chapiteau; ce Sel me parut ne iouffrir aucu-
ne alteration de la part de 1' eau-forte , quoiqu' il fit ef-
fervefcence avec 1' huile de vitriol ; il ne m' a pas etc"
poffible de bien conftatef fi ce Sel etoit reellement un
Sel ammoniacal vitriolique , je fuis cependant tres-porte" a
le croire tel ; la tete-morte etoit d' ailleurs un Sel ammo-
niac fixe trey-del iquefcent qui fe bourfouffloit & qui
fe fondoit au feu en rEpandant des vapeurs fort epaides.
98. Cette experience m' engagea naturellement a. Exa-
miner ce qui refulte du melange du Sel ammoniac avec
la Chaux bien lavee ; je pris pour cela une quantity de
Chaux Eteinte , je la lavai douze fois dans de 1' eau tou-
jours nouvelle & toujours boiiillante , je la fis enfuite deffecher
1 1
fur un fupport de mouffle & j' en melai ,avec
rr ' one. one.
de Sel ammoniac 5 je retirai par la diftillation environ
4- d' efprit volatil , & il fe fublima a. la voute un Sel
o
tres-blanc qui avoit de 4' odeur urineufe ; comme il y en
avoit cependant tres-peu , je ne pus pas m' aflurer s' il ne
fe trouvoit pas encore un pea de Sel ammoniac avec
1' Alkali urineux : *e qui cependant m' a donne lieu de
former ce doute , c' eft la grande quantite de vapeurs
blanches & ambrees qu' il rEpandit en y m&lant de l'huile
de vitriol -, M. Du-H'aMel pourtant qui avoit deja fait
cette experience avec quelque changement dans les cir-
conftances , dit que le peu de Sel qu' il en retira Etoit
de V Alkali volatil j ce qui fuffit pour tenir en fufpend
mon jugement fur une experience que je n' ai pu rEpeter
& qui doit etre faite plus en grand. Je me contenterai
pour le prefent de faire remarquer qu» la tete-morte avoit
&6 fondue ; fa couleur etok d' un roux clair comme
font
ii 9
font les briques avant d' avoir fouffert T aftion du feuj (jl
faveur etoit un peu douceatre & avoit quelque peu d'aftrin-
gent ; elle attiroit 1' humidite a-peu-pres comme le Sel ma-
rin qu'on fait avec la craye , mais beaucoup moins que le
Sel ammoniac fixe.
99. Ayant reconnu que dans toutes les decompositions
du Sel ammoniac pour en rirer 1' urineux volatil , il fe fait
un enlevement d' une partie de 1' intermede concret ; je
me determinai a reprendre mon travail de plus loin , en
commengant par 1' examen des effets qui arrivent au Sel
ammoniac fans intermede par le feu differement admini-
fire , & enfuite par ceux que prefente la combinaifon de
ce Sel avec d' autres matieres.
experience premiere.
Dillilladon du Sel ammoniac a feu nud.
Sel ammoniac fluor.
100 ? TNE once — de Sel ammoniac "en gateau dans
une cucurbite de terre , garnie d'un Chapiteau de
verre , me donna a un feu d' abord aflez vif — — — de
one. 8
liqueur teinte un peu en jaune, foiblement Cdee & amere,
developpant fur la langue un gout lixiviel qui degeneroit
en un gout urineux : lbn odeur etoit un peu empireuma-
tique , elLe donna des vapeurs blanches & epaiffes en
grande quantite avec 1' huik de vitriol , s' echauffa &
bouillonna confide>ablementj elle manifefta une forte odeur
urineufe avec la Chayx-vive en quelque pefite quantite
que je 1' eufle mile, pendant qu'il falloit beaucoup d'Alkali
fixe pour lui faire developper foiblement cette odeur.
II
i 10
II eft clair que cette liqueur n' eft ( { ) que du Sel am-
moniac diffout dans beaucoup d' eau.
II.»
( O Je voulus m' aflurer fi cette re'folution en liqueur de'pendoit de ce que-
!e phlogiflique eut abandonne cette pattie du Sel pour s' unir plus
intiroement 4 la partie du Sel ammoniac qui ne paiTe pas en li-
queur , ou fi c' etou feulement a caufe de la furabondance de leau dont
.7 i
ce Sel eft charge' ; j' en mis k cet eftet — avee de- noir de fu-
8 one.
mee , & j'en fis la diftillation au bain de fable. II me vint premieretnen:
une liqueur un peu opaque qui donnoit quelques fumees avec 1' huile
de vitriol, & ne donnoit d' autre odeur avec la Chaux 8c P Alkali-
fixe que P empireumatique qu' elle avoit naturellement ; il fe for-
ma enfuite une petite quantite d'une fubftance blanche qui reflem-
bloit afTez 4 du Sel ammoniac & qui fut de'truite par une huile
jaune ires empireumatique qui s' eleva apres & qui pafla dans le
re'eipient : comme j' ai fait cette ope'ration au bain de fable, je n'ai
pas pu poufler la tete morte J un feu furTifant pour decider fi apres
1' hu.lc noire ;e n'obtiendrois pas du veritable Sel ammoniac : mais
comme d' autre part I' Alkali volatil qui fe trouve dans le noir de
fumee pouvoit caufer des alterations a ce produit , je cms inutile
de pourTer plus loin 1' operation , d'autant plus que ccs premiers re-
fultats fuffifoient pour me faire connoitre que la furabondance
d'eau eft la caufe principale de la liquidite du Sel ammoniac
dans le procedc dont nous avons rendu compte; que ce Sel ammo-
niac fluor n'eflcependant plusaulfi charge de matiere phlogiflique que
ferfqu' il efl fous la forme concrete; & cela me paroit d'autant
>lus fur que les rleurs de Sel ammoniac qui fe fubliment, apres que
a li-jueur eft entiere'ment paffe'e, font dune couleur jaune tres-fon-
fi en calcinant davantage le Sel ammoniac , je
pourrois obtenir du Sel volatil au lieu d' elprit.
Je reduifis a cet effet de ce Sel a ■ — — — , ie le
one. 2 one. 8 2
m£lai avec trois onces de Chaux-vive qui avoit etc" expo-
fee a un grand feu pendant plus d' une heure ; j' obtinf
par la diftillation de ce melange pres de -~ d' efprit uri-
neux tres-penetrant & d' une couleur jaune comme le
precedent avec des taches blanches comme celles dont
j' ai parle precedement ; & quoiqu elles fuffent en plus
grande quantite , je n' en pus pas reciieillir affez pour les
examiner.
VI.1 EXPERIENCE.
Addition de 1' eau enlev^e au Sel ammoniac
par la calcination.
Efprit volatil.
106. TE voulus au refte voir (i en rendant a la t£te-
J morte & a cette fubltance blanche la quantite
d' eau a-peu-pres que j' avois enlevee au Sel ammoniac ,
je retirerois encore une quantite" confiderable d' efprit vo-
latil, ou au moins toute 1' eau que j' ajoutois , & com-
me je ne doutois pas qu' il ne fe fut diifipe de 1' Alkali
volatil & de 1' acide marin dans la calcination , j' ai crfii
ne
115
ne devoir employer qu' une plui petite quantity d' eau ,
c' eft pourquoi je n' en mis que -r- , & apres avoir fcelle
avec foin les vaifleaux, j'en fis la diftillation en commen-
cant par un feu doux & le pouftant fur la fin jufqu' a
faire fondre la partie inferieure de la cucurbite , mais je
ne retirai plus qu'-j- cTelprit.
Voici un refultat tout-a-fait fingulier ; nous avons ob-
ferve $. 101. que la quantite d' efprit dans cette expe-
rience etoit un peu plus grande que celle du Sel ammo-
niac qui reftoit dans la tete-morte de 1' experience $. ioo.,
& qu' au furplus il fe fublima quelques grains d' une ma-
tiere blanche ; nous voyons par celle-ci que bien loin d'ex-
ceder la quantite d' eau nouvellement ajoutee, nous n' en
avons pu retirer que la moitie ; mais il eft bon d' obfer-
ver que malgre que le fond de ma cucurbite ait ete fondu ,
le degre" de feu neanmoins n'aura pas ete aum" conside-
rable que celui qu' a fouffert 1'autr.e cucurbite qui etoit
de terre , & a feu nud.
Quant a 1' augmentation du poids , elle doit etre attri-
bute aux parties de Chaux qui ont ete enlevees dans
1' operation ce qui ne paroit pas avoir befoin de plus grande
demonftration , les reTuItats des experiences dont j' ai ren-
du compte ci-devant me paroiffant plus que fuffifantes pour
nous convaincre de cette verite.
VII.1
V 1 1* EXPERIENCE.
Diftillation du Sel ammoniac avec le Sel ammoniac fixe.
Efprit volatil fublimi tres-blanc.
107. TE fus curieux d' obferver ce que le Sel ammoniac
J fixe donneroit avec du nouveau Sel ammoniac.
Je melai a cette fin du Sel ammoniac fixe re-
onc. 2,
fultant des experiences 104. & 105 avec deSel
ammoniac fans Stre prive d' eau , & j' obtins environ
r ' one.
— — - d' efprit urineux -5- d' un fublime tres-blanc , & —
8 1 v 8 gr.
.d' une matiere de meme fublimee qui etoit extr^m^ment
graffe & qui adheroit tres-fort au verre, Tayant detachee
avec un pinceau , elle etoit d'un gris cendre ; etant brulee
fur du papier a la chandelle , elle donna un couleur verte
a la flamme ; fon gout £toit tres-fale, & tres-picquant fur
la langue , moins cependant que celle du fublimi blanc
qui communiquoit de meme la couleur verte a la flamme.
La tete-morte pefoit & un peu plus de — elle atti-
onc
roit tres-fort 1' humidite" , fa couleur etoit rouffeatre , fa fa-
veur etoit ( bb ) brulante , fa texture enfin friable entre
les doigts; fon poids ne fut pas confiderablement augmente.
108. Mon plan etant celui de rapprocher les differens
phenomenes que preTentent les decompofnions du Sel am-
moniac faites par differens intermedes, je ne faurois ne-
gliger
(U) Cette fcbftance me paroit devoir ctre mife au nombre des cauftiqucf
plus puiftmis.
ii7
gliger de rendre compte de ce que j' ai obferve de plus
remarquable dans la repetition que j' ai faite des opera-
tions d' ailleurs tres-connues.
V 1 1 1.E EXPERIENCE.
Diftillation du Sel ammoniac avec la grenaille de plomb,
Efprit volatil caujlique.
Plomb corne.
IE pris de plomb grenaille que je mis dans une
cucurbite de verre avec -3- de Sel ammoniac: le feu fut
o
adminiftre dans le commencement avec beaucoup de pre-
caution , pour que le Sel ammoniac ne ie fublima point ,
,& fut poufle fur la fin avec beaucoup de vivacite , de
maniere que le fond de la cucurbite s' etoit prelque fondu.
II paffa dans le recipient un efprit jaune des-plus pene-
trants & dont la force etoit encore augmentee par l'ad-
dition du Sel de tartre, ce qui me fit conje&urer qu' il
etoit pafle un peu de Sel ammoniac fluor avec 1' efprit
urineux ; j en fus d' autant plus convaincu que cet efprit
faiibit une violente erTervefcence & s'echaufFoit tres-fort
pas le melange de 1' huile de vitriol, repandant dans ce
terns beaucoup de vapeurs blanches qui avoient une forte
odeur d' efprit de Sel j il fe fublima enfuite des fleurs de
Sel ammoniac d' un jaune fonce qui contenoient un peu
de plomb : les deux tiers environ de la t^te-morte etoient
convertis en plomb corne , & ce plomb corne en occu-
poit la partie fuperieure , & adheroit comme des fcori^s
a la partie inferieure qui etoit forraee par le plomb qui
.avort ete fondu & que l'acide n' avoit point attaquee.
JX.E
jz8 ;
IX.B EXPERIENCE.
DiiHUation du Sel ammoniac avec le plomb
& la Chaux-vive.
Efprit volatil cauflique.
»oo. T~\E la diftillation d' de plomb avec
I J one. i r one. i
de Chaux-vive , & -5- de Sel ammoniac je reti-
rai de meme un efprit cauftique tres-penetrant & d' une
couleur jaune ; cet eiprit faifoit effervefcence avec 1' huile
de vitriol & reffembloit parfaitement en tout au prece-
dent. La t£te-morte cependant parut m' offrir quelque dif-
ference. I.° En ce que le plomb etoit prelque tout
converti en plomb corne\ 2.0 Que la Chaux fem-
bloit n' avoir pas fbuffert de changemens fenfibles •, pour
m' en afsurer d'avantage , j' en feparai une partie au moien
d' un tamis fort ferre; je la mis dans un creufet au feu>
& je ne remarquai aucune des vapeurs que le Sel am-
moniac fixe donne abondament dans cette operation ; apres
cela il me parut qu' elle n' attiroit pas 1' humidite de 1'air
avec plus de force que ne fait la Chaux-vive commune ,
& boiiillonnoit , ou du moins faifoit un fifflement en en-
trant dans 1' eau.
Les differences remarquables qui font entre la t£te-morte
de P experience precedents & de celle-ci , me font conje-
fturer qu' il faut que l'acide marin foit delaye dans beau-
coup d' eau pour attaquer le plomb , & que c' ell pour (cc)
cette
l« ) Jc ne pretends pas que cette feule caufe facilite la diflblution du plomb
j* ai meme raifon de penfer que cet effet n'apas lieu lorfqu'ellc eft
toute feule , mais que dans le cas 01} il (e trouve de I' Alkali vola-
til combine a cet acide, ce melange exerce Ton a£tion fur le plomb,
tarn que ces deux fubAanceg ne font point dans un certain degrq
de conceuuaiiou,
ll9
cette raifon que dans T experience pr^cedente il n' y a eft
qu' une partie du plomb convertie en plomb corne , pen-
dant qu' outre a du Sel ammoniac fluor il s' eft encore
eleve une quantite confiderable de fleurs de Sel ammo-
niac j ces deux effets n' ayant lieu probablement que lorC-
que 1' acide & 1' Alkali volatil font dans leur plus grand
degre de concentration.
1.0 Que la Chaux iert a retenir une partie de 1' acide
du Sel ammoniac qui s' echapperoit dans le commence-
ment de 1' operation avec 1' Alkali volatil.
3 .° Que 1' acide marin affoibli par beaucoup d' eau a
plus d' affinite avec le plomb qu' avec la Chaux ( id ).
Mifcel. Tom. III. r X.E
{dd) Cette ope'ration a fait le fujet d'une grande queflion entre les Ce'fe'-
bres M. Gcojfroy, & Neumann. Ce dernier ayant remarque que le
Chimitle Francois avoit place les fubflances metalliques, au defTbus
des Sels , cotnme ayant un moindre rappnrt avec les acides , dans
la table des affinites, lui fit obferver que cette regie fouffioit des
exceptions, en lui donnant pour exemple la le'compofinon du Sel
ammoniac par les fubflances metalliques; ma:s M. Gcjffroi n'attri-
buaru cette de'eompofition qu' a I' alteration confideiabie que ces
fubflances fouffrent en pafTant a 1'etat de Chaux , faifbit rentrer cette
exception dans la loi generate, en luppofant que les Chaux metal-
liques contiennent quelque peu d* Alkdh fixe qui fe developpe , ou
qui fe forme dans la calcination. M. Neumann repondit que fi cela
eut etc vrai , on n'auroit pas du obtenir de I'cipiit urincux pat le
minium bien lave dansde I'eau boiiillante & dtlfeche, conune Ton
l'obtenoit de meme en 1' employant fans aucune pie'pjration, &
pour couper court a toute forte de difpute, il lui fit voir qu'on
pouvoit fubttituer avec un egal fucc£s le plomb granule', & fous la
forme metallique ; je ne fache pas que M. Geoffroy ait re'pondu de
puis au Savant Chimifte du Roy de PrufTe, la pieuve c'tant fans
replique, mais fi cet Illuftre Phylicien eut cherche a s' e'claircir
plus particulierement lur cette exception en examinant avec foin
les produits qu' on obtient par ces operations , il eut fans d< ute
vu qu' elle n' avoit lieu que dans le cas patticulier de I' acide du
Sel ammoniac, qui non feulement eft trfe-foible , mais qui fe trouve
affocie a une grande quantite de matiere phlogiftique ; ce qui , peut-
etre, ne contribue pas peu a la de'funion qui fe fait de cet acide
d'avec I' Alkali volatil, & tout au moins auroit-il reconnu que la
table qu' il a drell'ce ne pouvoit pas etre e.va^tcment vrai'e dans tous
Les
X.E EXPERIENCE.
Diftillation du Sel ammoniac avec le plomb ,
& le Sel de tartre.
Efprlt urineux.
Sel vola til.
no. /^Omme le Sel ammoniac decompofe par le plomb
V_> ne donne que de l'efprit urineux , & que d'autre
part les Alkalis fixes donnent tres-peu d' efprit , & beau-
coup de Sel volatil ; je me propofai d' obferver les reful-
tats qui me viendroient de la combinaifon du plomb avec
du Sel de potafle , ck je cms en meme tems de pouvoir
m' afsurer , ti dans cette operation 1' acide marin attaque
par preference 1' Alkali fixe comme il feroit aflez nature!:
pour n' avoir rien a me reprocher , je crus devoir emplo-
ier une quantite de Sel ammoniac capable feulement de
faturer une quantite donnee de plomb dans la decompo-
fition qu' il lbuffriroit ; c' efl pour cette raifon que je di-
ftillai une once de Sel ammoniac fur de plomb , &
one. *
—— de Sel de potafle. T
one. r Je
les cas, & qu' il auroit du en former deux, corame le reraarque
fort-bien M. Baumi , favoir une qui exprima tous les rapports des
fubrtances dans let operations qui fe font par la voye humide , &
une autre dans laquelle fulTent marques les rapports en operant par
la voye fe'che ; ou pour m'exprimer d' une manierc plus ge'nerale
une table qui dcTigna le plus ou le moins d'aptitude que les fubllan-
ces ont a s'unir, fuivant que par la combinaifon des principes fc-
condaires , le nouveau compofc approche plus ou moins du rapport
des ele'mens ou des veritables principes qui couflituent des compo-
fes plus ou moins aifes a etre de'truits. La Chimie ne feroit plus
alors une fcience purement expeiimentalc, elle pourroit fort-bien
etre fujette au calcul avec autant d' exjit tude que le font les fcien-
ces phylico-mecaiiiqucs , 1'aflrononiie &c.
'31
Je dois cependant avertir que faute de plomb gra-
nule , j' employai de perites lames minces , & que le Sel
de potafle n' etoit pas bien pur, deux circonftances qui
certainement pourroient caufer des variations , & c' eft
pour cela que j' en avertis.
Je retirai -„- — d' efprit volatil tres-limpide qui faifoit
une violente effervefcence avec 1' huile de vitriol , & re-
pandoit des fumees blanches & epaifles ; rougiflbit un peu
le papier bleu pendant qu' il etoit humide , & qu' il devenoit
blanc en fe deflechant ; cet efprit contenoit — d' un Sel
volatil criftallife en aiguilles tres-deliees. Une partie du
Sel ammoniac fe fublima, & il en refta une petite quan-
tite en forme d* efflorefcence fur la tete-morte , laquelle
etoit d' une couleur brune parfemee de points d' une
tres-belle couleur bleiie comme 1' azur de Berlin , une
partie du plomb paroifloit reduite en litharge, le refte etoit
fondu avec toutc la mafle , & prefentoit differentes cou-
leurs dans la partie inferieure qui etoit tout-a-fait adhe-
rante au verre , & fembloit ne faire qu' un tout avec luij
je me determinai fur cela a. remettre dans la cucurbite
tout le Sel ammoniac qui n' avoit point ete decompofe
avec — d' eau commune fur la tete-morte , & a
one. i
faire ainft une nouvelle diftillation ; je retirai par ce mo-
ien -r d' efprit de Sel ammoniac un peu plus
one. 8 x r r r
foible que le precedent , mais il ne fe fit point de Sel
volatil , ce qui d' ailleurs eft afTez naturel , vu que la
quantite d' eau nouvellement ajoutee n' a pafle qu' en par-
tie dans le recipient , le refte ayant ete abforb^ & rete-
nu par la tete-morte , laquelle , de brune qu' elle etoit ,
paffa a un blanc eclatant , fa laveur etoit falee & amere
r x comme
*3*
comme 1' eft ordinairement le Sel fdbrifuge; la partie du
plomb qui touchoit le fond de la cucurbite n' a fouffert
d' autre alteration que la fufion , & une petite partie de
celui qui &oit m£le a 1' Alkali fixe vers la furface fupe-
rieure avoit change legerement fa couleur, le refte ne pa-
roiffoit avoir fouffert aucun changement , & n' etoit pas
meme entre en fufion.
XI.E EXPERIENCE.
Diftillation du Sel ammoniac avec la Chaux
de cuivre j ou avec le fer.
Efprit yolatil.
Ens veneris.
ou
Ens Martis.
-L
A diftillation d' — de Sel ammoniac avec
one. z
- de vitriol de cuivre bien calcine m' a
one. z
auffi donne un efprit urineux jaune tres-penetrant &
cauftique ; des fieurs de Sel ammoniac teintes en jaune ,
& un peu en verd lorfque j' employois du Sel ammo-
niac impur au lieu de fieurs. La tete-morte etoit une ma-
tiere rouffe , un peu deliquefcente & d'un gout ftiptique.
La limaille de fer rouillee ou non me donna a-peu-
pres les m^mes refultats , la tete-morte feulement me pa-
rut differer confiderablement , en ce qu' elle contenoit plus
d' acide , fon gout etoit beaucoup plus apre , fe gonfloit
davan-
*'3
davanrage & fe refolvoit entierement en une liqueur
epaifle & jaunatre.
L' efprit urineux qu' on retire par 1' intermede des Chaux
ou des fubftances metalliques fous leur forme naturelle
donne toujours des marques affurees de la prefence de
T acide marin , quelque foit le rapport qu'on ait obferve entre
le Sel ammoniac & 1' intermede ; il en ell de meme de 1' ope-
ration du Sel ammoniac prive d'une partie de fon eau , avec
la Chaux, ce qui prouve que la decompofition n' eft pas
complette.
in. Si nous reflechiflbns maintenant fur toutes ces dif-
ferentes decompofitions & fur les circonftances qui les ac-
compagnent , nous remarquerons que pour qu' elles puif-
fent avoit lieu , il eft neceffaire qu' il fe diffipe une plus
ou moins grande quantite de 1' eau du Sel ammoniac, &
que c' eft pendant cette evaporation qu' elles arrivent.
Or il m'a paru avoir obferve trois cas differens, fa-
voir , le premier dans lequel eft comprife la decompofi-
tion par les Alkalis fixes, & tous les intermedes qui don-
nent tres-peu d' efprit & beaucoup de Selj les compofes
qui reftent dans le fond du vaiffeau font des Sels qui
retiennent a-peu-pres autant d'eau que le Sel ammoniac ,
& la retiennent meme avec plus de force.
Le fecond dans lequel doivent £tre comprifes les Chaux
& les fubftances metalliques fous leur rorme naturelle ; il
demeure dans le fond des Vaifleaux des Sels qui attirent
beaucoup l'humidite, mais qui la lachent avec plus de fa-
cility que les precedents.
Le troifieme regarde la Chaux combinee avec le Sel
ammoniac dans des circonftances differentes , lavoir la
Chaux-vive & le Sel ammoniac calcine , dont les reful-
tats font les memes que ceux des fubftances metalliques ;
la Chaux-vive & le Sel ammoniac avec toute fon eau
dont on ne retire aucun produit, excepte le phofphore
>34
D' Homberg ; la Chaux eteinte & le Sel ammoniac fans
etre calcine ; la creme & 1' eau de Chaux evaporee a
ficcite avec du Sel ammoniac contenant toute fon eau.
De toutes ces combinaifons de la Chaux on a pour re-
fidu un Sel ammoniac fixe a la verite , mais qui differe
dans chaque operation par le plus ou moins d'eau qu'ils
attirent; cependant en general ces compofes peuvent en
etre prives aifement par 1' aftion d' un feu plus moderee
que tous les precedents , & c' eft felon moi , de cette
force plus ou moins grande de ces nouveaux compofes
a retenir 1' eau , que depend la decomposition en efprit
ou en Sel volatil ; mais comme les Sels volatils emportent
avec eux une plus grande quantite de parties concretes de l'in-
termede , il eft naturel de penfer que du moment que
1' acide marin eft dans le degre de concentration necef-
faire pour former avec une partie de 1' intermede un nou-
veau Sel de nature fixe , 1' Alkali volatil fe combine par
le moien de 1' acide plus delaye, & dont l'eau furabon-
dante ne fauroit 6tre entierement enlvee , avec les parties
de l'intermede qui refter & forme le Sel volatil concret:
la Chaux etant en effet une fubftance dont les parties
quoique d' une nature differente , ainfi que le penfoit le
celebre M. Hoffmann , & que nous avons eu occafion
de le conftater , retient cependant ces parties avec une
force que le feu ne fait qu' ( ee ) augmenter & que l'eau
feule eft capable de detruire : il eft clair que plus la
Chaux fera vive , moins 1' eau contenue dans le Sel am-
moniac , quoique furabondante , pourra operer cette de-
funion reciproque qui ne me paroit conhfter qu' en ce
que T eau degage la partie volatile de la Chaux, qui ayant
attaque" la partie phlogiftique du Sel ammoniac , facilite
d' autant
(.«) Nous aurons occafion de voir la raifon de cette fixite de la partie vola-
tile de la Chaux , & d' oil lui vicnt cette demiere piopticte'.
»J5
d' autant plus la defunion entre le Sel volatil & 1' acide
marin, que cet acide affoibli par beaueoup d'eau paroit
avoir plus d' affinite avec la Chaux qu' avec 1' Alkali vo-
latil , comme nous le ferons remarquer par la fuite ; d' oil
il fuit que pendant que la Chaux eft dans fon etat na-
rurel , c eft-a-dire , que ces principes ne font pas defunis
par 1' eau , elle peut bien former un corps furcompofe,
en s' uniflant an Sel ammoniac avec beaueoup de force ,
niais elle n' en peut pas procurer la decomposition.
XII.E EXPERIENCE.
Diftillation du Sel ammoniac diflbut dans 1' eau de Chaux.
Sel ammoniac fluor.
Efprit de Sel.
Sels ammoniacaux .
n3.T)Our ce qui eft de P enlevement de la partie "in-
L flammable des Alkalis volatils par la partie de
la Chaux qui fe volatilife , elle me paroit tres-probable
par ce que j' ai fait obferver $. 97. oil je rendis compte
d' une double decomposition qui fe fait par un tour de
main particulier , & qui ne me paroit pas poflible fans
le fecours du phlogiftique qui diminue la force d' union
que P acide vitriolique a contraftee avec la partie terreufe,
& ceia paroit d' autant plus probable , que c' eft en fa-
veur du feu , que cette operation fe fait (ff ) ; car d'ail-
leuxs la cr&me de Chaux ne procure point d' efprit vola-
til
(/") Cette ope'ration dont j" ai parle §. 97. a qaelque chofe d'analcgae a
cellc du Soutrc aitificiel.
i36
til non plus que 1' eau de Chaux , comme je m' en fuis
aiTure en difiillant =- de Sel ammoniac diiTous dans
one. o
— — d' eau de Chaux , qui contenoit beaucoup de
one. 8 x ' n r
creme de Chaux , & comme ce melange &oit trop li-
quide, j'y ajoutai encore environ de terre vitrifiable, mais
"7 1
les -5- — environ de la premiere liqueur que j' obtins
n' etoient que du Sel ammoniac fluor tres-limpide au fond
de laquelle etoit un peu de liqueur tres-jaune qui reffem-
bloit affez a de 1' huile figee , & qui , en fe m&lant par
1' agitation avec V autre , donnoit une grande quantite de
bulles d' air ( gg ).
114. Par toutes les experiences que j' ai faites, je crois
pouvoir conclurre que celles d' entre les decompofitions qui
meritent ce nom par excellence , font celles qui fe font
par le moien de la Chaux eteinte , 6k de 1' huile de tar-
tre , celle de 1' Alkali fixe concret ne donnant qu' un Sel
volatil furcharge de parties heterogenes , de meme que
les crayes & les autres terres ablbrbantes : pour celles
qui
(ft) La feconde liqueur qui pafla dans le recipient etoit du veritable efprit
46
de Sel fumant , elle pefoit environ — ce qui prouve que I* eau de
gr-
Chaux contient un veritable acide vitriolique , le refte du Sel am-
moniac fe fublima en fteurs jaunes, parmi iefquelles il s' en troi>
voit une petite quantite qui etoit d' un beau rouge , & que je me
doutai etre du Sel ammoniacal fecret de Glauber. La feconde li-
queur mclce 4 la premiere fervit de diflblvant 2l celle qui etoit au
fond du matras , & toute la liqueur prit ainfl une couleur violette-.
|e ne dois cependant pas laifler ignorer que les pierres i fufil que
I'avois calcine'es & dont je fis ufage contenoient vraifemblable-
ment un peu de patties fe'rugineufes dont je chcrchai & lesdelivrer
pi un peu d' efprit de vitriol a & par des edulcoratioos rcucic'cs,
i' en cnlcvai 1' actde.
'37
qui fe font avec les fubftances metalliques , elles font tres-
iraparfaites ( hh ).
115. Nous avons obferve que le Sel ammoniac fluor
exige beaucoup d' Alkali fixe pour developper fon odeur
urineufe §. 100., pendant que tres-peu de Chaux produit
cet effet , cela me paroit prouver que l' acide marin eten-
du dans beaucoup d' eau a plus d' affinite avec la Chaux
qu' avec 1' Alkali volatil , & qu' il en a davantage dans
cette circonitance avec celui-ci qu' avec 1'Alkali fixe.
1 1 6. Nous avons aufli remarque §. 1 o 1 . & nous l'avons
repete ci-devant que le Sel ammoniac avant de fe fubli-
mer en fleurs donne un peu de liqueur urineufe , ce qui
femble nous faire voir que P acide marin s' unit a une
plus grande quantite d' Alkali volatil lorfqu' il eft foible ,
que lorfqu' il eft concentre.
XIII.E EXPERIENCE.
Diftillation du Sel ammoniac fluor avec 1'Alkali fixe.
Sel ammoniac fluor.
117. T)Our m' aflurer (1 P acide marin delaye dans beau-
Yl coup d' eau avoit plus d' affinite a P Alkali vo-
latil qu' a P Alkali fixe , ie pris — de Sel ammoniac
1 ' ' * one. ^r.
fluor , & j' y mis autant de Sel de potaffe qu' il en fallut
Mifcel. Tom. III. f pour
(M ) Une marque certaine que la decompofition du Sel ammoniac D'eftpas
complette & dont on pcut juger par la feule infpi-fton , c' ell la
couleur jaune qui ell toujours plus foncee a mefure qu' elle
contient plus de Sel ammoniac fluor, & ce qui fcrt a le prouver ,
c' efl la tacilite avec laquelle on peuc 1' enlever par 1'addition d'ua
Alkali fixe ou de la Chaux.
Jai
J3»
pour lui faire developper 1' odeur urineufe , ce qui monta
a , mais avant que 1' Alkali fixe eut abforbe- toute
one. *
la liqueur , ce qui je cherchois a faciliter par 1' agitation
du melange , il ne s' elevoit plus d' odeur urineufe ; apres
avoir lutte avec (bin le Chapiteau 8c le recipient , j' en
fis la diftillation au bain de fable , & la liqueur qui pafTa
pefoit environ 1 1 a 1 5 grains de plus que ne pefoit le Sel
ammoniac fluor , 6k la tete-morte par conlequent pefoit
ces grains de moins , ce qui m' a fait voir que la liqueur
avoit emporte un peu d' Alkali fixe ; elle etoit de meme
couleur qu' auparavant , ck n' avoit point d' odeur uri-
neufe fenfible , mais elle la deVeloppoit par 1' addition de
la Chaux.
X1V.E EXPERIENCE.
Diftillation a feu nud du caput mortuum
de 1' experience precedente.
Sel fublime.
C^Omme j' avois fait cette diftillation dans une cu-
j curbite de verre , j' en pris la tete-morte , &
118.
pris
ayant reconnu qu' elle contenoit de I' acide marin , malgre'
que la liqueur dont nous avons parle ne fentit pas l'uri-
neux , je me propofai de voir fi par la force du feu je
pouvois detacher cet acide , pour examiner enfuite fi
par ces diff^rentes operations il avoit fouffert quelque
chan-
J' ai reraarque qu! dies He font jamais parfaitcs, & qu* il arrive toujours
de deux chofes I' une, favoir ou du Sel ammoniac fublime, ou de
1' inieimcrlo non de'compofe: la premiere a lieu toutes les fois qu'on
errpioye une trop grande quannie de Sel ammoniac, & la. /econde
lor/que cede quantite ell nop petite.
1 39
chansement ; je fis done piler -— ~ — de cette tete-
r one. 8 gr.
morte , je la mis dans une cucurbite de terre a creufet
avec environ — d' eau dillillee , & j' en retirai premie re-
ment — — d' une liqueur plus foible mais de m£me na-
8 gr. I r
ture que la premiere , — d' un Sel fublime1 a la voute de
la cornue , & la tete-morte qui s' etoit reduite a -' -
1 one. 8
— avoit prife une couleur bleuatre : j' examinai la liqueur
gr. r > -i
& le Sel , P un & P autre donnerent beaucoup de vapeurs
blanches avec P huile de vitriol , developperent une odeur
urineufe aflez forte avec la Chaux vive, ils paroiffoient
cependant avoir du gout du Sel marin , mais le Sel loin
de decrepiter fur une lame de fer rougie , fe diflipoit en
fumee , ce qui me fit juger que c' etoit du veritable Sel ■
ammoniac.
119. Cette experience me fit reflbuvenir que j' avois *
obtenu le meme effet une autre fois que j' avois voulu
faire du Sel volatil, & que le vaiffeau ayant cade1 par un
coup de feu apres que P operation etoit deja fort avan-
cee , j' ai entonne le fond de ma cornue dans une cu-
curbite de terre , & j' en retirai par ce moien du Sel fu-
blime' comme celui dont je viens de parler , favoir fans
odeur urineufe , fentant feulement un peu P empireume.
no. En reflechiflant fur les circonftances des decompo-
sitions du Sel ammoniac pour en retirer le Sel volatil &
peut-etre P efprit , il me paroit d'entrevoir qu'il en eft
de ces fublimations comme des precipitations, e'eft-a-dire
que la partie volatile enleve un peu de P intermede fixe,
/ 2 pen-
14°
pendant que 1' intermede retient aufli quelque peu de la
panic volatile.
Seroit-ce une loy g^nerale des volatilifations ?
Dependroit-elle de ce que par des nouvelles combi-
naifons une partie des fubftances fixes devint volatile ,
& une partie de celles qui font volatiles prit le caraftere
de fixit^?
Ou feroit-ce enfin que toutes les fubftances continflent
ces parties d' une maniere diftin&e?
La fecondc de ces proportions peut fort bien etre la
veritable, mais comme il fera toujours neceffaire de quel-
ques tours de mains pour les defunir & les faire paroitre
chacune dans fon etat naturel , il me femble que la pre-
miere eft la plus generale & la plus conforme a 1'expe-
rience; car nous voyons qu' il eft tres-poflible de faire
prendre un caraftere de fixite en entier a une fubftance
volatile par des procedes tres-connus , de meme qu' on
peut volatilifer des fubftances tres-fixes. II eft vrai cepen-
dant que dans plufieurs fubftances il fe trouve des parties
plus ou moins doiiees de ces proprietes.
XV.E EXPERIENCE.
Diftillation de 1' efprit volatil avec le noir de fumee.
Efprit urineux empireunuaique.
J
121. TE tentai encore inutilement d' obtenir du Sel vo-
tot de convertir en Sel 1' elprit uri-
ii, . . /• , ii
neux
en combinant — de noir de fumee avec
one. i one. i
d' efprit volatil fait avec la Cliaux , mais je ne retirai
qu' une liqueur urineufe grafle un peu empireumatique ;
la furface de la tete-morte etoit de la couleur du verdet,
141
je crus ndanmoins devoir foumettre la t&te-morte a une
chaleur plus forte , je la mis pour cela dans une cucur-
bite de terre , & apres avoir retire une liqueur tres-lim-
pide , d' un gout fale un peu empireumatique qui deVelop-
poit une odeur fort agreable par le Sel de tartre & la
Chaux qui faifoit effervefcence avec 1' huile de vitriol
fans repandre des fumees, il fe fublima environ — de v6-
gr.
ritable Sel ammoniac altere par une odeur tres-cmpireu-
nutique.
XVI.E EXPERIENCE.
Difliilation d' une diffolutior. de Sel ammoniac avec la
tete-morte d' un Sel vitriolique calcaire qui avoit
fervi a une diitillation d' urine putrehee.
Efprit urincux.
Sel ammoniac fublime.
in. TE ne me difpenferai pas de rendre compte d'une
,J experience que j' ai faite pour obtenir du Sel vo-
latil en employant de la Chaux que j' avois chargee d'acide
vitriolique apres qu' elle avoit fervi a retirer le phlegme
d' une quantite d' urine putrefiee , & qui etant ainfi com-
binee avec beaucoup d' huile de vitriol , me donna une
quantite conliderable d' efprit urineux tres-penetrant ac-
compagne cependant d'une odeur un peu fcetide , cet
elprit bouillonnoit ( ii ) confiderablement avec 1' huile de
vitriol
(.'/') Cette combinaifon eft J-peu-pr^s celle dont parle M. Vallerius dans
un Memoire fur le nitre artificiel , & par laquclle il die que le Do-
fteur P'utfch , qui a rempone le prix de l'Academie de Berlin , a
fait
14*
vitriol , jettoit des vapeurs blanches & epaifles , manifeftoit
un mouvement d' efFervefcence avec le Sel de tartre : d' ou
il fuit inconteftablement que cet efprit d' urine tenoit du
veritable Sel ammoniac en diflblution : c' eft done du ca-
put mortuum qui refta dans cette operation que je me
fuis fervi ; c' etoit une fubftance d' une furface unie , &
ayant des crevafles comme la Chaux eteinte , deflechee ,
d' un grain tout-a-fait fin, d' une legerete furprenanrej
elle e'toit blanche dans fa partie fupe"rieure, un peu bleua-
tre daus le centre , d' un gout fade , ne s' humectant point
a l'air : je melai -^ de cette tete-morte avec de
' one. a one.
Sel ammoniac & environ -r d'eau diftillee dans une
one. a
cucurbite de terre, & i' en retirai — — environ d'une
' one. gr.
efprit urineux aflez fort , -^ d' un Sel fublime a la voute ,
& la tete-morte dont la couleur bleue etoit confiderable-
ment augmentee pefoit environ -|> ayant examine le
r one. 5 *
Sel fublime a la voute, je trouvai que c' etoit du Sel am-
moniac.
113. Cette experience fert a nous faire voir combien il
eft difficile d'enlever l'acide vitriolique a la Chaux, de
meme que le phlogiftique dont elle fe charge avec rant
d'avidite, 6k confirme en m£me-tems ce que nous avons
dit
fait du nitre artifkiel ; je n' ai pas encore eu le terns de m'affiirer
15 je pouvois retirer de ce Sel , mais je puis avancer que cetie te«
te-morte fait une grande efFervefcence avec 1' huiie de vitriol & ma-
nifefte I' odeur infupportable de I' efprit de nitre , en re'pandant dans
cette occafion une giande quantite de furne'es dont je ne pus pas
diftinguer affez bien la couleur; il ne me fut cependant pas pofli-
ble de retirer du falpetre par la diflblution, la filtration & 1' eva-
poration de cette tete-moue.
,43
dit §. in. favoir que le Sel ftl^nitique enleve la partie
phlogiftique du Sel ammoniac & facilite par-la fa de-
composition ; & quoique le Sel fublime ait donne des mar-
ques de Sel ammoniac de m£me que la liqueur ; ces fignes
cependant ont ete beaucoup plus foibles que ceux que don-
nent les fleurs de ce Sel ou le Sel fluor , d' ailleurs la
diminution de poids de la t£te-morte nous prouve affez
qu'il s' en eft volatile une partie, & il eft probable qu'
elle foit de la nature de la partie volatile qui fe degage
de la Chaux par le moien de Veau, c'eft-a-dire que ce
foit un fel feMniteux. II eft bon d' avertir auffi que dans
P efprit d' urine dont nous avons parle ci-devant , 1' on
voyoit des petits corps precipites au fond de la liqueur ,
& d' autres qui y nageoient ; or il eft probable que ce
n' etoit que de ce Sel felenitique.
XVII.E EXPERIENCE
Separation du Sel volatil J avec Veau qui le tient en
dijfolution au moien du Sel ammoniac.
114. T)Our ne rien negliger de tout ce qui me pa-
ir roiflbit pouvoir contribuer a la formation d' un
Sel volatil urineux par le moien de la Chaux , je voulus
effayer fi la methode que propofe 1' Illuftre M. Lemery
m' en fourniroit effe£tivement , & pour faciliter 1' opera-
tion , j' ai diffous deux parties de Sel ammoniac en gateau
qui comme on fait contient beaucoup plus- de parties
inflammables que les fleurs , dans trois parties d' efprit de
Sel ammoniac , & je retirai fur 4 d' efprit volatil &
' one. 8 r
de Sel ammoniac une quantity affez confiderable de
one. »
tres-beau Sel volatil eriftallin , mais dont il me ne fur pas
poflible
M4
poflible de favoir Ie poids , parceque la liqueur ayant
boiiilli dans le fond des matras le detruifit dans peu
de minutes ; je l1 avois cependant reconnu quelque terns
avant cet accident , & (on odeur etoit beaucoup plus pe-
netrante que n' ell celle du Sel volatil fait avec 1' Alkali
fixe ou la craye.
XV1II.E EXPERIENCE.
Separation du Sel volatil a" avec I ' eau qui
le tient en dijfolution.
125. /^E refultat me fit elperer d' obtenir du Sel vola-
V_> til avec le feul efprit de Sel ammoniac , cora-
me 1' avance , ainfi que je Y ai dit , le Savant M. Le-
mery , je mis pour cela -r — d' efprit de Sel am-
' r one. 02 r
moniac fait avec la Chaux dans un matras a long col garni
de fon Chapiteau , & comme j' avois obferve qu' il eft
indifpenlaLle pour reiiffir de ne donner qu' un petit degre
de chaleur afin que 1' eau ne puifle en s' eVaporant
detruire la formation du Sel volatil , je crus devoir em-
ployer un bain-marie en prenant la precaution de ne
jamais laiffer bouiliir L' eau en la tenant toujours entre
60. & 65 degrez de chaleur au termometre felon la pro-
duction de M. Raumur.
II fe fit effeftivement du Sel volatil par ce moien , mais
ce Sel n' etoit pas i\ beau ni fi volatil que le precedent}
d' ailleurs il fe detruit avec beaucoup de facilite , fa cou-
leur eft un peu terne , & 1' operation eft des-plus labo-
rieufes ( kk ).
1 26.
( kk ) Cette operation, toute peniWe qu* elle eft, ne laifle pas d' e're fort
imeieirantc pax Ics fnigulariie's quelle louiuu, jc tirai, avant tou-
ces
.I4J
iz<5. Ces experiences nous apprennent plufieurs v^rites,
& fervent a confirmer ce que j' ai avance §. in. que
la forme concrete ou liquide que prend le Sel volatil ,
ne depend pas feulement de la quantite de 1' intermede
concret qu' il enleve avec lui dans cette operation , mais
principalement de la force avec laquelle le nouveau Sel
fixe qui refulte & qui reite dans le fond du vailTeau
retient 1' eau qui lui* eft neceftaire.
117. Nous deduirons encore qu' en emploiant de la
Chaux-vive avec une fuffifante quantite d'eau pour 1' eteindre
& pour operer par la decompofition du Sel ammoniac ,
la chaleur etant alTez grande pour refoudre en vapeurs
1' humidite furabondante au Sel ammoniac fixe , il n' eft
pas etonnant que des le commencement de 1' operation
ou il n' eft pas meme neceffaire d' emploier le feu, cette
decompolition ne fe faffe qu* en eforit.
Mifcel.Tom. III. t 118.
tes chofes , que je retirai par ce moien environ trois gros de Sel
volatil treVdur qui eft fans coniredit plus penetrant que celui qu'on.
retire par d'autres me'ihodes.
Ce qu* il y a de plus fingulier c' eft qu' au delTous de 50. & 4 70. il fe
de'truit , & qu' il ne le forme qu' entre ces limites ; outre cela pen-
dant que le Sel fe forme dans le col du matras on voit des vapeurs
dans le Chapiteau, ce qui prouve que ce Sel eft moins volatile i.;ue
l'eau, apparemment a caufe des parties de Chaux aux qLelles il
s'eft affocie , & ce qui me paroit fervir de plus forte preuve 1
cela, c'eft qu' il fe diffout a un degre inferieur que celui au quel
fe forme le Sel ; de mamere que par cette chaleur il s' evapore une
plus grande quantite d'eau qu* il ne s' eleve de Sel volatil pour for-
mer des criflaux avec clle ; quant au degre fuperieur , il eft clair
que cette proporuon fera encore moins conferve'e , puif ,ue I' eva-
poration a mobilire e'gale fera toujnuis proportionelle a la quantiie
abfolue des deux fubftances ; & con. me il fe trouve dars I' efprit
urineux aflea d'eau pour tenir le Sel en difTolution, car fans cela
il fcroit fous la forme concrete ; il s' en fuit neVcflairement qu' il
doit toujours fe faire une evaporation de parties aqueufes capable
de tenir le Sel qui s'c'leve avec dans une parfaite dilToluiion : je
crois que la Chaux enleve'c eft aulTi la caufe de la grande force de
ce Sel en ce qu'ellc en de'narure la partie graffe, au lieu que dans
Ics auues elk icux doune des tnuaves Sc ea tmouiic 1' odeur.
146
128. Si nous obfervons enfin les reTultats des dernieres
experiences §. 1 1 8. 119. 112. 113. nous voyons que la
volatility des intermedes fixes n' eft due qu' a 1' aflbcia-
tion des acides & de la matiere inflammable. ( // )
129. Que dans les Alkalis fixes cette volatility doit
etre entierement aflignee a 1' acide marin , qui etant par
lui-meme volatile n' a pas befoin d' autre fecours pour com-
muniquer cette propriete a ces fubftances.
1 3 o. Que dans la Chaux au contraire fe rencontrant
1' acide vitriolique qui n' eft pas par lui-m£me volatile ,
& qui ne peut acquerir cette propriete que par le moien
de 1' eau & du phlogiftique , ce n' eft que dans ces cir-
conftances que cette propriete peut fe developper ; &
comme cet acide attaque avec plus de force le phlogifti-
que que 1' acide marin , il eft naturel que ce fbit lui qui
exerce par preference cette fonftion.
fl lint de-la que 1' acide fulphureux ne doit pas feu-
lement fa volatilite a la matiere inflammable a laquelle
il s' eft uni , mais encore a 1' eau dans laquelle il eft
deiaye.
131. En rappellant ici 1' obfervation faite par M. Ma-
LOUIN que les Sels feleniteux quand ils ont ete une fois
prives de toute 1' eau qui les tenoit en diflblution , il en
faut une beaucoup plus grande quantite pour les rediflbu-
dre ; il paroit que la fixite de la partie qui eft difpofee
a devenir volatile dans la Chaux depend du me'me prin-
cipe , favoir que 1' acide vitriolique £tant alors dans un
grand degre" de concentration eft furcharge de parties ter-
reufes dont il ne retient plus qu' une moindre quantite
lorfqu' il eft affbibli par 1' eau , & qu' il peut exercer li-
brement fon aftion fur les fubftances inflammables ; en
eflet nous avons obferve §. 73. que la Chaux peut de-
com-
(//) C'cft <* que j'ai avaiicc d»n* une note §. 17.
M7
compofer le Soufre en attaquant fa panie phlogiftique ,
mais que ce n' eft qu a la faveur de 1' eau , comme il
arrive dans toutes les decompositions de cette fubitance ,
qui ne peuvent abfolument avoir lieu fans fon fecours.
iji. En confiderant 1' operation qui eft neceffaire pour
la formation du Soufre artificiel , il eft naturel de voir cue
ce n' eft que dans 1' etat de fluidite que 1' acide vitrioli-
que peut attaquer le phlogiftique , mais qu' il fe paffe une
grande difference dans la maniere avec laquelle cette
union fe fait , car dans 1' etat de fonte cette union eft la
plus intime poffible , & dans celui de diffolution elle eft
bien petite , ( mm ) au refte nous remarquerons que le
tartre vitriole paroit etre la combinaifon la plus parfaite
de cet acide avec une fubftance d' une nature differente,
parcequ' il eft neceffaire d' employer toute la violence
du feu pour la detruire , pendant qu' il ne faut que des
operations tres-fimples & tres-aifees pour decompofer le
Soufre & les feienites que je regarde apres le tartre vi-
triole comme les compofes de cet acide les plus difficiles
k detruire , mais nous laifferons des difcuffions que je
t x me
{mm) Les experiences dont je vais rendre compte me paroiflent aflez pro-
pi es pour contirmcr cette propofition. Comme le melange du char-
bon & du Sel ammoniac tlont j'ai pa>le §. K9. ne m' avoir rien
donne ainfi que je I' avois pie'vu, j'y ajoutai du vitriol vert bien
calcine, & je retirai de ce melange ue I efpru de Sel mele a d«
I'efpnt fulphureux tres-puilTant 8c du Sel ammoniacal vitriolique,
ce qui fert k nous faire voir encore qti'on peut tout auffi bien cm-
ploi:r ces fortes de Sfl pour degager 1' acide du Sel ammoniac que
les acides libres, il ell vrai qu' il (emit peut-etre neceiraire de
repaffer 1'efpiit de Sel fur du nouveau Set ammoniac pcur I' avoir
pur, mais toujours eft-il moins vrai qu'on obtiendroit par ce mo-
icn le Sel ammoniac fectet de Glauber , avec plus de faciliie, &
moins de danger.
Une feconde exeenence fert encore a appuier les raifonnemens ci-devant.
1 3
Je pris d'eiprit volatile — de Soulie & je laiffai ce melange
one. 8
eo
i4§
me referve a traiter autre part dans toute 1' etendue qu' el-
les peuvent meriter.
133. Je reviendrai a ce que j' ai dit §. 130. que c' eft
1' acide vitriolique qui fe volatilife avee des parties terreu-
fes dans la Chaux en attaquant par preference de 1' aci-
de mark) la partie inflammable du Sel ammoniac, & l'at-
taquant meme avec plus de force ; je ne difconviendrai
pas cependant que peut-etre la partie que cet acide
abandonne a la faveur de 1' eau ne puifle etre attaquee
par 1' acide marin & fe volatilifer avec lui de maniere
que la decompofnion fut d' autant plus intime par la Chaux,
que les deux acides y concourrent , & il me paroit a pro-
pos d' obferver qu' il en eft de celle-ci comme de plufieurs
diflblutions faites par 1' acide marin dans lesquelles cet
acide n' a de jeu , qu' autant que les fubltances ont deja
ete , pour ainli dire , ouvertes & attenuees par des aci-
des plus-forts.
J' en ai eu un exemple dans le plomb mineralife par
le Soufre dont j' ai parle dans la note du §. precedent ,
ce plomb qui eft n* refraftaire , s' eft pourtant reduit en
plomb corne pour la plus grande partie en le me'.ant
a des fleurs de Sel ammoniac dans un creufet a un feu
au
en digeflion pendant la nuit fur des cendres tiedes & dans un vafe
d' un ufis petit orifice que j'eus foin de couvrir d' un cornet de
papier ce qui me donna la teinture doree dont parle le Ce'lebre M.
Boherave , mais dont le procede n' eft pas fi fimple , & cornme il
ctoit relle du Soufre qui n' avoit point fouffert de cliangement ,
3
j'ajodtai a ce me'lange — de minium; j'en fis enfuite la diflilla-
onc.
tion dont je retirai une liqueur mfile'e d' cfprit de Sel & d' acide
lulphureux, un peu de Sel ammoniacal vitriolique, & le plomb
calcine fur cut crement mineralife par le Soufre. fi couleur etoit
noire, fa confirtance etoit friable, il s'attachoit aux doigts & don-
noit une flamiue bleuc eiani cxpofe a une chaleur rnodeiee de
mcJiie qqe fait le Soufre, & ne difcontipnoit a biulcr qu'en Jui
imcrceptant la communication avec fair librc, en un mot c' etoit
du veritable plomb biiile.
M9
auquet un melange de ce meme plomb avec de la pou-
dre de charbon n' avoit rien change.
134. J' ai dit §. 109. en parlant de la difference entre
les refultats de la combinaifon du Sel ammoniac avec le
plomb , & de ce meme Sel avec le plomb & la Chaux-
vive , que j' avois lieu de conje&urer que 1' acide marin
devoit etre affoibli par beaucoup d' eau pour attaquer le
plomb , & §. 1 1 o. dans la note que non feulement par
cette raifbn , mais encore parceque dans le Sel ammoniac
cet acide fe trouve r.ffc.cie a un Alkali volatil ( Sels qui
font toujours charges de beaucoup de matiere phlogiftique)
il exercc fon aft ion fur le metal ( nn ) j' ai dit enfuite
que lorfque cet acide eft tres-foible , il paroit avoir plus
d' affinite avec la Chaux , qu' avec les Alkalis volatils, &
qif il en avoit davantage dans cet etat avec ces derniers
qu' avec les Aikalis fixes , ces inductions quoiqu' appuyees
ne doivent cependant pas pafler en maxime , & je ne les
donne que comme des doutes ou des conjectures qui
out befoin d' etre prouvees d' une maniere direrfte , ce
que ne pouvant pas faire pour le prefent d'une maniere
allez etendue , je me contenterai d' expofer quelques expe-
riences que j' ai faites fur cela.
135. Je mis de la grenaille de plomb dans de 1' acide
marin , & apres douze heures il ne me parut pas qu il
en fut attaque d' une maniere un peu conliderable ( 00 ).
J' affoibli cet acide par beaucoup d' eau , mais je
n' obfervai pas qu' il y eut eu d' alteration plus fenlible au
plomb apres 6. heures.
J' ajoutai
(/in) Cette propofuion que je n'ai donne'e que comme une conjefture 5.
exciie ma curiolite , & j' ai fait fur cela quelques experiences qu'ou
trouvera a la fin de ce meinoire.
( 00 ) Je dois a^ci tir que mon efptit de Sel n' e'toit pas a une grande force,
& que e'efl peut-c;re pour cette ta Ton que les effets qu'lla produits
fur le plomb fous U forme nietallique ont etc bien petits , mats
comme je me fuis fcrvi de ce meme efprit de Sel pour Its Chaux,
fjl me paroit que les refultats n' en font pas moins concluams.
J' ajoutai a 1' acide un peu d' efprlt volatile , ce qui exci-
ta beaucoup d' effervefcence , & il me parut a 3 . heurej
de-la que le plomb avoit change confiderablement.
136. Je mis du pareil plomb dans de 1' efprit volatile
tres-penetrant , & ]' en mis dans un autre affoibli par
beaucoup d' eau ; apres 14. heures de tems le fecond
avoit fouffert beaucoup plus d' alteration que le premier j
mais je remarquai que le plomb etoit au fond de la li-
queur fous la forme d' une Chaux precipitee , ce qui prouve
que le plomb ell attaque par V Alkali volatile, mais que
ce n' eft pas une veritable diffolution.
J' ajoutai un peu d' acide marin a ces efprits urineux,
& je remarquai de meme une grande difference d' action
de cet acide fur ce metal par les deux liqueurs; car celle
qui etoit plus foible agiffoit avec beaucoup plus d' aclivite
que 1' autre , elle etoit tres-limpide , les bulles d' air fe de-
gageoient avec beaucoup de rapidite , & je remarquai
quelle repandoit une grande quantite de vapeurs acides,
pendant que 1' autre n'en donnoit aucune ; il eft vrai que
dans celle qui etoit plus concentree le rapport entre I'acide
& 1' Alkali volatile etoit plus approchant du point de fa-
turation ; je mis une quantite d' eau dans cette diffolution
& elle s eclaircit un peu , mais elle n' etoit pas auffi lim-
pide que 1' autre y je crois cependant qu' il fe trouvoit une
plus grande quantite de plomb diffoute.
137. Ces experiences nous apprennem clairement que
1' acide marin agit avec d' autant plus de force fur le
plomb par le fecours des Alkalis volatiles , que ces Alka-
lis font plus eloignes de leur plus grande concentration ,
quoiqu' il foit naturel de penfer que cette plus grande afti-
vit£ ne s' etende que jufqu' a un certain terme , qui je
penfe fera celui de leur parfaite diffolution.
138. II paroit de meme qu' elle nous prouve que
1' acide marin a tres-peu , ou peut-etre n' a aucune action
de
'51
de diffolution fur le plomb (pp) , feroit-ce a caufe de la
grande quantite de phlogiftique que contient ce mdtal ?
c' ell effeftivement ce que femblent me prouver les expe-
riences fuivantes.
1 3 9. Quant a ce que j' ai dit de V affinite de cet acide
avec la Chaux , les Alkalis volatils & les Alkalis fixes,
il me paroit que la chole eft affez prouvee par les expe-
riences dont j' ai rendu compte , & je ne m' y arr&erai
pas davantage.
1 40. Voici en peu de mots ce qui m' a paru prouver
que 1' acide matin ne diffout point le plomb a moins qu'on
ne 1' ait prive de fon phlogiftique , c' eft que 1' efprit de
Sel diffout le minium avec beaucoup d' effervefcence , il
en fait de meme a la ce>ufe mais avec quelque petite
difference , & quoique ce m£me acide diffolve le Sel de
laturne , il le fait pourtant avec beaucoup moins d' afti-
vite & fans effervefcence : or perfonne n' ignore que le
minium & la cerufe font deux chaux de ce metal im-
parfiit , la premiere faite par le feu , & la feconde par
les vapeurs acides du vinaigre , de maniere qu' elles font
entierement privees de leur phlogiftique , au lieu que le
Sel de ftturne par les digeftions 6k les cohobations reiti-
rees de 1' efprit de vinaigre en reprend indiipenfablement,
ce qui eft affez prouve^ par la revivification qu' on peut
faire de ce Sel en plomb fans addition de phlogiftique.
Ce phenomene de la diffolution du plomb par 1' acide
marin au moien d' un peu d' Alkali volatil femble fa-
vorifer le fentiment de ceux qui pretendent que 1' acide
nitreux n' eft que 1' acide vitriolique altere par du phio-
giftique
{pp) J' emends par diffolution , une de'funion intime & uniforme de touies
les parties d' un corps, d'ou il fuit immediatemcnt la limpidi:e' de
la diffolution , ce qui n' ayant pas lieu dans celie de I' efprit de Sel
fur le plomb non prepare, ne me paroit par me'riter ce noin , rnais
• plutot celui d'abrafion.
J5*
gifiique & de 1' Alkali volatil , &: que 1' acide marin n'en
differe qu' en ce qu' il ne contient pas 1' Alkali volatil ;
fi cela etoit cependant , le Sel ammoniac fluor combine
a 1' Alkali fixe devroit donner du veritable nitre , ce qui
ne m' a pas r^uffi , non plus que d' en tirer d' une diftil-
lation que j' ai faite du melange de 1' efprit de vin avec
1' acide vitriolique fature d' Alkali fixe apres n. heures
de digeftion , qui a ete 1' operation dont M. Vallerius
dit en avoir retire ; pour moi je n' ai obtenu qu' un
tartre vitriole en criftaux tres-difiin&s , qui differoit cepen-
dant de 1' ordinaire , en ce qu' il n' avoit point du tout
de faveur amere. J' ai remarque a cette occafion que
malgre que 1' evaporation foit tres-rapide les cryllaux qui
en reiultent font en grande quantite & tres-bien figures ,
qu' il ne fe forme point de pellicules , & qu' ils fe cry-
ftallifent au fond de leur diffolution , comme le Savant
M. Rouelle dit qu' il arrive dans 1' evaporation infenfi-
ble , aux diffolutions ordinaires de ces Sels a 1' air libre.
Quoique je me fuffe propofe de rendre compte dans ce Mi-
moire de Faction de la Chaux fur differences fubfiances, les
queflions incidentes ne m ay ant pas permis £ etre plus court ,
i ai ete dans /' obligation de me borner au Soujre , au Sel
de Glauber , & au Sel ammoniac , me refervant a en donner
la continuation dans d' autre* Memoir es.
EX-
EXPERIENCES
Pour chercher les caufes des changemens qui
arrive nt au Sirop violat, par le melange
de differentes fubjlances.
Par le Meme.
L' Illuftre M. Neumann a donne un Memoire dans le
quatrieme volume des Mifcellanea Berolinenjia fur le
peu de confiance qu'on doit avoir aux changemens de cou-
leurs qui arrivent au Sirop violat par le melange de quel-
que fubvtance pour en deduire la nature.
On iair que la couleur verte fert a caracterifer les fub-
ftances alkalines , que le rouge denote la prefence d' un
acide , & que les Sels qui refultent de la combinaifon
exatte de ces principes, & plus generalement que les Sels
parfaitement neutres n' apportent aucune alteration a la
couleur bleiie des vegetaux, ce font la des maximes gene-
ralement recues ; quoique cependant ces axidmes ayent
ete depuis fort long-terns adoptes , ce Savant a fait voir
qu'ils etoient fujets a un grand nombre d' exceptions , &
qu' on ne pouvoit etre en droit de conclurre de ces chan-
gemens que la fubltance qu' on avoit employee fut acide
ou alkaline , ou enlin neutre , lors qu' il ne furvenoit
aucune alteration a la couleur naturelle au drop.
Ce n' ell point une ampliation de ces exceptions que je
me propofe , mais 1' examen de ces changemens & ceiui
des caufes de ces exceptions memes.
Je dutribuerai mes obfervatioaa felon 1' ordre qui me
paroit le plus naturel, favoir celui que tiennent les acides,
Mifccl. Tom. III. u &
154
& je chercherai enfuite a deduire les confequences qui en
decoulent.
i . Le firop violat mele avec 1' huile de vitriol , prend
une couleur rouge tres-belle & plus ou moins foncee a
mefure que la quantire d' eau dans laquelle on etend le
firop eft plus ou moins grande.
2. II n'en eft pas de meme fi on met 1'huile de vitriol
fur le iirop fans le delayer dans une quantite d' eau con-
fiderable, quantite qui doit etre fixee par 1' efpece de dif-
folution qui fe fait fans qu' il ne fe precipite plus rien
apres qu' on F a laifle repofer ; car alors le firop fe con-
vertit en charbon.
3 . Toutes les fois que la quantite d'eau excede le point
de faturation , s' il eft permis de me fervir de cette ex-
preflion , la couleur fe change en verd dans la diflblution
du firop.
4. Je ne parlerai dorenavant que des diifolutions fiuu-
rees , j' avertirai toutes les tois que cette circonitance aura
ete alteree , & je les nommerai liqueur.
5. Le tartre vitriole femble au commencement ne dimi-
nuer qu' un peu 1' intenlite de la couleur bleiie , elle (e
change neanmoins apres un certain terns en une couleur
verte aflez belie. Les fleurs de violette, ni le papier bleu
ne fourTVent aucun changement.
6. Le foye de Soufre , ou pour parler plus exaftement,
du Soufre & de 1' Alkali fixe meles a cette liqueur au
moien de 1' agitation lui tbnt prendre une couleur jaune
-doree tres-belie ( a )
7. Le Sel volatil fulphureux fe diffout en tres-petite
quantite' dans la liqueur , elle fe change ccpendant en un
verd aflez clair apres quelque-temi.
8.
{«) Toutes les fo's quo je ne parlerai point ties fleurs de violette & du
papier bleu, c' ell paicequc je n' y aurai remarque aucune altera*
non kniibie.
M5-
8. Le Sel de Glauber fe dilTout en tres-grande quantite
dans la liqueur , & lui fait prendre auffitot une tre^-belle
couleur verte.
9. L'alun fe diiTout de meme en grande quantite, &
prodait une couleur violette qui dilbaroit enfuite & fe
change en un verd fate. Les fleurs de violette tk le pa-
pier bleu clungent aula en rouge ; il fe fait au refte un
piecipite conliderable dans le commencement qui femble
cependant diminuer par la fuite.
1 o. L' alun de plume artiticiel dont j' ai rendu compte
dans le memoire precedent fe diflbut encore en plus grande
quantite , & fait prendre une tres-belle couleur de cerife
a la liqueur , aux fleurs de violette & au papier bleu.
1 1 . Le vitriol verd communiqua a la liqueur une cou-
leur verd d' olive , parut changer foiblement en rouge les
fleurs de violette , & le papier bleu prit une teinte d' un
gris-rougeatre ; il y eut aulli dans ce melange un preci-
pite conliderable ( b )
ia. Le vitriol de cuivre paroit produire dans le terns
meme de la diflolution un peu de changement , & la li-
liqueur prend a la fuite une belle couleur verte, de meme
que les fleurs de violette qui fe chargent d' une nuance
tout-a-fait femblable a celle du verdet : le papier bleu au
contraire femble relever un peu fa couleur naturelle.
u 1 13.
[i) Dans le doute que le vitriol vert que j'avois eirploiie n'eut foufFert
une efpe'ce de decompofhion, j' y ajiuiai un peu d'acide vttriolique,
cc qui produifit en eft'et une el'pece dc gonflenient qui ne reflrm-
bloJt pas mal a un mouvement de termenuton ; pour m'jlu.er.
ne'anmoins qu'il ne fe trouroit pas une furabnndance d* acide , je
projetiai pjr intervalle des petites quamitesde 1 niiille de fer jpifqn' i
ce qu' il nc panu plus de mouvenient; la liqueur en queftioii prit
une couleur biune tres-foncee qui Stoit a peu-pie^ la meme que
celle qu' o>i obtient en metant de leau a-.ec le charbon i.ui nil'. Ite
de la con.biiiaifon de I" a-ide vitiiol que & du drop §. 2. dc n>e ne
que le paper bleu; les fleurs de violette au contraire deviment
66
poteft, qua proportione albuminofae partes fe habeant ad
aquofas in fero contentas : atque infuper deprehendimus par-
tem feri aquofam concrefcibili parti propemodum aequa-
lem effe . Quae porro methodus horum elementorum
proportionem definiendi minime fallax , coeterifque ante-
ponenda videtur ( b ) .
3. Diximus corium, quod eruorofam infulam pleuritico-
rum obtegit, alkalicis volatilibus folvi, mox eorum evapo-
ratione iterum concrefcere , ita tamen ut priftinam duri-
tiem , &: colorern non recuperet , fed in tremulae gelati-
nae Ipeciem tantummodo coeat ( c ) . Libuit autem expe-
riri quid eveniret , fi ejufmodi fblutioni , aut aqua , aut
acida admifcerentur . Itaque admixta aqua , foluta mem-
brana gelatinae foecie ad liquoris fuperficiem colligebatur ;
quo fit , ut ipfa lie foluta faponaceam iudolem 11011 adqui-
rat , quum aqua folubilis non efficiatur . Quod fi vero in
earn folutionem fpiritum nitri immitterem , foluta crulta ad
fundum praeceps ferebatur , & priftinam albedinem , &
duritiem referebat. Conftat igitur ipeciem , quam exhibet ,
gelatinae aemulam , dum aut alkalihi evaporatione , aut
aquae admixtione concrefcit, tribuendam elfe aquae, quam
in poris fuis concrefcendo retinet , indeque fieri , ut acida
mineralia, quae aquam non minus, quam alkali abripiunt,
priftinam formam , ac deniitatem eidem reitituant .
4. Libuit etiam indolem iabuloiae materiae , in quam
lemporis progreffu feri iedimentum puriforme faceifit per
experimenta inveftigare ( d ) . Hujufmodi itaque materiem
in varios liquores immifi , aqoam , vini fpiritum , acetum
diftillatum , acidum nitri , alkali volatile . Tribus prioribus
jmenftruis foluta nullatenus eft ; duobus poitremis promptc ,
&: perfefte folvebatur . Ex quo adparet ea concrementa
falina
(4) Confer III. HalUr Eleraentor. Phyfiol. T. II. pag. 124.
( c ) Spccim. II. § 30.
(d) Confer. Spccim. II. §. 20,
<7
falioa non effe, quum aqua non folvantur, & albuminofae
feri parti in eo effe fimilia , quod alkoholc folvi non pof-
lint , iblvantur vero alkalicis volatilibus ; in eo autem dif-
ferre , quod folvantur acidis mineralibus , quum feri pars
gelatinofa ab iifdem cogatur .
5. Ex iis etiam conltat concrementa ea terrea a topha-
cea podagrorum materia differre ; nam haec aceto diftilla-
to , & lpiritu Talis intra viginti-quatuor horas fblvebatur ,
contra in lpiritu Talis ammoniaci , c. c, urinae integra perfta-
bat (e), ut propterea iis folveretur, in quibus terrea ma-
teries integra perdurabat , iifque refifteret , a quibus ter-
reum hoc puris concrementum folvebatur . Eodem modo
a calculis differre conftabit turn felleis, turn urinariis, quo-
rum aliquos in alkalicis iifdem integros permanere obfer-
vavimus .
6. Quum porro corium pleuriticum in vafis claufis fponte
colliquatum ( j ) diu afTervaffem , animadverti turbidum
eum liquorem in tophos abire iis omnino fimiles , quos
purulentum feri fedimentum produxerat , quique fimiliter
tentati eamdem naturam oftendebant ( 4 ) , ut inde proba-
bile fiat colliquatum corium a puru'lento feri fedimento mi-
nus difcrepare , quam fubito afpeclu ( g ) ex aliqua con-
fiftentiae , & coloris diverfitate nobis differre vifa fuerint ,
& confirmatur eorum fententia , qui cenfent unam eam-
demque utriufque materiem effe ( h ) , albuminofam nimi-
rum feri partem , quod aliis etiam experiments confenta-
neum eft , quae hie continenter adnotamus .
7. Infulam cruorofam in minima fragmenra comminu-
tarn repetita aquae affulione eluebam, ut cruore per aquam
abrepto
(t) Pinelli . Saggio delle tranfazioni . T. IV. pag. 157.
!f) Spctim. 11. §. ao.
p ) Specim. II. §. 2.6.
(A) Ccltb. iauvagts dc 1' inflammation §. 87.
CI. DcHaen Pan. II. Cap. II. pag. 12.
CI. qutfaay dc la faignee pag. 419. 420.
68
abrepto fola ipfius infulae pars fibrofa , albidaque fuperef-
tet ( i ) ; turn earn partem fibrofam variis iis experimentis
exploravi, quae circa corium pleuriticum alias inftitueram.
Eamdem omnino naturam conftanter demonftravit: nempe
claufis vafis digefta in liquamen abibat , alkohole , & acidis
mineralibus indurabatur, alkalicis volatilibus perfe&e folve-
batur , eorum tamcn evaporatione concrctura .
8. Ex quibus demonftratur corium pleuriticum ex eadem
materie conftare , ex qua fibrata , albidaque infulae cruo-
rofae matrix conrtituitur , albuminofa nempe feri portione,
uti Malpighio (/) Hallero (w), aliifque fummis Vi-
ris vifum fuerat . Hinc porro intelligitur cur corium pleu-
riticum ad fuperiorem infulae cruorofae faciem conftanter
adhaereat ; cur interdum globulis cruoroiis interceptis non-
nifi dilutiore colore , majorique deride id corium a cruo-
rofa infula diftinguatur ( n ) ; cur in fcorbuto imminuta
cohaefione globulorum fanguineorum ad fibrofam fanguinis
partem corium craflius fiat ( o ) ; cur in inflammationibus
prout cruoris quantitas imminuitur corii craflities augea-
tur (f ) i cur denique corium a nobis obfervatum faerit ,
quod flocculenta corona per ferum diiperfa cingebatur (q);
ac poftremo cur &" tota placenta , & corium pleuriticum
aeque parum ferri contineat ( r ) .
9. Omnino probabile eft edu£r.o fanguine , defeftuque
motus , vel caloris , vel utriufque aqueam feri partem mi-
norem
(t) Confer Malpighium de polypo pag.33.
Mtxghinum Comment. Bononienf. T. II. Part. II. pag. 154.
CI. Kronover apud Holler urn. in addendis Phyfiolog. T. VIII. Part. IT.
PaS- '39- "• Kronaver enim opufculo noo fine doiore caieo.
(I) Loc. citat.
(m) Tom. II. Phyfiolog. pag. 10.6. 117. 128.
(n) Qucfnoy loc. chat. flag. 411.41a.
(0 ) Lini. Traite du Scorbut.
\P ) Quefnay l"c- citat. pag. 41 j. 416",
(f) Specirn. II. §. 2.5. not. d.
(r) Menghini loc. cit. pag. ajj.
norem jam albuminofae partis quantitatem folutam fervare
po(Te , hinc excedentem portionem fecedere quemadmodum
quorumdam falium portio aqua calida folutorum ab eadem
frigefcente feparatur . Portionem hanc albuminis frigore ,
& quiete coeuntem globulos cruorofos abripere , & infu-
lam conftituere, corium vero pleuriticum fieri ab albumino-
fa parte , quae aut nullos , aut pauciores globulos fan
inde confirmari potelt utrumque alkali putredinem impe-
dire . Etenim in allatis experiments pars feri gelatinofa li-
quore tartari indurefcebat , & lie indurata in eodem diu-
tiilime perfittebat , & licet in fpiritu falis ammoniaci calce
parato foluta fatis diu fervaretur, concrefcibilem tamen in-
dolem cunitanter fervabar , quam diffipato per evaporatio
nem alkali fponte concrefcens oftendebat , ut propterea
utrumque alkali inter antileptica, & quidem a&uofiora re-
ferri debeat.
1 8. Demum etiam aquae calcis actionem in cruftam
phlogilticam , aliafque albuminofas concretiones experimen-
tis inveftigans comperi haud minus prompte ab hac, quam
fpiritu alkalino falis ammoniaci calce parato in tremulae
gelatinae fpeciem primum converfas , mox perfecle diflo-
lutas tuifle , adje&a aqua forti in priilinam albi coaguli
fpeciem ad liquoris fundum iterum dejeclas fuiffe .
1 9. Cupiebam etiam falem fanguinis efTentialem in aquea
feri portione invenire . Quare aqueam earn portionem ,
turn congelatione (1) ab albuminofa feparavi , turn a coa-
gulato per ignem fero fponte extillantem excepi , Sed aut
parciorem obtinui aquam, aut craffiorera, & turbidam, ut
nihil inde ad propoiitum mini finem exoriretur . Itaque
alio rem eamdem tentamine adgreffus fum . Noveram ex
Haenio ( f ) ferum in fervidam immiffum latteam ipfam
reddere , nee ullum coagulum exhibere , quantumvis aqua
ebulliat; conje&abam igitur futurum, ut fi albuminofas feri
partes per aquam lie difperias ab eadem fecernerem, mox
aquofam partem debito modo evaporare fmerem , falinae
partis in eadem contentae crytlallos obtinerem . At quum
magna m aquae quantitatem , immiilb in ipfam fero , per
ebuilitionem reddiduTem la&eam , philtratione fbtim per
MifceL Tom. III. ^ chartam
( i' ) Lcc. citat. pag. 86. 87.
174
chartam adeptus equidem fum limpidam , ac aquearrf feri
partem a concrefcibili ita fegregatam , ut in igne evapo
-rando concentrari poflet; fed quamvis fie evaporata falfum
admodum faporem adquirerct , tamen frigido Joco fervata
cryftallos nunquam dimiiit ; ex quo coiijicere eft falem fan-
guinis nativum hujufmodi effe , ut nunquam , aut aegre in
-cryftallos concrefcat . Sed de hac re alias fortafle .
10. Duo reliqua mihi funt cxperimenta , quae breviter
indicabo, alterum in animalibus ex nimio calore fuffocatis,
aiterum in iis , quae inedia conficiuntur . Quum enim ex
his duobus caufis CI. Scriptores humorum putredinem in-
duci , indeque ea animalia enecari tradiderint, idcirco op-
portunum cenfui eamdem rem experimento etiam meo ex-
plorare .
a i. Duo cuniculi in hypocaufto ad 3 50 thermom. reau-
muriani calefafto ex dyfpnaea , & virium proftratione in-
terierunt. Primus quidem fpatio horarum xiii., alter ho-
rarum xviii. Pulmones inflammati inventi funt, odor nul-
Ius foetidus , nee fanguis , nee bilis cum acidis efferbuit .
Feles robufta in hypocaufto inter 38. & 40. ejufdem therm,
calefa&o horis fex interiit . Cuniculus alter , quum in eo-
dem calore duabus horis permanfifTet , vivus adhuc ex eo-
dem eduftus eft , & brevi poftea interiit : utrumque ani-
mal pulmones inflammatos oftendit , neurrum vel foetuit t
vel quodpiam aliud putredinis indicium praebuit . Conje-
clamus igitur Viros O. , qui alium fimiiium experimento-
rum eventum fortid funt , forte animalia ad aliquod tern-
pus in calente loco reliquifle poltquam extin&a eflent ,
ubi mortuae carries in corruptionem vergere citiffime de-
buerunt : nee dubitamus calorem ex interna caufa , aufto-
que motu natum , longe diverfum in animalium humores
efTe&um gignere poffe .
ii. Illud exquirere volui , utrum animalia, quae inedia
pereunt , orta humorum putredine extinguerentur . Quod
' etfi
»7S
etfi pro ccrto a multls proponatur, dubia tamen de ea re
CI. Virorum me ad experimentum iterandum excitarunt ({")•
Cuniculum itaque , quern fames intra dies 2 1 . confecerat ex
convulliombus diligenter explorabam. In eo pinguedineam
telam adipe deititutam , & exfuccam obfervavi ; ventriculwm,
& inteftina vacua , nifi quod in inteftinis identidem flavae
bilis ramenta occurrerent , vifeera coetera fana erant. Odor
nihil putredinou" emittebar , neque humores aut foetebant ,
aut cum acidis effervefcebant ; quare credibile eft , aut
in carnivoris animalibus alium futurum experimenti even-
turn , aut alias praeter inediam putredinis caufas adjunftas
fuiffe , ut corrupta , & prava alimenta , quibus obfervata
a CI. Viris , quorum fides minime fufpefta eft , putredi-
nis figna tribui poffint.
({") Morgagni de cauf. 8c fed. epift. 24. §. 6.
CAROL]
176 CAROLI ALLIONII
Stirpium aliquot defcripuones cum duorum novonun
generum conjlitutione .
DESCRIPTIO PRIMA.
O.RTEGIA dichotoma , axillis ramorum unifloris
Tab. IV. f. i.
EX radice perenni , longa , tereti, fibrofa cefpes nafcitur
caulium procumbentium, qui ad cubitalem ufque lon-
gitudinem kfe extendunt. Caules continuo dichotomi , quan-
doque in primis ramis trichotomi , quadrangulares , ihiati ,
fuba im-
maculatis : primoribus lupra lineola
nigra.
Similis Pap. Comma, at prorfus im-
maculatus.
Populi.
Stellatarum.
Porcellus.
Filipendulae.
Virginea , alis fuperioribus cyaneis : maculii
quinque , pun&iique totidem rubris albo
marginatis.
Similis Filipendulae. Alae inferiores
coccineae , margine exteriori caeruleo , in-
feriori teflaceo ; differt tamen thorace
virenti , margine collarique duplici albo ,
maculis punclijque rubris peripheria alba
cinclis. Puncla haec numero quinque oc-
cupant
,'9>
cupant lecum fextae maculae Filipendulae
verfus apicem alae.
SpiiiNX ligata , alis omnibus nigris albo maculatis :
abdominis faicia duplici aurca.
Antennae apice albido. Abdomen ce-
ruleum bafim , & medium verfus fafcia
aurca. Macula aurea in claviculis 4. po-
fticorum pedum,
variegata abdomine barbato : alis hyalinis ,
margine ferrugineis.
Segmentum abdominis primum , & fe-
cundum viridia , quartum , & quintwn
ferruginea , quint um , & fextum lutea ,
barba Luerali horum alba , terminali
nigra. Abdomen fubtus ferrugineum. Tho-
rax , & caput viridia. Pectus album.
Antennae nigrae. Alae albae, pellucidae7
margine ferrugineo.
Phalaena Cap.
falicis.
plantaginis.
ypfdori.
pacta.
grojfulariata.
glaucinalis.
verticalis.
purpuralis.
atomaria.
viridana.
trigonella.
Swamerdamella,
pentadactyla.
NEU-
'94
LlBEU,UI.A
Ephemera
Hemerobius
Panorpa
NEUROPTERA.
qu.idrifajciata.
Fridrichfdalenjis.
Janguinea.
frumenti.
triedra , e alis omnibus bafi lutefcehtibus : pun-
clo marginali albido : abdomine trian-
gulari.
Pedemontana , alis hyalinis macula fiifca : pun-
£to marginali corporeque fanguineo.
/3 alis hyalinis macula fufca: punclo mar-
ginali luteo : abdomine fulvo.
In e frons , pectus , abdomen pun-
clumque marginale rubra. Thorax & ma-
cula alarum , quae punclo marginali ap-
proximate , jufca. In |3 frons, pectus ,
punclum marginale lutea. Thorax abdo-
menque julva. Pedes utriufque nigri,
virgo (3 , & s .
puella ot , j8 , $.
bioculata.
per la.
Chryfops.
communis.
Italica, lutea alis aequalibus, punclo margi-
nali : abdomine falcato.
Facies omnino Tipulae , at alae qua-
tuor , roflrumque Panorpae, licet minus
communis. Tota lutefcens. Antennae feta-
ceae , oculi ocelli , & apex rojlri fufca.
Abdomen falcatum, fupra lutewn ,fubtus
fubvirens apice jujco. Pedes longijfimi ,
apice tibiae fpina duplex. Alae acquales
lutefcentes punclo marginali concolori.
HYME-
HYMENOPTERA.
'95
TENTHREDO pratenfis.
viridis.
Ichneumon
padi.
ujlulata.
jaltuum.
Jeptentrionalis.
quadrimaculata , antennis clavatis, nigra pilofa:
fronte , fcutello , abdominifque maculis
quatuor flavis.
Maxima. Tota nigra. Frons , fcutel-
lum , abdominis fegmentum fecundum, &
tertium fuperne fajcia lata flava ; haec
in fecundo utrinque incifa , in tertio om-
nino interrupta maculas quatuor conjlituit.
Thorax & fegmenta fuperne, & inferne
glabra , mxrginibus pilofa. Antennae da-
vat ae; maxillae J ones. Pedes piloji. Tarjt
fetis rubris. Alae fulvae.
bifafciata , antennis feptemnodiis nigra : ab-
dominis fafciis duabus , tibiifque pofU-
cis albis.
Tota atra. Segmentum abdominis fe-
cundum , & tertium fupr-a album j tibiae-
que pojlicorum. Quibufdam individuis duo
puntla alba in quarto fegmento,
extenforius.
compunclor.
manijejlator.
glaucopterus.
appendigajler,
defertor.
luteus,
ICH-
I 96
Ichneumon comuator.
punclator , niger , abdomine fubtus albiclo bi-
fariam punctato : pedibus iubflavis.
Niger immaculatus. Abdomen Jubtus
albidum punclis utrinquc quatuor nigris.
Pedes lutefcentes..
SPHEX fabulofa.
Aegyptia.
VESPA coarclata.
quinquefafciata , nigra , thorace lineis pan-
ftifque , abdomine t'afciis quinque , pun-
ftifque quatuor luteis.
Apex antennarum , & pedes fulvi ;
femora bap. nigra ; in ba(i thoracis , alaf-
que verfus lineolae . Dorfo puncla qua-
tuor , lateribus utrinque unum ; verfus
juncluram abdominis loco fcutelli tres li-
neae , quarum fuperior tranfverfa in qui-
bufdam interrupta , flava ; in ipfa jun-
clura abdominis maculae duae flavae. Abdo-
minis jafciae quinque incifae , quarum pri-
ma remota dorfum tantum occupat ; qua-
tuorque puncla lutea , duo majora inter
primam , & fecundam fafciam ; minora in
baft abdominis. Apex quoque luteus. Da-
tur varietas duplo minor,
honicola , nigra thorace lineola , punftifque
duobus : abdomine falciis quinque in-
terrupts , pedibufque luteis.
Antennae fulvae ; lineola interrupta
bafi thoracis ; Integra inter alas.
6.maculata, nigra, thorace immaculate- ab-
domine maculis 6. albis : alis bafi fulvis.
Tota
"97
Tola atra , punclis excavatis hirta ,
pprum hirfuta . Ocelli nulli. Abdominis
fegmenti z.r &'$.1 dor fa maculae 4. mi-
gnae aequales , 4.1 duae minores al-
bidae. . Alae umbraticae a baji ad medium
aureae. .
A~PIS manicata.
fuccincla.
truncorwn. .
hortorum.
pcatorum.
terrejlris.
lapidaria.
acervorum.
mufcorum.
i/fjubrica , nigra nitida .; alis caeruleis niten-
tibus.
Maxima. Tota • nigra glabra. Margo
thoracis , pectus , abdomen fubtus , .ic
pedes pamm hirfuta ; tarji poflicorum
hirfutijfimi. Alae pulcherrimae Iridis co-
lore caeruleo nitentes., lumini obverjae
faturate fufcae.
fulva , hirfuta nigra : thorace abdomineque
fulvis.
paludofa , hirfuta nigra.- thorace antice , ac
poltice , abdomine , antice flavis : ano
albido,
Tota hirfuta atra ; Thorax margine
antico , & poflico , abdomen antico luteo.
Segment urn penult imum , ac aniepenuhi-
mum abdominis lutefcentia ; apex' niger.
For mica Herculeana.
fufca.
Mjfcdi Tom. III. c c DIP-
i98
D I P T E R A.
TlPULA
crocata.
Musca
arbuflorum.
■
menthaflri.
nocliluca.
carnaria.
domejlica.
cadaverina.
jcolopacea.
mellina.
valentina, antennis plumatis glabra: thorace
r'errugineo : abdomine flavo cingulis
duobus nigris.
Magna. Frons cornea flava. Oculi fu-
fci. Thorax, & fcutellum jerruginea, ni-
tida fetis nigris cincla. Pedes obfcurius
jerruginei. Abdomen flavum marginibus
primi, & fecundi fegmenti nigris ; fubtus
jafciae nigrae. Alae Julvefcentes.
cincla , antennis fetariis pilofa , thorace cae-
rulefcente : abdomine ferrugineo ; linea
dorfali nigra.
Os argenteum . Thorax niger , glaber
lineis tribus lacleis. Abdomen ovatumfe-
tofum , ferrugineum , dor jo linea longitu-
dinali interrupta nigra x medio cinclum
lineola alba certo Jitu vifibili. Pedes ni-
gri femora flavefcentia.
CULEX
Asilus
pipiens.
forcipatus.
tipuloidcs.
A P T E R A.
Termes
fatidicum.
Acarus
gymnopterorum.
JOH.
JOH. PETRI MARIAE DANA
De Hirudinis nova fpecle , noxa,,
rcmcdiifque adhibendis.
HlRUDO alpina, nigruans., ventre, ad medium biunext o,
expLmato , corpore ab ore , & cauda nulla depref-
fione difiinclo Tab. VI. fig. i. ad 6.
ANimalcuIum eft vulgarem Hirudinem liabitu quadante-
nus referens , fed multo eadem conftantiflime minus,
duarum linearum longitudinem in fummo incremento non
excedens , latitudinem linearcm raro fuperans , craflitie li-
neam non attingens ; quod non exiguam mutationem in
mom progreflivo fubit. Primo enim brevius faftum velnti
in hemifphaerium parumper oblongum intumefcit ; poftea
porrectum , & extenfum valde oblongam formam ' acquirir.
Faciem ejufdem fuperiorcm convexam dorfum appellabi-
inus, : inferiorem complanatam ventrem dicemus: attenuatum
extremum , quod in motu progreflivo anterius reperiri folet
oris ; quod vero pofterius cauda nomine , licet improprio ,
dehgnabimus. Motum ilium quo decurtatur , contraBionis ,
quo autem extenditur , & porrigitur , difienfionis feu exten-
ponis nomine vocabimus. In Tab. VI. fig. I. animalis
non contra6tl dorfum , fig. 2. ejufdem venter, fig. 3.
ejufdem contrafti dorium , fed omnia naturali magnitudine
exhibentur. Similia oltendunt fig. 4., 5., & 6. , fed
magnitudine per microfcopium adau&a.
Animaculi non contracti (Vid. fig. 1., & 4.) dorfum
univerfum primo afpe£ru lucido-nigrefcens apparet. At , {\
attente obfervetur in media , elatiorique parte intenfius ni-
grefcit , quam vcrfus margines , ubi fenfim fenfimque niger
color in grifeum obfeunorem tranfit. Quod fi oculorum acies
lentis vitrcae adjumento intendatur, e f undo , ut ajunt ,
gri-
100
grifeo-albefcente nigri quidam villi elevari videbuntur, qui
denfiores funt in fummo dorfo , & paullatim rariores fiunt
ad margines , atque ea propter magis apparentem prope
hos grileum eolorem relinquunt.
Inferior corporis fuperficies complanata eft , (Vid. fig.
x. & 5."), & univerfe magis quam dorfum adgrifeumco-
lorem accedit. Nafcitur ab ore linea prae caeteris aiiimalis
partibus albefcens , quae ad duos longitudinis trientes refta
extenditur : & in albam veficulam b deiinit, quae in contra-
ftione animalis magis prominula, & quad tumefcens, quam
in extenfione obrervatur.
Hujufmodi albefcentem lineam utrinque fequitur linea ni-
gri obfcuri colons ( Vid. fig. 5.), quae veficulam cingit,
& ultra veficulam nigrum quoddam punftum , five macu-
lam nigram •imprimit.; linea nempe, quam albam diximus,
area eft duabus nigris lineis compreherrfa.
Extremum anterius O fit a corpore fenfim , ad Iongitu-
dinem femilineae attenuato , & produ&o in femiconum apice
exatre truncatum , & in illius elongatione extantibus an-
gulis quafi cornutum. Hoc proprie nomen oris tantummodo
meretur , cum in parte fui inferiore explanata etiam levis
emarginatura per lentem confpicua fiat , quae angulis eft
interpofita , & (emilunata videtur; onus veftigium apparet
ad 0 (fig. p)
Pofterior animalculi extremitas C rotunda fere eft, neque
ullo notatur divifionis veftigio , quo a corpore feparetur ,
neque ita attenuatur , ut caudae nomen proprie mereatur.
Margines planam inferiorem , a convexa iuperiori Hiru-
dinis fuperficie diftinguentes concolores (ere ubique appa-
rent , & quemadmodum reliquae partes , vix ulla nifi per
microfcopium confpicua ruga in quolibet ejufdem motu
exafperantur ; quod in vulgari Hirudine ad oculum obfer-
vatuc
Con-
10 I
Contra&ione , & elongnrionc alternata , ut diximus, mo-
ms fuos progrefiivcs abfolvit Hirudinis ilia fpecies. Dum de-
clirtarur anteriorem partem figit , & ad dram fui pofterio-
rem extremitatem adducit. In hoc motu ita contrahitur ,
ut ad oblongum hemifphaerium aliquomodo accedat ; di-
merJklo verticalis, & tranfverfa adaugentur , ad os ufque
totum corpus crafccfcit ; tuncque magis nigrum , & lucens
dorfum obfervatur -( Vid. fig. 3., & 6.). Dum elongatur,
& magis proprie progredi dici poteft , ^caudam firmatam
lervat , & anteriorem partem cum ore elongando producit;
verticalis , & tranfverfa dimenfio imminuitur , longitudo
eoufque faepius adauge'tur , ut duplo major quam in priori
contraftione fiat. Nullo horum motuum tempore animalis
os in orbiculum dilatatur , fed prope iilud gracilefcit , &
extenuatur ita tmiformiter , ut nulla depreffio collum a re-
liquo corpore diftinguat , & defignet. Quae etiamde Cau-
da patentius vera funt. Haec autem omnia conftanter ob-
fervavi ita fe habere in triginta,-& ultra individuis , quae
ad examen revocavi.
Experirrrenta quaedam iiunc addam fufcepta, ut in hujus
Hirudinis naturam inquirerem. Digito fonti immerfo fuper-
icandere , aut morfu adhaerere conftanter recufabat.
Cum aquae narivae parva portione firrrul educla haec
Hirudo , quamdiu ilia frigebat, alacriter vivere, & moveri
pcrgebat : quoquomodo autem aqua incalefceret ex manus,
Solis , aut atmofpherae calore male fe habere incipiebat ;
agitabatur primum , deinde languefcebat , & , nifi frigida
aqua renovaretur , brevi Tnoriebatur. In arido autem reli-
&a citius peribar. Tentatum eft vivas Hirudines aqua ini-
merfas in planitiem transferre , ea adhibita diligentia , ut
aquam neque Solis , neque manus calor calefaeeret j fed ,
anteaquam ex montibus defcenfum eflet , temper interierunt.
De induftria refupinatum hoc animalculum extra aquam
progredi non poterat , fed varie infleclebatur, donee «au-
dam
dam , vel os figere poflet. Tunc facile in pronum , natu-
ralemque fitum reftituebatur , unde facile motus fuos pro-
greffivos libere abfolvebat.
Multiplici ratione hujus hirudinis corpus diffecui , omni-
bus partibus diligenter examinatis microfcropii o£Hes mul-
riplicantis auxilio.. Nihil aliud autem in ipfo. detegere po-
tui praeter tubum tenuiffimum ,. pellucidum , St inteltinulo-
rum more per interiora , innumeris circumvolutionibus fa-
6tis , ferpentem , qui refe&us pellucidum humorem plora-
bat. Poft quatuor aut quinque horae minuta hujufmodi tu-
bulus motus aliquos contra&iles adhuc fervabat. Viginti mi-
nutorum fpatio Hirudo omnis arefa&a nihil organici prae-
feferebat. Imo Hirudulae aliae integrae fuper calentem a
Sole lapidem per femihoram expofitae , ita exficcatae funt,
ut ad nihilum fere reda&ae viderentur , in fui veftigium
exfuccam tenuem pelliculam fupra lapidem relinquentes. Ma-
nibus quoque paullo diutius contreiftatae , aut aflervatae cito
exficcabantur. Caeterum fere gelatinofa valdeque tenera ani-
malculi interior fubftantia membrana tenui, &c debili obte-
gitur , quae feparata pellucefcit, fed, dum contentis referta
eft, opaca apparet, & obfcurior.
Inter Hirudines recenfeo licet cum notis a Celeb. Lin-
naeo generi Hirudinis afligtiatis non plane confentiat. Neuti-
quam enim habet os , aut caudam in orbiculum expanden-
dam , fed habitus omnis , formaque Hirudinis fpeciem effe
declarat.
Augufto menie habitantem vidi in fundo aipinorum ion-
tium , quotquot fere editiores , & Soli minus expohtos fe-
cus viam invenimus , qua a R. P. Ciftercienfmm Monafterio
per alpes , & fylvas ad Garexium itur. Neque infrequens
etiam invenitur id vicinis , editifque alpibus ad Garexii
Commune proprie pertinentibus verfus Ic Caranque , & Ba-
tifoi. Supra adverfas quoque alpes Brie d1 Mindin diftas non
saro occurrere notatum eft. In reliquis vero ejufdem loci
mon-
20$
montibus , & alpibus , in conterminis Ulmetanis, in Apenninis
Ligurum proximis , nee non in caeteris Ulmetae , Tendae,
Brigacque ad Carlinum , & Viofennam fertiliflimis , quas
deinde, plantarum exquirendarum caufla , con(cendimus , al-
pibus, nullibi harum Hirudinum aliquam reperire potuimus;
quamquam acquifitae notitiae non immemores fontes iingii-
ios , quos offendimus , ideo diligenter infpexerimus.
Vernacula Jingua apud eos alpicolas hae Hirudines dicun-
tur U Sioure , aut Soure. Notiffimae autem cuique ibi funt ,
atque ab iis quam maxime cavent , cum vetulta , & malis
eventibus nimium confirmata apud ipfos, obfervatione con-
itet , turn pecoribus , turn hominibus adeo infenfa haec ani-
malcula eife , ut certam necem afferant , fi incaute cum
aqua dcglutiantur , nifi prompte auxilium afferarur. Quam-
obrem folent non line cautela horum fontium aquam bibe-
re ; aut enim prius accuratiffime ab his animalculis mun-
dant; aut, ut omne periculum tuuus effugiant, cum eadem
in fibulofo fundo vivant , profundius fontem excavant , &
aquarum commotionem avertentes ex i'ummo fonte hau-
Tiuut. Eadem adhibita cautela pecora ad fontes addu-
-cuntur.
Singulari harum Hirudinum fpecie , earumque noxa pcr-
culfus , diligentiflime ab alpicolis iiim lifcitatus ea omnia y
quae longa obfervatio eofdem docuerat, atque animadverti
fuifle ringulos hac in re confentientes. Symptomata itaque,
quae ex eorum communicatis notionibus collegi, haec funt.
AEgri hujufmodi primum conqueruntur pod ingeftionem ani-
malculi de quodam fenfu rofionis , terebrationis in ventri-
culo. Ventris totius tormina adeo acerba cum vomendi
conatibus accedunt , ut , manibus ventri continuo appreflii,
& inflexo trunco , ipfum adiidue comprimere cogantur ad
doloris atrocitatem aliquomodo diminuendam. Aiiqui vehe-
menter adeo memoratis doloribus torquentur , ut neque
ltare , neque fe erigere , multoque minus domum redipe
queant
104
queant , fed in terram faepe concidarit : aeftus dolorifici
fenfum in ventre percipiunt ; dentibus faepe ftrident ; exa-
gitantur ; concutiuntur ; frigefcunt ; cum furore per inter-
valla delirant j fingultiunt ; vomunt ; vultu livent. Alii pro-
tinus toto corpore poll refrigerationem . convelluntur vehe-
mentiffime, & incalefcunt. Omnes fudore , ac frigore de-
mum fuperveniente , moriuntur, laepiufque ne integro qui*
dem elapfo die miferrime pereunt. Aliqui, licet rarius,. diem
alteram attingunt.
Atque haec ita quidem contingere vifa funt, fi abfque re
mediis aegri perierunt. At ubi paullo ferius remedia oppor-
tuna exhibita funt, plexaque morbi.fymptomata mitiora quL-
dem fieri, alia. ve/o. plane tolli abfervatum.eftj difficile ta»
men, ck tarde fanitas perfe&a , 6k priftina reddita eft.
Caeterum e mortis faucibus fere omnes ereptos . genera*
tim afferunt, quibus faL, vel oleum, 6k agarium. prompte
dari potuerint, quae ideo tamquam antidota. ab ipfts repu-
tantur , ut maximum vitae periculum in mora pofitum de.-
clinetur. Pauciffimosenim ahfque. rsmediis , vel ob loci d&-
ftantiam, vel ob fociorum defectum id fuerit, fervatos fuiffe
norunt ; eofque nonnifi pod convuliiones , 6k mentis alie-
nationes, iifdem poftridie rermttentibus, domum redire po-
tuifle , 6k difficile convaluiffe retulerunt.
Agarium quod pertinet apnd ipfbs remedium eft pras
vicinorum laricum copia vulgatiffimum.. Ideo exficcatum dor
mi fervare , 6k in pulmenta cum pipere mixtum in omni-
bus fere morbis indifcriminatim adhibere (blent. Non infrer
quenter ut perpurgentur , 6k vomant , cum oleo,. rarius ve-
ro cum lafte. mifcent. Nihil exinde mirum, ft contra Hiru-
dinis defcriptae noxas fimiliter adhibuerint; (i ejufdem vim,
tamquam omnium efficaciffimi antidoti , experiraentis dum-
dum probatam unanimes extollant.
Salis communis in iimilibus cafibus utilitates- eximias ali-
qui retulerunt, 6k Chirurgus ipfe confirmavit; rarius tamen
nee
1&5
ncc nifi agarici , & aliorum defeclu in hominibus ufu ve-
niire inrellexi.
Sola aqua tepida , laftis fero , vel Ia£te copiofe , &
prompte ingellis propter reliquorum defectum tanta ilia fym-
ptomata pleftimque mitefcere obfervarunt ; non tamen cun-
cta , quemadmodum ab agarico , tolli deprehenderuntj imo
(aepius exinde nonnifi port menfes aegros fanitati reftitui
ajaiit, quo tempore cum ciborum inappetentia, & languo-
rs , ventris tumore , & levi dolore , inertes , &c excolores
vitam degunt.
Haec praecipua funt , quae ex veridicorum hominum con-
fentientibus reiponfionibus collegi , atque publici juris fa-
cienda elle putavi , turn ut iter per eas regiones tacientes
ab iifdem caveant , opemque , fi opus fuerit , neceffariam
nofcant ; turn quod exiilimaverim hujufce Hirudinis Hitto-
riam omnibus rerum naturalium iludii cukoribus acceptam
elTe futuram.
Huic commentariolo aliud adjungam , quod agit de ali-
quot animalibus , qua; vulgo Unicae marinae dicuntur. Has
porro omnes obfervationes inftitui in poltremo botanico iti-
nere, quod, favente Excellentiffimo, & Ampiiffimo Marchio-
ne Caissotti Supremo rei literariae univerfae Moderatore ,
per extremas apennmas alpes fufcepi, & in Comitatum Ni-
ceenfem defcendens ad ufque maritimas oras produxi. Cum
v.r>comitem itineris habuerim Francifcum Peyrolerium
botanicum Regium Pittorem , idcirco horum anunalium
icones eo meliores fubne&ere poirum , quod faepiuj viven-
tia animajia vivis coloribus llatim ab eodem accurate pingi
curavenm.
Mifcdl Tom. III. I b d d EJUS-
io6
E J U S D E M
De quibufdam Unices marinae vulgo diclae
differentiis .
I.
ARMENISTARI.
GENUS. Animal corf ore fub-cariiLigineo , tenui , complanato ;
baji ab erecto velo divija , arcubus lineata , mar-
gine tentaculato.
SPECIES. Armenijlari tentaculis in membranam perfecfe coalitis.
Tab. VI. fig. 7, & 8.
E Minus viiiim hoc animal totum Iaete caeruleum apparet; fed
propius , & diligenter infpe&um una cum caeruleo ar-
genteum colorem prasfefert . Duabus planis , tenuibus carti-
lagineo-membranaceis partibus , componitur , quarum una
pars (Jig. j.& 8. ) amplior , & oblonga eft ; & , eo quod
mferius in animali aquae impofito reperiri foleat , bajis di-
cetur : altera vero a ^ r (fig. 8.) inaequaliter triangula , ma-
jorique fuo latere D C A perpendiculariter priori affixa eft,
6c , quoniam velum erectum reprefentat, veli nomine diftin-
guetur , eoque libentius , quod ab hac voce generis hujus
ultera vera fpecies Vdellae nomen jamdudum habuerii.
Bafis animalis p a >■ s ovalioblonga eft , valdeque obtufa.
Summa illius longitudo pCr ad duas fere uncias extendi-
tur ; latitudo vero unciam vix aequat. Superior illius fuper-
ficies levitcr convexa , eft , & in duas aequales partes a
velo diftinguitur , quod ita fuper ipfam oblique -cadit , ut
inde fifta feclio ACD unguium acutum lariat cum linea
p C / majorem longitudinem ipfius baieos rcpiaefentante.
Inferior
io7
Inferior ejufdem bafis fades (qua; tota apparet in fig. 7.)
leviter concava eft , potiflimum verfus centrum C : longe
ellipticam ruffefcentis coloris maculam habet ab eodem cen-
tro ad tres lineas utrinque produ&am juxta ipfius Iongitudi-
nem , quae in fui medio ultra lineam lata eft . Hujus ma-
culae centralis portio communicare videtur fuperius cum fi-
nuofa cavitate fuperpofita C X , quae ad velum pertinet.
Utraque bafeos fuperficies tota tegitur a membrana , five
pellicula tenui , firmula , talcofb , & argenteo fere nitore
iplendente. Utraque tenuiflimam cartilagineae indolis fub-
ftantiam intercipit , necnon plures caeruleos arcus , five po-
rius canales caeruleum humorem continentes. Ex horum ca-
nalium , & cartilagineae fubftantiae arfta cum membranis
unione , firmitudo , & elafticitas vere cartilaginea bafeos pen-
dere videtur, quamvis humores ipfi ad id etiam conferant.
Exliccati enim Armeniftari bafis fragilis fir , atque tunc te-
nuiffima cartilaginea fubftantia uiembranis , & canalibus in-
terpofita difEciDime ab iifdem feparatur , & potius fub fpe-
cie fquammarum , quam integrae cartilaginis oculis fubjici
poteft .
Componi videtur velum q^r {fig. 8.) non modo ex
produ&ione membranarum bafeos , fed etiam ex tenuiflima
cartilaginea lamina iifdem inclufa . Quamvis enim per fe-
ftionem oculis ilia non fubjiciatur ; digitus tamen cartilagi-
neas proprietates , & praecipue rigiditatem diftinguit , quae
a fimplici membranarum unione vix prodaci poffet . Nulli
autem rei aptius comparari poteft recens velum , quam te-
nui laminae talci fupra bafin ereftae , five pelluciditas , five
tenuitas cum rigida flexilitate conjuncla attendantur. Margo
rigidus veli fuperior inaequaliter crenatus , aut irregulariter
undulatus eft , neque ultra eumdem cartilaginea fubftantia
extenditur. Ipfius vero membranae fub tenuiifimae pelliculae
fpecie conjundim ultra ilium ad lineam extenduntur , & prae
iurama pelluciditate , & tenuitate in animali ab aqua edudo
oculos
?.o8
oculos pene fugiunt , & fupra rigidam veil partem conci-
dunt ; fed facillime rurfus velo aquae immerfo confpiciendae
flint Tub fpecie flu&uantis , & mobiliflimae pelliculae. In re-
centi velo q %r lineae quaedam verfus balim adnotantur ,
quae fenfim , fenfimque adfcendendo verfus fuperiora dilpa-
reut , & evanefcunt . Nullas vero , ut in Velella , lineas
juxta veli longitudinem arcuatas , '& ipfius limbo fubparal-
lelas videre potuimus.
Exficcatum velum omnino pellucidum, bafi multo tenuius,
valdeque fragile fit ; nullumque amplius in ipfo linearum ve-
iligium confpici poteft.
Ubi interims veli latus incipit a convexa bafeos facie fi-
rms caerulefcens D A ex fufco notatur, qui verfus medium,
major eft; fenfim vero verfus utramque extremitatem juxta
D , & A evanefcit . Producitur ifte finus a fuperiori bafeos
membrana , quae , dum ex utraque parte continuatur , ut
in velum q £ r facefcat , hoc cavum fpatium intercipit eo
majus , quo centro C propius. Verticaliter quoque earum-
dem membranarum receffus per medium velum a centro fii-
perius continuatur. Et inde produ£ta verticalis cavkas C X
(Tab. VI. fig. 8.) verfus fummitatem ^ dirigitur , & in api-
cem fenfim extenuata paullo infra mediam veli ejufdem al-
titudinem inconfpicua fit .
In recenti animali caeruleo-rufefcens humor in memora-
tis cavis continetur , qui , quo bafi proprior , eo coloratior
eft. In majori etiam copia verfus centrum C reperitur. Ibi
correfpondet fuperiori portioni memoratae maculae , cum
qua communicare quidem videtur , licet rufefcens , & ge-
latinofa materia maculam efformans per finum ex arte aper-
tum fuperius ad X , debitamque deinde compreffionem di-
gito faCtam vix educi patiatur .
Sexdecim , & ultra conici canales fub fpecie totidem
arcuum caeruleorum utrumque bafeos fegmentum pinguunt;
horum fubduplum nuraerum tantummodo exhibuimus in
fis-
109
fg. 7. & 8 . , ut diftin&ius earumdem decur fus confpici pof-
fit . Major canalium inter fe diftantia, & amplitudo eft in
majore utriufque fegmenti portione , minor in minore re-
peritur. Ultra bafeos diametrum p C r a veli origineDCA
majores prodeunt , deinde in arcus margini fubparallelos fle-
ftuntur , poftea fenfim minuuntur , & fibi viciniores fafti y
reftiorefque in oppofitam , feu acutiorem fegmenti ejufdem
partem invifibili fine terminantur. Canalium propterea unius
fegmenti diftin&a , & major extremitas proxima quidem eft
juxta ACD tenuiffimis extremis canaliculorum fegmenti alterius;
at per interpofitum velum ita feparatur , ut nulla immediata
cum alterius medietatis canalibus ejufdem communicatio con-
fpiciatur. Neque etiam fatis diftin&e utrum ibi extrema cana-
lium bafeos definant , aut continuentur in veli canales cer-
nere potui ; etiamfi armato oculo turn recens , turn ficca-
tum animal examinaretur . Certum tamen eft in eamdem
velo & bafi communem portionem , venire arcus bafeos ar-
tenuatos , a qua tenuiflimae cerulefcentes lineae per velum
diftributae difcedunt. Bafeos canales in majori extremo di-
gitis iplis diftinguuntur ; quemadmodum etiam major ejuf-
dem partis inde facia craffities ipfis percipitur. Spatium ca-
nalibus memoratis interpofitum eft plus , minufve amplum ,
prout major eft , vel minor eorumdem inter fe diftantia .
Maximum propterea in majori cujufque fegmenti bafeos ex-
tremo , minimum in extremo minori , ubi canaliculorum di-
ftinftio ne armatis quidem oculis difcerni poteft. In exfic-
cato animali non difficile canales iidem ab ejufdem mem-
branis poffunt feparari , & albidi apparent , minores , fibi-
que magis proximi , licet fatis adhuc diftin&i.
A balis macula ante defcripta fub inferiori membrana mol-
les , & caeruleae quaedam lineae , quafi radii verfus peri-
phaeriam , undique dimiituntur arcus modo defcriptos rre-
quenter interfecantes,
Eaedem
no
Eaedem bafeos membranae ultra ipfum cartilagineum ba-
feos marginem circumquaque ad duas fere lineas conjun&im
extenduntur , & in membranam laete caeruleo humore ma-
dentem , & mobilem continuantur. Haec membrana ex utriuf-
que, fuperioris nempe, & inferioris membranae bafeos unio-
ne fa&a , mobilis eft, libere in aqua fluftuans , vere tenta-
cularis , integro margine , leviter tantum repando , & quafi
a plicis undulato praedita. Per ipfam intenfe caeruleae quae-
dam re&ae lineae notantur , quae dire&ionem fequuntur
radiatarum bafeos linearum , & plicas memoratas fere di-
ftinguunt. Valde tenera , & lubrica ell ifta membrana , &
plurimo caeruleo fmegmate infetta ; neque exficcari facile
patitar, fed cbartis tota adhaerefcit, eafque caeruleo colore
pingit ; quod ft recens contreftetur in caeruleum mucum ,
quo maxirae abundat , fere tota facefcit. Dum fubter bafim
reflexa eft eandem caeruleam uniformiter reddit.
Totum animal valde lubrico mucofo humore madej. Nul-
lam autem omnino oris , aut alterius partis apertionem ,
etiamfi microfcopium adhibuerimus , in externis ejus parti-
tibus obfervare potuimus.
Appdit haec Armeniftari fpecies ad extimam meridiona-
lem Collis S. Aibani Niceaeniis ripam maritimam poft pro-
cellam flantibus Auftris addu&a. Illius novitate perculfus ob-
tuli Pifcatoribus , ut intelligerem num alias illud adnotaffent.
Ignotam fibi illius nomen efle , remque raro vifam refpon-
derant j fed cognofcere fimilem aliam edulem, quam vernali
tempore copiofe poft procellas expifcantur , venientem , ut
ip»i ajant ., ex Africae litoribus , atque ex eorum indicatio-
nibus comprehendi eos probabiliter iatelligere Velellam
Au&orum.
Non inquirara modo in oeconomiam , qua elegamiffimum
animal vitarn , •& fpeciem confervat. Commentitia cnim plu-
rima forent afterenda , cum vera ignorentur. Num per ap-
tae fubitanuae abfoptionem ab inconlpicuis poris fa&am ,
aut
21 I
aut per totam membranarum exrenfionem , aut per tenta-
cularem folam membranam diftributis nutricatum fumat i
num ita abforptus humor per canales , & finus memoratos
peculiari difpolitione fuos ad animalis centrum adducatur ,
ramquam ad praecipuam ejus partem oblonga ilia macula
inferius apparente notatam , ardua eft inveftigatio ; quoniam
nullum os confpicere , nulla etiam vifcera detegere licuit ;
multoque minus penetrare , quonam arnficio hujufce ani-
malis multiplicatio fiat .
Ad nullum cognitorum generum novam hanc fpeciem
reduci pofle , & ideo peculiarem generis conftitutionem
iibi promereri intelliget quicumque cum allata defcriptio-
ne ea comparabit , quae Zoologi , & fpeciatim Celeberri-
mus Linnaeus ad hanc rem proximius (pectantia tradiderunt.
Animal , cum quo noftrum magis convenit , eft VeUUa au-
£torum , quod a Celeberrimo Viro ad Medufae genus re-
rertur , fed utrumque feapie a Medufis videtur feparan-
dum , & ideo fortaffe idem perfpicaciffimus Linnaeus Me-
dufae fpeciebus ultimo adjecit , quod minus, quam reliquas
fpecies cum Medufae genere convenire intelligent. Si enim
tributum a Veteribus Urticae nomen ab urticationis fenfu,
quern cuti imprimit , & commeftibilitas excipiantur , quae
reliquis Urticis marinis ad Medufam pertinentibus commu-
nia funt , vix alia furhciens ratio datur , qua ad eaidcm
jure amandari queat. Neque enim reliquis Medufis timilis
partium ftruftura competit , neque natura cartilaginea , aut
faitem ad cartilagineam proxime accedens coniiftentia per
totum corpus diffufa in illis confpicitur : tandem nullum os
inferius centrale , aut in Velella defcripferunt Au£tores,aut
in noltris obfervare potuimus. Quod tamen neceflario con-
fpici deberet , & demonftrari , ut , immutato Linnaeani ge-
neris careftere , ad Medufas illae reduci portent.
Et £\ne novi generis conftruendi nece/fitatem minime
praeterviiit, aut iiluit fed aperte propofuit CI. C. Marcus Car-
BURIUS
an
rius (a) peculiarem Velellae fabricam admiratus. Nihilo ta-
men minus pott ipfum multiplici fcientia Clarus Johan. Ba-
ptila Bohadschius (b) folum urticationis fenfum notis a
itru&ura petiris antepofuiiTe , & tanquam argumentum fuf-
ficiens aifuiiilhTe videtur, propter quod aliis Urticis adjun-
gi queat ; quamquam Medufis reliquis iimilem ltru&uram ,
iiquidem de eadem revera loquitur, Velellae tribuat. Ve-
rum neque Linnaeanis cara£teribus , ut oilendimus, ilia ap-
tatur , neque communiifima ilia figura cylindrica , vel or-
biculata , quam in omnibus Medulae fpeciebus ineiTe dicit
(c) , neque demum interna fabrica ibidem addu&a a CI.
Viro in noilra fpecie, aut in Velella obfervantur : hinc du-
bitandi fortalTe locus aliquis fuperelt utrum Vir dottiflimus
idem animalis genus prae oculis habuerit , quod laudatus
Carburius delcripfu, an potius aliud. Eo vel magis, quod
dicat a fe vili animalis corpus adeo tenerum fuifle , ut in
auram avolaverit , 6k in fpiritn vini diffluxerit . Noilrum
vero , & Carburianum Armeniftari praecipue vero ejufdem
b.tlis facile exliccari , atque exficcata confervari potelt. Prae-
terea ab ip(b praefertim velo nota certa charafteriftica novi
generis defumi poffe nobis videtur , quae duas allatas fpe-
cies fab. ica in multis non valde diffimiles , licet fpecihca
differentia fatis dilfinclas compleftetur . Prima igitur erit
Velella a Fe»n. Imperato id) , Fab. Columna (e) , novif-
fimque a citato Carburio eleganter delcripta , & delineata.
Altera vero tentacuiorum integritate praecipue dillinguenda
fpecies ilia erit , quam hie pofuimus.
Tandem quod pertinet ad nominis rationem non plane
incongruum duxi Armeniftari nomen retinere : quia pri-
mura
fi) Lettera fopra nn Infjtto marino &c. Nuova raccolta d'Opufcoli fcientifici,
c filofofici Tom. y Vcnqia MDCCU'U.
(i) De q.ubufdam animalibus marinis , eorumqiie proprietatibus &c. liber.
Drtfdae 17J1. pag. i~/,. (r,
aequalia , earumque ope celerrime oblique per aquas faltabat
animal , manente corporis parte femper antrorfum dire3a. In
noltra fpecie coccineus color elt , fubllantia autem corpo-
ris non adeo tenera , fed firmior , & forti cuticula obdu-
aa,
( f) De pifcihus Hi. 7. cap. 17. pag. 530.
(g) AiUitil. lit. jo. pag. 340. 341.
( h , Pa* 3«. Tat. ir. fig, 7.
21 8
fta. Tandem noftrum animal locali motu fe'ra deftinirunt ,
nequc per aquas faltare pofle videtur. Primo quidem quod
aquis innatans numquam videri potuerit , fed Temper faxo
poll mortem tenaciter adlwerens ; deinde quod quatuor
coftis a CI. Gronovio memoratis plane careat.
Denique monere juvat nullam (pecierum , quas CI. Ja-
nus Plancus in egregio fuo libro de minus notis &c. ha-
bet , ad lunc noilra.n pertinere . Cum enim dubitarem
utrum pro h'ijus fynonimo fumi poflet globoiior Urticae
fpecies , quam Vir doctiflimus ibidem (i) memorat; dubii
folutionem ab Aucloie petii per epitolam a CI. fui Amico,
meique Praeceptore amantiffimo D. Alltonio ipli datam.
Vir autem praeitantiflimus , cui cum defcriptione piftura
tranfmiifa tuit , refpondit novam fibi Ipeciem videri , aut
ialtem minu* notam , & defcriptam , atque ab iis , quas
ipfe in laudato libro defcripiit , revera dillinguendam .
Species altera.
Si in ulla Urticae marinae fpecie certe in ea , quae ci-
nerea dicitur ab Aucroribus , muhiplices varietates occur-
runt. Aliae enim ex cinereo ad album, aliae ad grifeum ,
aliae ad caeruleum, purpureumque vergunt ; nonnuliae etiam
ex grifeo , purpureo , vel etiam viridi colore diveriimoJe
variegatae reperiuntur . Quae tamen iingulae , cum fola
colorum inconftantia ludant , diitin&am fpeciem non vi-
dentur conltituere , nili peculiaris alia nota ex partium di-
ve f.t ftruftura petita accedat , qua diftingui mereantur .
Reliquis propterea miflis hujus generis fpeciebus , quae in
Niceenti mari copiofe reperiuntur, nonnulla de rariori una
fpecie memorem , quam exliibet fig. 6. & 7. Tab. VII.
ent:jue.
Mcdu-
(0 P'S- 43-
2 IC)
Medufa orhiculaia , utrln-»-«, & partant 1' element Y fera poufle par la
force T ( a -h da) fuivant la direction contraire X Y.
Done puifque 1' element Y eft follicite par ces deux for-
ces enfemble , il fera poufle fuivant la direction X Y par
la force = T du .
XIV. Tant que nous envifageons la courbe AY B , le
terns t demeure le meme : done puifque 1' angle XT Y
dy
zss u eft infiniment petit , nous aurons a =( — ),&
partant du = d x ( -~x ) , de forte que 1' element en
Y eft follicite dans le fens XY par la force motrice
Tdx ( -j^ ). Or le poids de la partie de la corde AX
ou A Y a 6t6 fuppofe = p , d' oil le poids de l'element
en queftion fera = dp , qui exprime en meme terns fa
made ; done la force acceleratrice dans le fens X Y fera
- ( ~ ) , oil puiique p eit une tonction de x
Tdx
= -j — ( ~% ) , ou puifque p eft une fondtion de x con
nue par 1' epaiffeur variable de la corde , la formule
aura audi une valeur connue. Si la corde avoit partout la
»eme epaiffeur , le poids de toute la longueur AB = «
8
aiant ete pofe = P , nous aurions a : P = x : p , &
partant — == — , ou bien la force accderatrice feroit
_ Ta ddy
— T ^d7J'
XV. Aiant trouve la force acceleratrice *de Telement Y
dans le fens Y Y = — , — ( ■—. ). Nous n'avons qu'a con-
dp dxl ^
fiderer le inouvement de ce meme dement. Or aiant
deja remarque (XI.) que la viteffe de cet dement dans
le fens X Y eft = ( -j- ) (on acceleration dans le meme
a t
fens fera = ( -— ) , qui doit done etre proportionelle
a la force acceleratrice. Mais pour obtenir une equation
determined puifque nous exprimons le terns t en fecondes,
& la viteffe par Fefpace parcouru dans une feconde, nous
n' avons qu'a introduire la hauteur > d' oil la gravite fait
tomber les corps darts une feconde. Soit done cette hau-
teur = g , & la comparaifon de la force acceleratrice
avec 1' acceleration nous fournit cette equation :
%Tg dx ddy ddy
~df~ ( 7? } ~" ( ~d? }*
XVI. Voila done une equation differentielle du fecond
degre de la refolution de laquelle depend la determina-
tion du mouvement de la corde , & tout revient main-
tenant a chercher , quelle fonftion des deux variables x
& t doit etre l'appliquee y , afm qu'dle fausfafle non feu-
lement a cette equation , mais qu'elle renferme aufli les
conditions marquees ci-deffus (XII.). Or j'obferve ici que
iTedx
— y — eft une certaine fon£tk>n de la feule variable x ,
dp
fans que le terns t y foit compris t & que cette fon£Hon
depend de l'^paiffeur de la corde. Mais il encore impoifible
de
9
de r^foudre cette equation en general , quelle que foit la
variabilite de F epauTeur de ia corde , puilqu'ici je n' ai
pu decouvrir que certains cas , dont le nombre eft bien
infini , oil Ia refolution reuflit , mais a preTent je me bor-
nerai uniquement aux cordes , dont repaiffeur eft par tout
la meme , parceque c' eft le cas , auquel prefque tous ceux
qui ont traite cette queftion fe font attaches.
Refolution analitique de la queflion pour le cas,
oil la corde a partout la mane epaijjeur.
XVII. Puifque la corde a partout la meme epauTeur,
a caufe de d x : dp = a: P , notre equation fera
oil a marque lu longueur de la corde , P foil poids , &
T la force dont elle eft tendue , la valeur de g etant
15 -f- pieds de Rhinj la quantite — ~— eft done conftante,
& exprime une certaine furface, & partant pour abreger
je poferai — = — = c c , pour avoir a reToudre cette
equat
ion
.ddy ddy
11 eft aue de trouver une infinite des fonftions des deux
variables x & t , qui etant fubftituees au lieu de y fatil-
font a cette equation , & qui rempliflent en meme tems
la condition qu'il devienne y = o , (bit qu'on pofe = o ,
ou x = a .
XVIII. Pour en donner un exemple fuppofons y =
* fin. m x cof. n t , & puifque
( — ) =s= «.m cof. mx cof. nt , ( -~ ) = — * otjb fin. mx cof «e
w ~X ft X
(--) = — *n fin. wx fin. /2f , ( -^. ) = — * n n fin. mx cof nt
l1 equation trouvee exige quil foit mmcc = tin , ou
tz = mc; de forte que y ■= a fin. mx cof. met, la-
quelle valeur evanouit deja au cas ou x = o , mais pour
qu'eile evanouifle auffi au cas ou x = a , il faut prendre
ma = iff , ou ir marque la peripheric d'un cercle, dont
le diametre = i , & i un nombre entier quelconque.
Voila done une folution particuliere de notre queltion ren-
fermee dans cette equation :
r i^x r i^ct
y =s ec lin — • col. .
"* a a
XIX. Puifquon pent prendre pour i un nombre entier
quelconque , cette formule fournit une infinite de formules
dont non feulement chacune donne une valeur convenable
a y , mais aufli deux ou plufieurs jointes enfemble. D'oii
1' on tire une folution beaucoup plus generale renfermee
dans cette expreffion qu'on peut continuer a Tinfini:
y = * fin. — cof. H /3 fin. cof. h- &c.
J a a a a
fir c t i *" € t
& puifqu'en ecrivant fin. — — au lieu de cof. on fa-
tisfait egalement aux conditions prelcrites , on peut don-
ner cette folution encore plus generale:
fx Vet _ - \* X - z*ct „
y = u fin. — cof. h- R fin. cof. 1- &c.
a a a a
,r *X - "*Ct ... 2T* -iTf/ „
•+■ a. hn. — fin. h Q fin. cof — H &c.
a a a *
XX. Voyons maintenant , quel devroit etre . l'etat initial
de la corde , pour que cette formule exprimat le mou-
vement dont la corde fera agit^e dans la fuite. Pour cet
effet nous n' avons qu'a pofer t = o , & puifque alors
1 I
y devient egale a 1' appliquee s dans la figure initiale
AS B (fig. i.) nous aurons* pour cette courbe ['equation
qui luit :
jc = oc fin. — -h Q hn. J- y fin. — H &c.
<* a ' a
Or pour les vitefles u qui doivent etre imprimecs a tous.
les elemens de la corde , puifque u = — ( — ), en pofant t
:= o; nous aurons
* c , . rx i^c %■*■ x r » x , r 1 * x g
-. * fin. — |3 fin. - y fin. Sec.
a a a a a ' a
Done reciproquement toutes les fois qu'on aura imprime
a la corde une telle figure & un tel mouvementT la va-
leur de y donnee ci-deflus nous decouvrira pour tout terns
fuivant tant la figure , que le mouvement de la corde.
XXI. Comme les valeurs de s & de u eontiennent une
infinite de termes , il femble qu'elles renferment tous les
cas pofiibles , de forte que quelque figure 6k quelque
mouvement , qu'on ait imprime a la corde au commen-
cement , ces deux valeurs y puiflent etre ajuftees. Car en
effet on peut toujours determiner enforte les coeficiens
«, ft, y Stc & *' , (3', y &cc. que l'une & Tautre des
courbes A S B &: AV B parte par une infinite de points
donnes. Cependant quelque convainquant que paroifle cet
argument , je ne faurois envifager cette fblution , que com-
me trei-particuliere ; & cela par la meme raifon , qu'on
regarderoit r'ort-mal a propos toutes les courbes pofiibles
comme renfermees dans cette equation parabolique y = A
-f- B x -+■ C xz -h D x* •+■ &c. quoi qu'on puiffe faire
pafler cette courbe par une infinite de points donnes.
XXII. Je fouriens done que cette folution quelque ge-
nerate qu'elle paroifle , n'eit que tres-particuliere , & qu'elle
n' epviife point V etendue. de 1' Equation difFdremielle c!«
bij
II
fecond degre c c ( -J ) = ( -tj, ) qui renferme la folution
complete de notre queftion. Pour nous aflurer entierement
de cette infuffiiance, on n'a qua confiderer le cas ou Ton
n'auroit ebranle au commencement qu'une partie de la cor-
de comme A X , le refte B X aiant demeure dans un
repos parfait. Car pofant cette partie ebranlee = b, il fau-
droit determiner en forte les expreflions trouvees pour s &
u , que prenant x>b elles devinfent = o , & cela pour
toutes les valeurs poflibles entre b & a , ce qui eft mani-
feftement impoflible. Ainfi le mouvement , que la corde
recevra dans ce cas, ne fauroit jamais etre reprefentee par
1' expreflion donnee ci-deffus pour 1' applique y .
Integration complete de I' equation.
My ddy
cc fcra? = (77^
XXIII. Mais pourquoi vodroit-on s arreter a une lolu-
tion particuliere & exiger la determination d'une infinite
de coeficiens , tandis qu'on eft en etat d' afligner l'inte'gra-
le complete de cette equation , qui doit neceflairement
renfermer tous les cas poflibles, &c qu'on peur meme aife-
ment appliquer a toutes les figures & a tous les mou-
vemens qu'on aura imprimes au commencement a la cor-
de. Je me tiendrai done uniquement a 1' integrate comple-
te de cette equation differentio - differenrielle qu'on trouve
exprimee, de cette maniere
y = r : (* + a) -+- A: (x — a),
oil T ■ (x — c t) marque une fonclion quelconque de la
quantity x -+• c t, & A : (x — c t) une fonelion aufli quel-
conque de la quantite x — c t . Done puifque cette ex-
*3
predion renferme deux fonctions abfolument arbitraircs „
c' ell une marque certaine qu'elle eft 1' integrate complete
de notre equation differenuo-differentielle.
XXIV. Pour taire voir comment cette exprefllon fatis-
fait a la queftion , on n'a qua en faire la fubftitution ;
pour cet effet je marqucrai le differentiel d' une telle fon-
£tion generale T : u par d u T': u; done ft nous pofons f
= 1~ : ( x ■+■ ex) nous aurons d f = ( d x -+- c d t)
dz
F : ( x -+■ c t ) , & partant ( -5- ) — V : (x •+- c x ) ,
dz
& ( — ) = c V : ( x -h c t ). De la notre expreflion four-
nira par la differentiation :
( /) = f: \x4-ct) 4- A: (x— «), (~ ) = cr': (x + cx)— c&: (x-ex)
( dJl ) = t":(x + cf) + A": (x-ex), (^) =eer": (x-t-cx) -+- cc A": (x-ex)
d' ou il eft evident , que c c ( ~£ ) devient egal a ( -j-, ) ,
tout comme la nature de notre queftion exige.
XXV. Puifque cette integrate conrientr deux fon&ions
abfolument arbitraires , il n' y a aucun doute qu'on ne les
puiffe prendre enforte , qu'elles conviennent a l'etat initial
auquel la corde aura ete reduite au commencement. On
n' a qua remarquer que la fbnclion Y : ( x ■+- c t) repre-
fente 1' appliquee d' une courbe quelconque , prenant l'.ab-
fcifle = x -+- c t , & que 1' autre fonclion A : (x — ex),
repreTente 1' appliquee d'une autre courbe quelconque, qui
repond a 1' abfeifle x — ex. Done au lieu de ces deux
fon&ions arbitraires on pent fubftituer deux courbes quel-
conques foit regulieres , ou comprifes dans quelques equa-
tions , foit irregulieres ou tracees a volonte fans qu'elles
foient attachees a quelque loi de continuite.
f4
XXVI. Comme la queftion elle meme renferme deja
deux courbes abfolument arbitraires, l'une ASB {fig. 2. )
qui eft la figure qu'on a donnee au commencement a la
corde, & l'autre AVB, qui eft 1' echelle des viteffes im-
primees a la corde au premier inftant du relachement ;
aucune folution ne fauroit etre complete , a moins qu'elle
ne tut applicable a ces deux courbes abfolument arbitrai-
res. Done puifque ces deux courbes tie font fujettes a au-
cune loi de continuite, il faut bien que la folution ne foit
fujette a aucune limitation a cet egard. Ainfi la nature de
la queftion elle meme nous donne deja a connoitre que la
folution , pour qu'elle foit complete , doit neceflairement
renfermer deux fon&ions abfolument arbitraires pour qu'on
en puifle faire V apjilication a toutes les circonftances de
la queftion.
XXVII. Cette reflexion eft d'autant plus importante, que
de telles folutions ont cte tout- a -fait inconnues jufqu'ici
dans l'Analife, & qu'on a cru meme, que le calcul n'etoit
applicable qu' a des quantites foumifes a la loi de cond-
nuite, ou comprifes dans quelque expreffion analitique. Ce
prejuge , s' il £ft permis de le nommer ainfi , a. ete fans
doute la caufe que ma folution generale des cordes vibran-
tes a paru fort fufpefte meme a des Geornetres du premier
ordre ; mais a prefent j'eipere que quand ils voudronc bien
pefer la nature de la queftion, ils conviendront avec moi,
que la folution ne fauroit etre moins generale , que celle
que j'ai donnee, & tous les pretendus inconveniens , dont
on a charge ma folution, ne tombent que fur les premie-
res limitations , auxquelles -en eft oblige de reftraindre la
queftion.
XXVIII. Mais rien ne fauroit mieux lever tous les dou-
tes , que l'applicauon de ma folution generale au mouvement
determine d'une corde , apres qu'on l'aura reduite au com-
mencement dans un etat determine quelconque. Car il faut
bien confiderer, qu'il ne s'agit pas id de determiner d'une
maniere vague les mouvemens dont une corde tendue ell
fufceptible , mais je fuppofe expreflement , qu'on ait force
au commencement la corde a une certaine figure donnce,
& qu'on lui ait imprime en meme terns un certain mou-
vement pareillement donne. Cet etat initial de la corde
etant done entierement determine, il faut bien que le mou-
vement fuivant le foit audi , & qu'il depende necefiairement
de toutes les conditions de l'etat initial. Je m'en vais done
examiner de quelle maniere les deux fon&ions arbitraires
de ma fblution doivent etre determinees , pour qu'elles re-
pondent a l'etat initial, auquelle la corde a ete reduite au
commencement.
Application de la folution generate a l'etat initial
de la corde.
XXIX. Aiant trouve pour 1' etat de la corde apres un
terns quelconque de t fecondes ecoule depuis le commen-
cement , cette Equation integrate complete.
y = r : (x •+• c t) ■+• A : (x ■+• c f }
qui exprime la figure que la corde aura alors , on en deduit
aifement la vitefle, que le point Y aura dans la direction
Y X {fig. 3 .) ; car puifqu'elle eft = — ( -J- ) nous aurons
-(^) = -cr':(x + cf) ■+- cA': (* — ct).
Maintenant nous n' avons qu'a pofer t = o pour avoir
Y itaz initial de la corde auquel nous avons vu, qu'il doit
devenir^ = j, & — (7^) = ", ouj&k font des fon-
ftions donn^es de x ; nous aurons done
s = T ; x ■+■ A; x & u = — e V ; x -+• c A'; x9
.6
& de ces deux equations il faut determiner la nature des
deux fon£tions indiquees par les fignes r & A , ou bien
des deux courbes dont les appliquees reprefentent ces fon-
ctions.
XXX. Pour cet effet multiplions la derniere equation
par d x , & en prenant 1' integrale nous aurons
J =s — 1 : x •+• A : xy
c
cette equation jointe a la premiere nous fournit
T:x=- — s fudx & A : x = — H fudx .
oil il fain remarquer que s marque 1' appliquee X S de
la courbe donnee A S B , qui repond a 1' abl'cifle x , &
que fudx exprime 1' aire A XV de 1' autre courbe audi
donnee AV B , qui convient a la meme abfciffe *-. D'oii
1' on comprend , que pour avoir les fonftions T: (x -+■ ct)
& A: (.v — ct) on n'a qua prendre au lieu de 1' ab-
fcifle x , dans les deux courbes donnees, ou x -+- ct pour
!a premiere , ou x — c t pour 1' autre tbn&ion.
XXXI. De la on tire d'abord la conltru6tion fuivante de
«otre queltion. Soit A S B {fig. 4. ) la figure a laquelle
a ete reduite la corde au commencement, AV B l'echelle
des vitefTes , dont les appliquees X V reprefentent les vi->
tefles que tous les points de la corde S ont recues au
commencement dans le fens S X. Cela pole apres le terns
ecoule = t , le point de la corde S fera parvenu en Y ■,
de forte que 1' intervalle X Y foit = I": (x ■+■ c t) -H
A : ( x — c t ) ; or nous venons de voir que r : x =
_L XS— - AXV & A:jc= -XS+- - AXV.
z if 1 i c
Done prenant de part & d' autre du point X les interval-
les XT = Xt = c t pour avoir les abfcifTes AT = x
•4- ct & Af=.x<— ct, nous aurons pour le lieu cherche'
Kl'ap-
l7
Y l'appliquee XY = - TN — -. ATU + ±tn+-
fL.^w ou bienZr=— (TiV-H t«> — -l\ ifffe
XXXII. Void done une conftru&ion bien fimple pour
determiner le lieu de chaque point de la corde apres un
tems quelconque de t fecondes ecoule depuis le commen-
cement , & cette conftruclion eft uniquement fondee fur
les deux courbes donnees A S B &: AVB, par lefquelles
T etat initial de la corde eft determine. On voit aufli que
cette conftruftion reuffit egalement bien, {bit que ces deux
courbes donnees loient renfermees dans quelque equation
analitique,. ou qu'elles foient tirees cTune maniere quelcon-
que fans qu aucune loi de continuite y ait lieu. II n'y a ici
abfolument rien , qui demande une expreffion analitique pour
la nature de ces deux courbes , & des qu'elles font tracees
leur route fuffit toute feule pour determiner le mouvement
tout entier de la corde , puifque fachant pour tout tems
les lieux de tous les points de la corde , on ne fauroit plus
rien defirer pour une partake connoiffance du mouvement.
Je ne reconnois ici d' autres limitations , que celles que
j' ai raportees au commencement , fans lefquelles netre fo-
lution ne lauroit avoir lieu.
XXXIII. Cette conftruction n' eft affujettie a aucun in-
convenient , tant que les points T ck t tombent entre les
termes de la corde A & B , mais quand ils tombent au
dela , ou ni 1' une , ni 1' autre courbe donnee ne fournit
plus des appliquees, on voit bien qu'il faut continuer l'une
& l'autre de ces courbes pour que cette conftruftion puif-
fe etre mife en pratique. D'oii refulte cette queftion bien
importante , felon quelle loi il faut continuer les deux cour-
bes donnees A S B & A V B au deli des tennes de Ii
corde A &c By afin que notre conftruttion nous decouvre
le vrai mouvement de la corde ; comme cette loi doit etre
c
commune a toutes les courbes donnees par 1' etat initial ,
fbit qu'elles foient continues ou difcontinues , je remarque
d'abord que cette loi ne fuiroit etre attachee a 1' equation
analitique qui exprimeroit peut-etre la nature d' une telle
courbe. Ainfi par exemple , fi Y une de ces courbes e^oit
tin arc de cercle , il feroit fort-mal a propos, fi Port vou-
loit continuer cet arc jufques a remplir un cercle tout entier.
XXXIV. Dans cette incertitude il faut s' en tenir uni-
quement a la Theorie , qui nous a conduit fi bien jufqu'ict
fans que nous aions befoin de nous livrer a des conjectu-
res. En effet naiant pas encore tenu compte de toutes les
eireonftances qui concourent a determiner le mouvement
de la corde , il ne faut pas etre furpris que la continua-
tion de ces courbes ne fbit pas encore decidee. Or nous
n' avons pas encore introduit dans le calcul cette circon-
ftance fort-eflentielle a la queftion , que la corde eft fixee
par ces deux bouts A &c B , de forte que l'un & 1' autre
de ces points demeure toujours en repos. Sans cette con-
dition la continuation de nos courbes feroit effe&ivement
indeterminee , & partant c'eft de la qu'il faut tirer la veri-
table loi que nous devons fuivre dans cette operation. Je
m'en vais done rechercher cette loi dans les Articles fuivans.
Continuation des deux courbes donnees four achever
noire conjlruclion.
XXXV. Puifque notre question renferme efTentiellement
cette condition , que les deux points A & B demeurent
toujours immobiles , la continuation des deux courbes ASB
& AVT doit etre telle , que fi nous en determinons pour
un terns quelconque les eloignemens de ces deux points a
F axe , ils fe trouvent conftamment = o; done fi nous
concevons le point X tranfporte ou en A , ou en B , il
faut que dans 1' un & 1' autre cas on ait toujours
l9
— (TN -h tn) — i- tTUu =
Z If
quelque grands ou perits qu'on prenne de part & d'autre lea
intervalies egaux XT = Xty qui foHt proportionels an
tems. C eft done cette circonftance ft effentielle a notre
queftion, qui nous montrera de quelle maniere il faut con-
tinuer les deux courbes donnees A S B & AV B au deli
de 1' etendue de la corde A B .
XXXVI. Comme cette expreflion quTon doit egaler a
zero depend des deux courbes donnees a la fois , j' obfer-
ve d' abord , que chaque partie doit evanoiiir feparement.
Car li au commencement la corde aiant etc reduite a la fi-
gure A S B avoit ete relachee fans lui imprimer du raou-
vement, la courbe AV B evanoiiiroit ou feroit confondue
avec 1' axe meme A B , & alors il s' agiroit de continuer
la feule courbe A SB, d'ou Ton tireroit TN-¥tn = o.
De la meme maniere, ft au commencement la corde avoit
ete laiflee dans ion etat naturel, & qu'on eut imprime a chacun
de fes points un certain mouvement repretente par la cour-
be AV B , de forte que 1' autre courbe A S B fut con-
fondue avec T axe A B : on n' auroit qua continuer la
feule courbe AVB , dont la continuation devroit etre telle,
qu'il fut t LU u = o r en prenant le point X ou en Ay
ou en B.
XXXVII. Cependant il n' eft pas abfblument necefTaire,
qu'on pofe feparemeut TN-htn = o,&c l'aire tTUu
= o , car on verra facilement que tout revient au meme, pour
vu qu'on faffe enfbrte que T N -+• tn tTUu eva-
noiiifTe, fans que chaque partie feparement fe reduife a rien.
Ainfi quoique la continuation de nos deux courbes foit in-
ddterminee en elle meme , 1' ufage que nous en ferons eft
neanfmoins determine^ & partant rien n'empeche que nous
ne continuions chacune a part, fans avoir egard a 1' autre,
ci)
■!•
& de la nous tirerons la methode la plus fimple pour la
pratique. Done puifque nous avons a remplir ces deux con-
ditions ,
i"TN-+-tn — o&L i" tTUu = o
la premiere determine la continuation de la courbe ASB
au dela du terme A , & nous fait voir , que 1* appliquee
t n doit etre egale a T N , mais pofee dans une fituation
contraire par rapport a 1' axe A B continue. Or la m&me
continuation doit aufli avoir lieu dans l'autre courbe AUB
afin que T aire tTUu foit reduite a rien.
XXXVIII. Soit done AB {fig. 5.) la corde dans fon
etat naturel , que nous fuppofons de la mime epaiflfeur par
tout, & nommant comme ci-deffus fa longueur AB = a,
fon poids = P , & fa tenfion = T , pofons pour abreger
c ss v7 — ~- , oil g marque la hauteur d'oit un corps tom-
be dans une feconde. Cela pofe foit ASB la figure , a Ia-
quelle la cord« a ete reduite au commencement, & AVB
I'echelle des vitefles qui lui ont ete imprimees au moment
du relachement , & pour determiner le mouvement que la
corde aura dans la fuite , il faut continuer les deux cour-
bes au dela de A enforte , que prenant les intervalles AX
& A x egaux entr'eux , il foit x s= X S & x u = XV.
D'oii Ton voit que les courbes continuees AsB' & AuB'
feront ^gales & femblables aux donnees AS B & AVB.
Par la meme raifon au dela du terme B il faut decrire
les courbes B / A & B u A egales & femblables aux
courbes B S A & B V A , mais dans une fituation con-
traire a 1' egard de 1' axe continue AB.
XXXIX. Par cette operation on pouflera la continuation
de nos courbes par les efpaces A B' & B A egaux a la
longueur de la corde A B. Aiant maintenant a droite du
point A les courbes ASB/ A & A V B u A , il faut
qu'on ait a gauche des courbes femblables & egales AsB'S'A"
21
& AaB'V'A' decrites de 1' autre cote de Paxe: & il
en eft encor de nieme au dela du terme B. D'ou il eft
Evident comment la continuation doit fe faire de part &
d' autre a 1' infini; on n' a qu'a prendre fur la continua-
tion de r axe les intervalles A B' , B' A', A" B" &c. &
B A , A B' , B'A" &c. egaux a la longueur de la corde
A B , &c decrire fur chacun de ces intervalles les deuv
courbes donnees A S B & AV B alternativemcnt au defliis
& au deflbus de 1' axe , comme 1'ordre des lettres A & B
le marque plus clairement qu'on ne le fauroit expliquer par
une longue defcription. Voila done nos deux courhes con-
rinuees a 1' infini , & cela conformement a la Theorie du
mouvement.
Determination de I' etat de la corde
pour chaque terns propofe.
XL. Pour determiner l'etat de la corde a un terns quel-
conque de t fecond.es {fig. 5 .) depuis le commencement , tout
revient a determiner le lieu oil fe trouvera alors chaque point
de la corde, e'eii-a-dire fa diftance de Taxe ou de l'etat na-
ture! de la corde AB. Confiderons done un point quel-
conque de la corde X, qui au commencement a ete en
5, & foit y la diftance a laquelle il fe trouvera a prefent
au deflus de 1' axe felon la figure. Pour cet effet qu'on
prenne fur Y axe de part & d' autre du point X les in-
tervalles XT = Xt = ct, & puifque P appliquee dans
ces deux points out une fttuation contraire a celle que nous
avons fuppofees ci-defliis , nous aurons en vertu du §. XXXI.
y = ( T N -+■ t n) • aire t TUu
2 2 1
en tant que cette aire tombe au deflbus de P axe.
XLI. Or pour avoir cette aire de P echelle des virefles
AV B continuee , qui eft comprife entre les appliquees
22
tu & TU, on voit qu'elle eft compolee de l'aire AVB
au deffous de l'axe , & des deux aires Atu & B T U au
deffus de 1' axe : d' oil nous aurons
y = -(TN-htn) -±- (AVB-Atu- BTU)
pour T eloignement du point X au deffus de 1' axe , d' ou
Ton comprend que (i la valeur de cette expreffion eft ne-
gative , le point X fe trouve alors au deffous ou de l'autre
cote de 1' axe. Comme ces deux courbes fe trouvent alter-
nativement an deffus & au deffous de 1' axe , il eft clair
qu'avec le tems le point X paffera tantot au deffus & tan-
tot au deffous de B axe , d' oil refultera un mouvement
d' ofcillation femblable a celui d' un pendule que je m' en
vais examiner plus foigneufement , puifque c^eft a cet arti-
cle auquel prefque tous ceux qui qnt traite cette matiere,
fe font attache principalement.
Confederations fur le mouvement de vibration
des cordes egalement epaijfes.
XLII. Cherchons d' abord Y etat de la corde apres le
tems t, qui donne XT = Xt = AB = a, de forte
que ce tems foit / = — = a V — — exprime en fecon-
des. Done puifque XT = AB & Xt = AB , nous
aurons BT = AX & At = B X. Prenons fur la eor-
de A B le point £ enforte que B £ = A X, pour avoir
BT = B £ 6k A t = A^ , & par la loi de continua-
tion nous aurons les appliquees T N = £ * &
Atu = A^a; de forte que AVB — Atu — BTU =■ de forte que ces. courbes fiuTent reduites
dans 1' efpace A B , alors la corde rendroit ou deux ou trois
fois plus de vibrations , que je viens de marquer, tout comme
fi ces courbes etoient des ligucs de Jinus. Je remarque en-
core , que fi les deux courbes ASB & AV B avoient
deux moities femblables entr'elles , ou que la ligne droite
tiree perpendiculairement par le milieu de la corde A B,
fut un diametre de ces deux courbes , alors toute la cor-
de parviendroit au meme inftant dans 1' etat nanirel ABy
de fbr,te que ce n' eft pas non plus une propriety , qui ne
convienne qu'aux feules lignes des Jinus.
Du mouvement cf une corde qui ri cjl cbranlee
que dans une partie.
XLV1I. De la U eft clair ,• que tant s' en faut que^ma
folution foit contraire a celles queM." Bernoulli & D'Alem-
bert ont donnees de cette queftion , quelle les comprend
plutot parfaitement avec cette feule circonftance , quelle
me paroit beaucoup plus generale. Si Ton me vouloit ob-
jefter , que P equation generale pour les lignes des Jinus
donnee ci-deffus §. XIX. renferme en fbi toutes les cour-
d
x6
bes po/Tiblcs, je crois que le cas que je rnen vais developper
detruira ce fentimcnt. Qubn n'ebranle d'abord que la partie
AD de la corde AB , en la reduifant a la figure AnD,
&: qu'on la relache fubitement fans, lui imprimer du mou-
vement, de forte que l'echelle des vitefles fe confonde par
rout avec l'axe pendant que 1' autre ligne ell compofee de
la courbe A n D, & de la droite DB, dont la continua-
tion formera au dela de A la courbe Ad, & de part &
d' autre du point A' les courbes AD', & A'd' egales a
A n D , & ainfi de fuite.
XLVUl. Dans ce cas il ne s'agit point proprement d'un
mouvement de vibration , mais on demande comment cet-
te agitation iniriale, eft fucceffivement repandue par toutc
la corde. Soit comme auparavant la longueur A B = a ,
le poids = P , la tenfion = T , & pour abreger c = V — p- ;
confiderons un point quelconque de la corde X, qui depuis
XD
Y ebranleme'nt reftera en repos pendant le terns = &
alors il commencera a etre agite pendant un tems =
apres quoi il fera encore en repos julqu'a ce que le tems
t multiplie par c atteigne la courbe d' A' D' , & ainfi de
fuite ; de forte que chaque partie de la corde fera mife al-
ternativement en mouvement & en repos. Des le commen-
cement on verra avancer l'agitation A n D jufqu'a 2?, d'oii
elle retournera julqu'en A , & ainfi de fuite , en faifant
chaque tour en meme tems? que la corde acheveroit une
ofciUation. Maintenant on m' accordera aifement que ce
mouvement ne fauroit en aucune maniere etre reprefente
par les lignes des fmus.
RECHERCHES'7
Sur le mouvement des conies inegalement
grofes.
ParM. EULER.
I. A iant examine dans le Memoire precedent le raou-
J\. vement des cordes egalement grofles , ) y ai don-
ne 1' equation generale pour le mouvement des eordes ,
dont la grofleur eft variable felon une loi quelconque , oil
il faut toujours fous - entendre que les agitations de la corde
font quafi infiniment petites. Soit done IK {fig. i.) une telle
corde quelconque tendue par la. force = T r & prenant
d'un point fixe / une portion indefinie IX = x, pofons
l' epaifleur en X = qq , enforte que qqdx exprime la
mafle & le poids de 1' element X x = d x , & partant
fiqdx la mafle & le poids de la portion I X = x ,
que j' avois nomme = p . Cela pole fi a un terns quel-
conque de t fecondes depuis une epoque fixe le point de
la corde X fe trouve en Y, nommant l'intervalle' XY =y,
le mouvement de la corde fera exprime par cette equation
qq K Jx> ' ~~ W/* ;'
oil g marque la hauteur , d' oil la gravite fait tomber le>
corps dans une feconde.
II. Puifque la tenfion T eft mefuree par un poidi, en le
prenant de la meme matiere dont eft faite la corde, nous
pouvons fubftituer fa mafle, ou Ion volume a fa place, de
forte que T fera une grandeur de trois dimenfions, & par-
1 Te , - .i TV
tant une de deux , que ie nommerai =/•/•,
qq ..■"•*- M
d'ou Ton voit que r fera une certaine fon&ion de x don-
dij
nee par la groffeur & la tenfion de la corde. Tout revient
„ ddy ddy
done a reloudre cette equation r r ( ~- ) s= ( ~ ), ou
1 v dx* v de"
a trouver quelle fon£Kon fera F appliquee y des deux va-
riables x & t . II faut done ehercher 1' integrate , & m&-
me 1' integrale complete de cette equation , qui exigeant
une double integration , 1' integrale no fauroit etre com-
plete a moins qu'elle ne renferme deux fon&ions arbitrages.
III. Or fur ce fujet je dois d'abord cette facheufe remar-
que , que tous mes efforts ont ete jufqu'ici inutiles pour
trouver en general 1' integrale complete de notre" Equation v
quelque fonction que foit la quantite rr de x, cependant
') ai trouve une infinite de cas , ou 1' integration reuflit ,
& partant oil 1' on peut determiner le mouvement de la
corde. II faut done ablblument borner nos recherches a de
certaines elpeces de cordes , dont la groffeur qq =
eft exprimee par de certaines fonftions de x . Car il arri-
ddy ddy ,
ve a notre equation rr (-7-;) — (7^) * Peu Pres *a
meme chofe qu'a l'equation dy -+-yy d x = Xdx pro-
pofee autrefois par le Comte Riccati , qu'elle n' eft inte-
grable qu'en de certains cas , & ces cas fuivent dans l'une
& 1' autre prefque la meme loi. II eft done bien impor-
tant de ehercher ees cas ou les loix de la groffeur varia-
ble , oil F on eft en etat de determiner le mouvement de
la corde.
IV. Comme dans le cas des cordes egalement groffes ,
ou rr. etoit une quantite conftante = c c. F integrale com-
plete a ete trouv^e y = T: (x -+- c t) -+- A : (x — cr)j
On comprend qu'en general toutes les fois que F integra-
tion reuflit , la forme de F integrale doit erre femblable ,
"& apres quelques effais j'ai trbuve" que dans ces cas Fin-
tegrale peut etre reprefentie fous cette forme : y =
19
PT: (fudx + i) •+- QT': (fudx-ht) -H RT" (fudx -+-x) +&c.
oil P, Q , i? &c. de meme que u font de certaines fon-
dions de la feule variable x . Enfuite puhque la quantite
x fe peut prendre aufli bien negativement que pofitivement,
pour completer 1' integrate on y doit enfuite ajouter encore
~ces termes :
Pd: (fudx - t) -+• Q A': (fudx - x) -4- R6!' (fudx-t) -t- &c.
3ui n'exigent done point une recherche particuliere. De la
eft clair que pour trouver des cas integrables , on n' a
qu'a poufler fucceffivement plus loin les -termes de cette
expreflion generate , ce qui me fournit le fujet des pro-
blemes fuivans.
■4.
Problems i.
V. Trouver les conditions de la fon£tion rr, pour que
1' integrate de notre equation rr ( ~- ) = ( •— ) ait cette
forme y =/T: {fudx H- x).
Solution.
Puifque P & u font des fonftions de la feule variable
x , prenons de cette forme les diffierentiels du premier degre
(^) = ^ T: (fudx^-t)^- PuT':( fudx-t) &
(^) = PT: (fudx -+- x), & dela paffons aux dif-
ferentiels du fecond degre: ( -£ ) = =~£ T:(fudx + t)
xudV ■+• P du
-*- Tx T':(fudx + 0 + PuuT": (fudx + t)
ddy
& ("77.) *= P?'- (fudx -h x). Maintenant faifons
3°
( ~ ) = — ( -~ ) , enforte que chaque efpace de fon-
ftions foit feparement reduite a zero , & nous aurons ces
trois egalites
ddF xudY + TJu . _ P
-^r = °> Tx = o, &/>«* = -,
dont la premiere donne P = ax -+- |8, la feconde PPu = A
ou u = — - , & la troifieme uu = — ou rr =
(a* ■+■ /?)*' rr
— -j- 1 — . Ainfi notre equation eft integrable dans le cas
r r = " ou la groffeur de la oorde devient q q
*Tg . AA n . „ n 0.
=s -7 ; — , & alors on aura P = * x -+• @ &:
r (ax-t-py'
C O R O L li I.
VI. Pofant * = o & |3 = 1 nous aurons le cas des
cordes ^galement groffes ou qq = iT g . A A , done
pofant la groffeur =ff, a caufe de AA= -y-» "" en
refulte rrs=^4, P si,&«a: . ■ _. ; deforteque
2 r,/r ddy
T integrate complete de cette equation — g- ( -r-; ) =
(g) rer,^ = r: (^'fl(^;»4
C O R O L L*
a.
VII. Si « n' eft pas zero il eft permis de pofer j8 = o
& * ass 1 , puifqu'on peut prendre le point / oil 1' on
3»
veut independamment des points A & B , oil 1' on veut
enfuite fixer la corde. Soit done la groffeur de la corde
en X = — = q q , & nous aurons i T g . A A = c* ,
done A = , /> = x , & k = — , par
— <■'
confequent fuixzss. — — — - .
C O R O L L. 3.
VIII. Done fi 1' epaifleur de la corde en Xeft jj
= — , la tenfion £tant = T , le mouvement de la cor-
de fera contenu dans cette Equation:
<• c'
y = xT: ( — — — t) -4- x A: ( . ~ ■+■«),
& on peut maintenant fixer la corde en tels deux points
A & B que 1' on veut.
S C H O L IE.
IX. Voila done d^ja une certaine efpece de cordes ,
dont on peut determiner le mouvement ; une telle corde
eft formee par la revolution d'une hyperbole Fab (Jig. 1.)
autour de fon afymtote / B , la nature de cette hyper-
b* b*
bole etant exprim^e par cette equation XQ = — y,== —
car alors la fe&ion de la corde au point X devient
= — ■ qui etant egale a q q = — , on aura c6 = ihr
&c c1 = hWx. Done fi nous exprimons la tenfion T par
le poids d' un cylindre fait de la mime matiere , dont le
demi diamgtre de la bafe eft = h & la hauteur = k ,
f* bh
on aura T = xhhk, & partant = — — 7. Puif-
que 1' epaiffeur de cette corde au point / devient infini-
ment grande , on comprend aiftment , que la partie de
la corde qu'on veut ebranlcr , A B , doit etre afses eloi-
gnee du point / , afin que la corde ne foit pas trop groffe.
Pr.qble.me 1.
X. Trouver les conditions de la fon&ion r r , ou bien
de la grofleur q q , pour que 1' integrate de notre equa-
tion (-r- ) = 4^- (-£) ait cette forme:
v dx* li^ «'
y s pi: (fudx + t) -+- qr . (fudx -+- 1).
Solution.
Puifque P, Q&w font des fon&ions de la feule varia-
ble * , en prenant les differentiels du fecond degre com-
me dans le Probleme precedent , & en omettant pour
abreger la quantite fudx -+- t apres les fignes de fon-
ftions r , T', I"", &c. nous aurons :
ddy. ddP_ iudP-Pdur,
ddQr/ ludQ-*- Qdu r,,
dx* dx *•
qu'il faut egaler a
d' oil nous tirons d' abord -— - = u u , & enfuite
xudQ + Qdu iudP-*-Fdu ddO - ddP
* dx dx% d x'
dont 1' integration fournit :
qq«
QQu = 4;PPu-hf^L = B & P =s *x + &.
Or /_J£ - -jfr-fjj, JQ, Scpmfque - . «,
nous aurons / — -—^- = 7 — * Q , de forte
que notre feconde equation fera : (ax -+- /3)1 ?* -H
(** .+. £)JQ _4
j- — a Q = B, ou bien a caufe de u = -q-q
par Ja premiere :
At *x-t- pyjx
q q -+-(*. r -+- |8)c/<2 — itQ^x = 5ix.
Pofons maintenant Q = (ctx -4- (Z) { , pour avoir
-+- (ax -+- $Y d i = B dx ,
d' ou nous tirons
— _ v &- r f
& de la nous aurons { determine par x ; enfuite aiant
Q = (AX + $)0 U= ^~, P = AX -+- 0, &
../ s=s iTguu, on verra fous quelle loi de la groiTeur
notre equation admet f integration.
C O R O L L. I.
XI. Arm que { puiffe aifement fe determiner par x , li-
mitons les cas enforte que B = o , & P» —
1 J d zz —« A.
— z*
— -j . Or alors il convient de diitinguex deux cas felon
que a = o ou non. Soit premiercment a = o & /3 = i ,
Ml
pour avoir x = e ~— , done £ = ^ 3 ^ ( <; — .v )
J'4
j A. n Q rTgjAA
C O R O L L.
z.
XII. Pofons pour ce cas e = o , & foit la grofleur
qq = ccy'
J t, A a ccv1^ lf*
— ; nous aurons done y A A = — — , &
x* zlg
cc
f — , & fudx T=
XX J
v' ^ = / ~ J done « = ■
i-2- , & Q = — . v _ , de forte que pour ce cas
Vilg ^ v o.Tg 7 ^ r
I' equation integrate fera
y = 1: ( ' ■_ h t ) 1 : (, = J- r )
A:(
Ik
; ^ ccx
O
C O R O L L. 3.
XIII. Pour Fautre cas polbns |8 = o & * = 1 pour
avoir
c ■+■ X
1 1 K * T- X ■ ,
T-+-T = ^ = -77-.done{=^
— * 3 ^(f - *)
<■ x
^l±
& enfuite Q = >/ ~T *x (c + «),« =
^ 9 A-4 (f-4-^)1 '
Pz=zx,8cqq = ■ „ ., r- . Soit done la eroffeur
pour avoir y' -4 = * - , done
H — $ ^ x»(c-*-xy
CC f
35
C O R O L L. 4.
XIV. Dans ce meme cas pofons c = «, de forte que
la groffeur de la corde foit qq = ff J — > & puifque
^ v^rg vzig at4
fudx = ' $ — , & 1' equation integrate fera
S c H o L 1 E.
XV. Prenant pour la groffeur de la corde cette forme
q q = nous avons deja decouvert quatre cas , qui
admettent la refolution , qui font n = o , n = 4 ,
4 8
rt= — , /z = — , & c' eft auffi dans ces memes cas
3 J
que 1' equation Riccatienne dy -+• yydx = — — eft
integrable : d' oil 1' on peut conclure , que les cas furvans
8 11 11 16 0 ~
n = — , n = — ,/j=t= — ,« = — &c. auront aulii
5 .5 7 7
la meme propriete, que le mouvemeiu de la corde pourra
alors etre determine. Mais le cas du Coroll. 3. n'eft pas
moins remarquable , ou la groffeur de la corde eft q q
== ff ^ ~T7 y J Pour k refolution duquel j'obferve que
fudx =* -}t*f* — = =*ltCtL±*} d'ou
J v'zTg V ex v^Jg V ex
eij
3*
1' on formera aifement l'equation integrate complete. Mais
notre resolution s'etend beaucoup plus loin; cTabord aiant
trouve le raport entre x & { par cette equation ^-.-
■B % u Z
== ^ — ——j , on aura P = a x -4- j8, Q = (
& it" = y xz * "*" ' , pour obtenir le m£me nombre de di-
menfions dans nos egalites , & puifque la premiere ell
remplie d' elle meme , les autres donneront
rudP -+- Pdu +^-= o,
ax
/?<*-+- (n -+• i)/z(3=0,
mdQ ■+■ Qdu -+- — r — = o,
dx
a (/!-+■ i)*j8-t-««j8-4-(2/2-+-z)(i/2-»-i)y=:0,
2 u d R -+- Rdu = o,
4 ( n -+- i ) et y -+- nay = o;
done j/i-+-4 = o,&:rtS5= :ordela premie-
I
J?
re nous tirons (3 = — = — 5*, & de la fecon-
de (3/2 -+- a ) ot /3 -+- i ( « -4- 1) (2 n -4- 1 ) y = o
il refulte v = — * * . Done fi u = a. x * ou bien
' 3
8
la grofleur de la corde qq = zT g &«. x ■ a caufe de
fudx = 5 et x ' , le mouvement de la corde fera ex-
prime par cette equation
y =s= F: (5*x 5 -4-r) — 5*x » I": (5** s -4- t)
1? — — —
•+■ — ««t,v 5 Y": (>,*x 5 Hht) -4- A: (jotjf s — t)
— — 2s — —
~ 5*x s A':(5«x s — 0 + — *** s A": ( 5ct.v s — f)»
f — f —
ou pofant qq ■= ff ( — ) sil faut prendre «t = ■ _■■ / \
a° Soit /» r= x & « = *x", pofons Q = 0 *"•*"* »
& R =s ]/ a;' " + ! , & nos egaiites donneront
2K
trouver 1' equation generate , qui en determine le mou-
vement.
Solution.
ft -«
Prenons assctx"-1, & il faut qu'il foit « = — — — ;
d' oil nous tirons /"« d x as — x\ Pofons maintenant pour
notre equation integrate cherchee
y = pr:(-/+t)+ Qr': ( — x" -4- o
-«" -4-r) -4- OH: (-
* * V f» 1—/// / *
i?r": (-x» + t)+ ST"''- ( - X" -4- f ) -+- &C.
-*- PA: (-x» — r) -+- OA'( — x" — O
+ *A": ( - x» — 1 ) ■+■ J A"; ( - x' — 0 ■+• &o
4°
& foit P = xm, Q=Bxm + ", i2 = Cxm+ ", 5=ZV + ■■ &c.
ou il faut remarquer que 1' expofant m doit etre ou = o,
ou = i , arm que — — = o . Cela pofe nos egalites don-
neront comme il fuit:
in n i ddQ.
xudP -+• P du -\ r^= sss o
ax
im=o
jo r j ^r
1 H (I J + i (J .V -+- ; = O
ax
2 (m-J-3«) otZ> ■+- (« — 1) aD ■+- (;H-t-4n)(«-f-4« — 0 E = o,
d' oil nous tirons done nm = o & fi m = 1
*( 2OT
0
5 = —
«B ( iw+ 3« — 1)
(»»-»- »)(*« -+-» — 1 )'
C =
D=—
£ =
(/»-(- 2 />){;»■+■ 2» — 1)
«C(im -+->;» — 1 1)
(wz-»-3») (m-h$n — 1) '
"D ( im -t-yn - — 1 )
(w-t-4») (»»-»-4» — 1 )
*0 — Q.|g_ "O-+-1 ).
£> = —
£= —
w (w — I )
*B(3»— 1)_
2»(2» 1)
3»(3»— 1)'
aD{jn — r)_
4»(4» — 1)
i £= —
£>= —
w (.»-»- 1 )
"B(3»-i-i)>
2»(»-4- l)
4» (4»h-i)'
Conhderons feparement les deux cas ouw = o8cot=i.
1" CAS OU m = O , ET P = 1 .
Dans ce cas nous voions que notre expre/lion devient fi-
nie toutes les fois que n eft une telle fraction — oil X eft
un nombre impair, Pofons done n mm — pour avoir
£ =
4i
,x(*-i) _ _
^~ i(x-i) — **
_ x«*(x — 3) _ x» (x- 1)(?,- 3>
L — ~" " i(x-i) ~~ ~*~ i-2(x-i)(x-a)*'
r>- __ x«C(x — 5) ' x'(x-i)(x-3)(x-;) •
U—— ?(x-3) — i-a-3(x-i)(x-a)(x-3)a
v — *>*D^-7\ x«(x-i)^-3)(x-5)(x-7) +
4(^-4) ~~ fi-3-4(^-iK^-a)(x-3)(x-4).*
tVc. &c.
Je n' ai pas ici efface Ies fa&eurs qui fe detruifent dans
les numerateurs & denominateurs r puifque toutes les fois
qu'un numerateur evanouit , non feulement le coeficient
qui lui repond , mais auffi. tous les iuivans peuvent etre
negliges. Voici done les cas qui en refulteni,.
i° Si >. = r , n = i ; q q =ff, ct = ^ ,/Wx = tfXj
i»=i,^=o,i2==o&c;
— * 2 — '
jf« = i , Q = i- • — • cex ', £ = o ,
li *l*T, 5=o &c.
43
4.siK=7,„=j.iyf=jf(i:) ", « = v^r/:'.
/«»-i)(\ — 3>(\-5)(k~7) fr -
Soit maintenant X = z jic -+■ i , ou bien la grofTeur de
4f*-*-4
la corde ^ =Jf ( p- ) - . Qu'on prenne |3 = ^^A-
i
i
2<* -M
/ , & nous aurons fudx = — x» = — ■ Qx
J n
Or les co^ficiens P , Q , R , £ &c. fe trouveront deter-
mines de cette maniere
44
P = X
it . JL
aft — i
K = r • • x
%n — 1
s __ 1^(1^-0(^-4) & ■£*+*
l^(l/A— 0(lfA— l) 113
aft — j
r « ^(^-0(^-4X^-6) g , /"■*•» &c<
ijw(iJi*-0(2jW-i)(1^-3) ii'3-4
C O R 'o L L. I .
XVIII, Voions quelles valeurs obtiendront les coeficiens
B , C , D &c. dans l'un & l'autre de nos deux cas , &
d'abord au premier ouwz=o & « — — , nous aurons
*=i
5 =
i
o
I
H8
c =
o
o
Z> =
o
0
£ =
0
o
.F =
0
o
G =
o
o
X=3
X=5
i
-*-— ff
K = 7
i
- |8
2
ff
~R*
A '
X ±= 9
X = 1 1 x —5 13
i
1
1
- 0
~ <3
-0
f~f
"+f ^
*:"£>
i
ii ^
i
— 2- IB-
—Iff
33
-+-— (3*
99
0
— i-|B'
-f*
0
945
0
495
10395
C O R O L L. Z'.
4*
XIX. Or pour 1' autre cas ou m = i & n = — — =s=
ces coeficiens auront les valeurs fuivantes ;
2|U-+- I
K=i
\=3
X=5
£ =
X
o
X
0
X
0
c =
o
o
7*
z> =
o
0
0
£:=
o
o
o
F =
o
0
o
G =
o
o
o
/3
o
K = 9
x
3 5 7
o
\ = n
X
(2
3 7 9
i
3-5-7 9
o
#
\= i}
a,.
jii
3 9-n
3
-13'
3 5-9-n
i
35 79 ii
^
qui font les rnemes que les precedentes.
Probleme 5.
XX. La grofleur de la corde etant exprimee par cette
formule q q = — , ou x eft P iutervalle I X ( fig. i . ) ,
& q q la grofleur au point X. determiner le mouvement
de la corde fixee dans les deux points A & B , de forte
que I A — a, &c I B — b , Id tenfion etant = T .
Solution.
Cette corde apartient au fecond cas du Probleme pre-
cedent , en pofant p =s o , d' ou . 1' on doit prendre
48
£ = ■/_ ', & piiifque fudx — , 1' Equation
pour le mouvement fera
d' oil 1' on tire la vitefTe du point Y dans le fens Y X ,
-<£>=*n-*^-
Pour reprefenter ces. fonftions qu'on tire; un autre axe ki
{fig- 3. ) fur lequel on prenne kx = — , £a = — , &
k h s= — , de forte qu'ici les points a &c b respondent aux
deux termes A & B oil la corde eft fixee. Quon decri-
ve fur 1' elpace a b les deux courbes m A n & |i* T > , de
forte que 1' appliquee de celle-la x A reprefente la fon*
6tion A : — , &: Tappliquee de celle-ci x T negativement
la fonftion T : — , pour rabfcifle kx == — . Ces deux
courbes font arbitraires , pourvu qu'elles aient certaines
proprietes exigees par la condition , que les deux points
de la corde A & B demeurent immobiles. Pour connoitre
ces proprietes coniiderons 1' etat initial de la corde r oil
le terns t = o , & alors aiant
XY=j=x (*-*F), &(£> = * (A':-f + V:{)
©n voit que tranfportant le point X en A ou B, ou bien
x en a & b , il faut qu'il foit « ju =• a« & , &» sssb/i.
Outre cela pour que les vitefles en A & i? evanoiiifTent
aufli , il eft neceuaire que les tangentes de ces deux cour-
bes tant en m & fx , qu'en /z & » foient paralelles entr'elles.
En obfervant ees conditions la figure de ces deux cour-
bes m A n & ri f » eft arbitxaire , & ton les peut toujoute
47
decrire enforte , qu'il en refulte 1' etat initial , qui aura
ete imprime a la corde au commencement. Enfuite pour
connoitre l'dtat de la corde aptes le terns ecoule' s=s r ,
on n' a qu'a prendre du point x les intervaUes xT 8c
x t = t , pour avoir kT = — -*- r & £ t s= — — 1 1
& partant les appliquees TU = A: ( -^ -t- t ) & r« =
— T : (- — t) , d' oil 1' on aura 1' ecart du point X de
X
V axe dans cet inftant X Y =a y = x ( TU — t u) =.
IX (T U — tu) [figg. i. & j.]. Mais quand les points
T & t tombent au dela des termes a & b , il faut con-
tinuer la courbe n A m au dela de a , & la courbe (j.Vf
au dela de b, enforte que prenant le point x ou en a.,
ou en b , il y ait roujours T U -=z r k , d'oii Ton emend
que la partie continuee mn doit etre femblable a la cour-
be fi v y & la partie » p a la courbe /z m. Done prenant
de part & d'autre les intervaUes ab' , &V See. £a', ab"tkc.
egaux a T elpace a b , les parties vers la droite nm , ra«',
rim" &c. feront alternativement femblables a/z/rc & juv; &
de la m£me maniere les parties vers la gauche fx, v , j> //,
V &c. alternativement femblables * pt Ik nm; comme on
e verra aifement par la figure.
Maintenant quelque grand que foit le terns ecoule t ,
on pourra afiigner F intervalle XV, auquel le point de
la corde X fera alors e^oigne de fon etat naturel , d' ou
1' on voit qu'apres le terns / = % a b , ou les points T & t
tombent en x & x" analogues a x , on aura X Y = x
(x'S' = x"y") =s x (xA — xT) tout comme an
commencement , de forte que la corde eft parvenue au
tn£me etat , apres avoir acheve dans ce terns deux vibra-
tions , ou felon les circonftances peut etre 4 ou 6 , ou
meme ptufieurs felon un nombre pair de cette
corde , de remarquer que la groileur en X eft recipro-
quement proportionnelle au quarre-quarre • de 1' intervalle
IX = x.
S C O L I E.
XXIV. Pour connoitre les circonftances, fous lefquelles
cctte meme corde fera deux ou trois &c. fois plus de vi-
brations qua l'ordinairc, etant ebranle d' une maniere quel-
conque ; on comprend de ce que j' ai dit des cordes de
la meme epaifleur , que cda arrive , lorfque la courbe
n m eft femblable a la couTbe n ri; ou nm' &c. , & en
meme terns la courbe fx v femblable a fx f*' ou p v" &c. ,
ou bicn fi 1' on applique a chaque point x dans l'efpace
a b une appliquee = x A — x T , il faut que cette nou-
velle courbe ait deux ou plufteurs parties femblable? entr'elles ,
& aiternativement fituees a l'egard de 1' axe a b {fig. 4.).
Ainfi pour le cas de deux fois pins d'ofcillatiom, cette nou-
velle courbe doit avoir la figure aycy'b, de forte que
la partie cy a foit egale 6k femblable a la partie cy'b,
ou bien en prenant les intervalles ex = c x , qu'il foit
x' y = x y . Done puifque k a = — ,&££=--, nous
aurons kc = ; — ; de la nous formerons ainfi la li-
gure de la corde mdme au commencement. Aiant I A
= a & / B = b {fig. 5. ) , le nceud tombera au point
C, enforte que IC = , c' eft-a-dire que / C fera la
moyenne harmonique entre / A & / B ; & prenant / X
g
5°
_ JL, l'appliquee XT fera IX X xy . Pour rendre
cela plus clair , pofons kc = c,8ccx = cx = u, Sc
puifque / C = -y , prenons / X = ^ & /X 5* ~, de
forte que CX = -^- , & CX = -7^, & parknt
CX : CX = IX : /X. Maintenaut, parceque XY = /X X
xy, &Xr=/Xx xy, il ell evident queCXrXK
= C X : XT , & que la droite YY' paffe par le nceud
C . D' .011 nous tirons la conrtrutlion fuivante de la cour-
i>ure de la corde, qui ne depend plus de la fig. 4.
Aiant partage la corde AB en C, de maniere que IC foit
la moyenne harraonique entre I A & IB, qu'on decrive
fur A C une courbe quelconque A Y C , & pour chaque
point .A! qu'on prenne le point X', enforte que les trois
lignes IX, IC, IX' foient en proportion harmonique ,
alors la droite tiree de Y par le point C marquera fur
,1' appliquee X Y' le point Y dans la courbe CY'B. Si
1' on vouloit que la corde benefit trois fois plus de vibra-
tions , il faudroit entre A &c B etablir deux nceuds C &
D , de forte que les diftances I A , IC, ID, IB fiflent
une proportion harmonique, & aiant pris a volonte la fi-
gure d' une partie AY C on formeroit de la meme ma-
niere la figure au dela du noeud C , & enfuite audi au
dela du nceud*Z>. Cette meme conftruclion aura audi lieu,
jorfqu'on voudra etablir un plus grand nombre de nceuds.
S C O L I E.
XXV. Voila done une efpece de cordes fort remarqua-
ble , puifqu'elle a cela de commun avec les cordes uni-
formement epailfcs, que de quelque maniere qu'on les ebran-
le , ellcs produifent toujours des vibrations regulieres ; or
nous verrons bientot que cette propriete ne fauroit avoir
lieu dans anemic autre elpecc. Le fondcmenf de cette pro-
priete eft , qu'en quelque etat que la corde foit mife au
commencement , elle y doit neceflairement reverrir apres
un certain terns;, or dans les autres efpeces de cordes ce
retabliflement dans le premier etat n'arrive peut-etro jamais,
& quand il arrive t ce n' eft que fous de certaines circon-
ftances , fans lefquelles le fon ne fauroit etre regulier ou
forme par des vibrations ifochrones. D'abord les elpeces
fui\ antes , que nous fommes en etat de developper mettent
cette difference dans tout fon jour, & de la on pourra ju-
ger avee a autant plus de raifon , des autres elpeces de
cordes , qu'il ne nous eft pas encore permis de foumettre
au calcul.
P R O B L E M E 6.
XXVI. La grofleur de la corde etant exprimee par cette
f —
formule qq ff ( — ) ' , ou x eft 1'intervalle IX {fig. i.)
& q q la grofleur au point X: determiner le mouvement
de la corde fixee dans les deux points A <$£ B, de forte
que / A = a &c I'B =■ b , la tenfion etant = T.
Solution.
Cette corde apartient au premier cas du Probl. 4 , en
j ff —
prenant u = r , d' oix Ton a /3 = ,/JLy • f " % ■, &
I X
fudx = /3a-' & enfuite P = 1 , &Q = — /3.V ; tou*
les mouvemens de cette corde feront done exprimes par
cette equation ;
y = T : d3x'+r) + A: (0x » — ■ t )
— /3.vT T: (£*t + 0 — 0„v"^ A': (jB*^-r- O
oil y exprimc I' intervalle J7, dont le point X eft eloi-
gne de 1' axe apres le terns = t fecondes, d'oit la viteffe
de ce • point Y dans le fens Y X {era
•+■ 0 x~ V": (0*~ •*■ 0 — /3*"^~ A": ( 0 ^ — 0-
Qu'on tire maintenant un nouvel axe r £ ( J?g\ 6. ) , fur
*_ j_ _j_
lequel on prenne ia=/3aJ, //» = /3£* & ix = j3x * i
or pofons ix = j3;t * = v, 8c fur 1' efpace a £ tirons les
deux courbes mT n & ju A v pour reprefenter nos deux fon-
ftions arbitraires , de maniere qu'il foit xT = V :v &xA
= A': v , d' ou nous aurons T: v = am xT , & A:v =
a fj. x A , en remarquant que puifque nous reprefentons ici
la fon&ion A fous 1' axe , il faut changer le figne des
fonftions A, A', A" dans nos formules precedentes. Done
pour 1' etat ioitial de la corde ou t s= o , nous aurons
y = am xT — a ju x A — v.xA,
,dy vd.xT v d.x &
— ( -r- ) = — xT — xA-J 1- — - .
sdt' dv dv
Or puifque aux points A & B, Tune & 1' autre de ces deux
valeurs doit evanouir , nous aurons ces conditions a remplir;
d. am ■+■ d .au
i0 am = a tt } i' a« + «u s= idX : -;
1 dv
}" ami n — a p b v — ib (b n — b ») ; 40 b n -+• b*
. d.bn ■+-
54
c' ell done de cette formule qu'il faut determiner 1' etat
de la cprde a un terns quelconque t depuis fan etat initial.
C O R O L L. I.
XXVII. Par cette conftru&ion on voit qu'on ne fauroit
affigner aucun tems , auquel la corde revienne neceiTairement
a fon etat initial , & partant les ebranlemens dont une telle
corde eft fufceptible , ne fauroient etre Teduits a un mou-
vement regulier de vibrations ifochrones , comme dans le
cas precedent,
C O R O L L. 2.
XXVIII. Aufli la continuation des deux eourbes /?m &
fx v demande tine conftruelion tranlcendente. Car pofant
a x — a x = t ,. x T = p & x'l' = i , la continua-
tion de la courbe /u. v doit ctre tiree de cette equation :
fp d t ■+■ f j d t ■ — la (p — £) = o, on pofant la = ou.{ = £
ft f. qdt.
■
S C O L I E.
XXX. Or il n eft pas abfolument impoffible qu'une telle
corde produife des vibrations regulieres ou ifochrones; cela
depend de V etat initial , auquel la corde a ete reduite ,
qui peut bien etre tel , que les vibrations deviennent re-
gulieres. Pour trouver de tels cas , foit pour .abreger
fix ' = v , & poibns
r : ( v -+- t ) = C fin. '( n v -+- n t -4- £ ) , &
A : ( v — t ) = C fill. ( n v -+- £ — «t)
d' oil nous aurons
I": ( v -+- O = n C cof. (nv + ^ + »0,&
A': ( v — 0 = n C cof \nv -+• £ — « O ,
& partant
y = i C fin. ( «v -4- £) cof. m — rnCv cofi ( nv -4- £) cof. /u .
Maintenant , cette quantite devant evanoiiir , fok qu'on pofe
x = aoux = b, foit pour abreger @a' — h &c (Zb ' = £,
& il faudra remplir ces deux conditions ;
i° fin. (nh -h ^) — nh cof. (/iA-+-£)=o,&
a° fin. (ni + ^.) — «/: cof. ( n k H- £ ) = o ,
d' oil nous tirons
tang, (nh -H^) = n h , & tang. ( « £ -4- £ ) = a k ,
II s'agit done de determiner de ces deux egalites le nom-
bre n avec P angle £ . Or eliminant 1' angle £ , nous
aurons
5«
tang. n (k - h) a mi*-'\
oil il faut remarquer que h = J. ( — ) ' , & k =±
T ( -y ) * ■ Tout revient done a deduire de 1' equa-
tion trouvee le nombre «, ce qui fe peut toujours executer
d' une infinite de manieres , attendu que cette equation
renferme une infinite de racines , dont aiant trouve une
quelconque pour n , on voit quapres le tems t = — , la
corde revient au m£me ^tat , & le tems d' une vibration
eit par confequent = — , de forte que le nombre des
vibrations rendues par feconde iera = — Or pour trou*
ver un tel nombre n on ne tauroit operer qu'en taton-
nant , en prenant iucceffivement plufieurs valeurs pour en
conclure enim la veritable. Pour cet effet aiant pris pour n
un nombre quelconque , qu'on cherchc les angles tp 8c \J/, de
forte que n h = tang. tang- r • Maintenant pour
connoitre tous les mouvemens reguliers dont la meme corde
ell luiceptible , on n' a qu'a prendre 1' angle r en forte ,
qu'il en refulte le meme raport entre h & k ; (bit pour
cet effet k = m h , & on aura ( /ra -+- 1 ) r = (m — 1)
V ( r r -f- 4 .r — 4) ou mr r = (m — i)l(^ — • i)>
1 mrr r „ ,
done i =s i ■+■ — = , d ou 1 on tire
\m — i)* tang, r
h ss= — , Sc k = —- , & pour chaque nom-
n(m — 1) r[m— -i) r *
bre m on peut trouver une infinite de valeurs pour Tangle r .
E X E M P L E.
XXXII. Prenons m = z , de forte que k = 1 h &
i=8n,& Tequation a relbudre fera 1 •+• rr — , d'ou
> tang, r
l'on tire A = — & it = — . Or il faut remarquer que pour
reduire un angle exprime en (econdes a des parties du
rayon , il taut ajouter 4 , 6875749 au logarithme du
nombre des fecondes, mais puilque nous favons quer>r,
& que pofant r = t -+-
) >
& d' expofer quelques methodes , qui nous conduifent a
fon integrate compete.
De £ equation (~) = aa (~).
IV. Si P on vouloit fe contenter de folutions particulie-
res , il feroit fort facile d' en trouver une multitude infi-
nie , toutes les valeurs fuivantes fatisrbnt egatement a cette
equation ;
Z = A (x<±at)\ i = Acn(*±at), ^Jltn.n(xrtat),
& P on peut encore joindre enfemble autant qu'on voudra
de telles "valeurs , de forte que par ce moyen on pourroit
donner une folution qui renfermar une infinite de quantite
6r
de quantites conltantes , & abfolument arbitraires. Cepen-
dant une telle folution ne feroit pas encore complete , &
ne comprcndroit point toutes les folutions poffibles. Mais
quand f ai trouve { = T : (x •+■ at) •+• A : ( x — ui),'
ou r : ( x~ -+■ at) marque une fonttion qaelconque de
X -+- at , & A : ( x -m)dejc — at, on voit bien que
cette forme eft innniment plus generate, aufli eft-elle 1' in-
tegrate complete de notre equation.
V. II eft aife de s' affurer , que cette fbrmule convient
a l'equation propoiee; car en marquant le differentiel de I*:. u
par duT' : u , Sc celei de T':u par d u V : u , on en tire
(-^) = I":(* -+• at) -+- A":(x~aO &
( — - ) = a r' : ( .v ■+■ at) — a&:(x — at)
& par la differentiation reiteree
( — ) = r": ( X -+■ a t) 4- A" : ( x. — at) &
(— ) ■taj^$(* -h at) ■+■ a»A" : ( * — ««)
d'oii Ton a eviderament ( — - ) = aa (±r— ). Mais il s'agit
v dtx ^*dx* °
ici d' une methode , qui partant de I' equation differentio-
differentielle nous conduile immediatement a. .la rbrmule
j = r: ( x -+- at) -+• A : ( x — at) , & par laquelle
nous puiflions etre allures , que cette formule eft en effet
T integrate comptete de 1' equation differentio-differentielle.
Je m'en vais propofer deux methodes qui conduifent a ce but.
VI. Premiere methode. Je transforme l'equation par cette
d'z d z
fubftitution (-7-) ■+■ a ( -p ) = «", d'ou je tire:
d t tt-x
.du. ,^dz ddz d» ddz
^3
. ddz v 0 /d" \ ,^u\ / ddz \
,( — ), & partant ( 7; ) - «(^)=(^r)-^
( - — ) =s= o . Nous voila done parvenus a une equation
differentielle du premier degre" (v-) — a("T")> ^ont ^
s' agit de trouver la fonftion u . Or , puifque du = 1
,dn. , ,du. . ,du. . . .
( — ) -+- rfx ( -j- ), nous aurons
'at
nous aurons :
di = p (d X — qdt) ■+■ dtT':(x -+• a r )
Pofons p-= r -+■ * P : ( x -+- at)) Pour avoir :
d{= r {dx — adt) -+- [etix-4- (i — &a)dt ]P : (x -+• ar).
& foit ~ "a = a ou * = — , done
d i = r {dx — adt) H ( dx -+- a
'i caufe de J/> = //* rfWs ^fe \ o , d^z ddz ddz
ddz «fe <& . «/« = w t ^ & (^} rr a ^ ~~ a (^t)
IX. Pour achever la fubftitution , aiant
ddz^ ' ddz : y ' y dpdq K dqx/
_ , d^z x , ddz . .
Done notre equation ( — ) = aa ( -j-; ; ie cliange en
celle-ci :
. ddz fc . « x , . . /»V~ .
a a a ( — -j- ) = — 1 aa ( -y-j- ), ou bien ( — — ) = o
v dpdq ' v dpdq x ///>///
qui eft beaucoup plus limple que la propofee , ne con-
tenant qu'un feul merabre, qui! faut egaler a zero-, d'ou
Ton comprend de quelle importance peuvent fouvent etre
de telles transformations , dans ce nouveau genre du cal-
cul integral.
X. Tout fe re"duit done a trouver, quelle fon&ion des
deux variables p & q doit etre la quantite { , afin. que
1' on ait ( — — r ) = o . Or cette equatiou eft fort aifee
dpdq' n
a refoudre; qu'on pole, pour mettre 1' operation dans tout
fon jour , (-/) = u, & puilque (-7-7-) — ( -p ) , U
' Kdq/ * n V dpdq' >, dp' '
faut qu'il foit ( -£ ) = o , dr oil il eft clair que la quan-
tite u ne lauroit renfermer la variable p , de partant elle
fera fonclion de la feule variable q, & une fbnftion quel-
conque de q- mife pour u fattsfera a la condition ( — ) = 0 .
Pofons done u = A : q , ce qui eft 1' integrate complete
d u ,•
de Tequation ( — ) = o , & maintenant nous aurons
d z
(j-) = &' r q • Confiderons ici P autre quantite p con-
ftantc , pour avoir d % = d q A' : q , & partant fon inte-
grate 1 = A : q •+- conlt.j mais cette conftantc renfermc
i
66
une fon&ion quelconque do ~p , au lieu de laquelle ecrl-
vant F : p nous trouvons comme ci-deflus ^ = T : p •+• A : q
ou bien £ = Y ■ (x -+■ at) -+- A : ( x — a r ).
XI. Pour mettre devant Ies yeux toute T etendue de
cctte folution, on peut decrire avolonte deux courbes quelcon-
ques E M S ScFNT (fig.* plan, i.) raportees a leur axes
$c B D , &z alors pour avoir la valeur de ^, qui repond
•t des valeurs quelconques des deux variables x & t , qu'on
prenne dam la premiere courbe 1'abfcifle AP = x-t-at,
■Si dans F autre 1' ablcifle FQ = x — at, & la fom-
me des deux appliquees -P M •+■ Q N ou bien aufli leur
difference reprelentera eri general la nature de la fon-
clion cherchee £ qui convient a 1' equation ( — - ) =r a a
( — — ). Cette conftruftion eft ft generale, que des traits
tires librement fur le papier fans aucune loi peuvent
etre employes pour les deux lignes EMS & F NT .
XII. C eft aufli en quoi confifte le caraftere eflentiel
de ce- genre de calcul integral , 6k qui le diftingue des
integrations ordinaires , ou aucune Iigne courbe deftituee
de la loi de continuite , ne fauroit jamais avoir lieu .
Mais ici les lignes EMS & F NT penvent etre ' tirees
d' une maniere quelconque , fans qu'elles foient comprifes
dans quelque equation que ce fbit ; on les peut terminer
brufquement ou 1' on veut , & les compofer d' arcs de
courbes tout-a-fait differentes. De quelque maniere qu'on
ait commence a tirer ces lignes , on' eft toujours le mai-
rre de les continuer de part & d'autre comme on veut,
fans qu'on foit aftreint a aucune loi ; routes ces irregu-
larites n' empechent pas que la conftru£tion donnee ne fa-
tisfafle aufli bien a 1' equation propofee , que ft ces deux
Hgnes courbes etoient tout-a-fait regulieres.
67
De Pequmon — ( — ) = ( — ) -j- - ( — )>+ -L
1 aa dt* dxl x dx xx *■
*XIII. D'abord je remarque qu'on pcut transformer cette
aquation en, d'autres femblables , en fuppofant ^ = xKu,
d' ou 1' on a
dJz v dHu , ,ddz.
-+- iXx1™1 (~r ) -+- *K (t~, )» & partant cette fubfti-
«* ax •
union , en divifant par x* , nous fournit 1' equation :
Done h nous prenons K = — — * , de lorte que j =s=
x. ' u, 1' equation propo/ee fe transforme dans celle-ci
<*« ^ dp' "P ^.v* ' 4*x
qui aiant un terme de moins , doit etre regardee comme
plus fimple.
XiV. Par la memo lubftitution on peat fair eVanouir
le dernier terme, en pofant (3 -J- *A ■+• A;\ — \ = o,
ce qui donne
* = ~ i • ( fcfcnsj & *-+- sj^i ±/[(. -*)t-4i8]
done la fubftirurion j = xKu nous conduit a cette
equation:
*aK dt*J K dx* ' x K dx h
Done fans reftraindre la forme propose nous pouvons
d'abord fuppofer (3 = , de forte que nou* aions a re-
foudre cette equation
6Z
I ddz . , ddz - « , dz .
ou ll eft remarquable que pofant * = xl — * :; , die' fe
tiahsfefme dans cclle-ci , qui lui eft femblable.
i . ddu ddu i ~ * (dJi\
7a k d<>} ~" Wi ~ ^dxh
cv partaht ft la resolution de I' equation
l ddf. ddz * dz
( ) = ( ) -h — ( — )
a a K df' K dx*J x K dx}
reuffit clans le cas de * = n , elle reuffira aufti dans le
cas de ct = i — n ,
XV. Mais puilque la deftruc~tion du dernier terme pour-
roit cx>nduire a des valeurs imaginaires, qu'il faudroit don-
ner a* T expofant X , il vaudra mieux chaffer 1' avant
dernier terme, ce qui fe peut toujours faire fans tomber
dans cet inconvenient, & partant nos recherches rouleront
fur la resolution de cette equation
JaK d?} —{>dx>)~ir xx1'
fur laquelle je remarque , qu'on la peut reduire a une
forme ou le dernier terme manque d'une double maniere,
en pofant { =x a, d'oii Pon parvient a
cette forme ;
i ddu ddu . 1-4-^(1 — 4/?) ,dus
^(t?} ==(^) + — -i cjg?£
Or fi (8 eft un nombre pofnif plus grand que — cette for-
me devient imaginaire.
XVI. Or par raport a cette equation
aa ^ dt*} l dx*} xx *
je dois avertir d'avance, que je ne la faurois rdbudre en
general , quelque nombre qu'on prenne ponr /3 , il n'y a
69
que certaines valeurs de cette lettre , ou 1' integration
reuflifle, en quoi la resolution eft femblable a la fameufe
Equation de Riccati , qui n' eft refoluble qu'en certains
cas. Mais aufli dans ces cas je dois avoiier , que je ne pas
fuis afses content de la methode, qui m'a conduit a 1' in-
tegration de ces cas , puifqu'elle m' a ete fournie par la
consideration d'une (blution particuliere, comme on peut le
voir dans mes Recherches fur la propagation du fon. depen-
dant j'expliquerai cette methode , toute imparfaite qu'elle
puiffe paroitre encore, peut 6tre qu'elle donnera a d'autres
occafion de mieux approfondir les myfteres , que ce nou-
veau genre de calcul integral renferme.
XVII. Apres plufieurs effais j' ai trouve que 1' integrate
I ddz ddz (I 4
de cette equation — ( ■*— ) = ( 7-3 ) H { pent etre
/f=o, ou (/J-+-1) C-J-3(/H-f)2?=o
2(/z-f-3) Z)-hi(4/z-J-6) £=0, ou (/Z-+-3) Z>4-4(rt+-f) £;=o
i(/i-»-4)£-l-i(5n-Hio) £=0, ou (n-|-4)£-f.j(n-fr.-*-) feo.
XVIII. Void done les determinations de tous nos cod-
ficiens, en fuppofant 18 = — «(«-^-i).
£==— ^/
c==__ («+i)£ . (*-+n) ;
*(«r£) x(«-»-t)
(n-f-i)C («-4-z)
•3(«-*-0 *-3(«"»-t)
£=— -^L±ll^ — _h («-«-0(«+3)
^ _____ («+4) £ _ (/z4-3)(n-«-4)
G__ (^+Q£_ («-t-3)(/H-4)(«TH)
/f__ (n-»-6)G (/2 4-4)(«-f-5)(n-t-6)
7(«-»-3) i-3-4-5-6.7(«4-t)(«+t)(«+t)
&c. &c.
XIX. De la nous voions que toutes les fois que n eft
un nombre entier negatif, la lerie fuppofee devient finie,
& partant c' eft dans ces cas , que nous pouvons ajfigner
T integrate de notre equation. Pofons done n = — i\
marquant par i un nombre entier quelconque , &: 1' equation ,
dont nous fommes en &at de trouver l'integrale fera
da ^ d?} ^dx*' ' xx v
7»
de iaquelle il eft bon de remarquer , que pofant ^ =
x' •+• ' u , elle fe change dans cette forme :
\ ddtt ddu 1O+-1) ,du
X4
done f integrate
de cette equation fera , en prenant A as= 1 , & partant
* = - *,
{ = — T:(x ± at) — r : ( x H= at)
& tenant compte du figne ambigu de la quantite a, l'in-
tegrale complete fera exprimee ainfi
I ^±- T:(x- at) -r:(* -at)
•+» — A:(x ■+• at) — A' : ( x -J- at)
x
& de la meme maniere on pourra aifement trouver les
integrates completes pour tous les autres cas integrables .
Aiant trouYe" les eoenciens de la forme fuppofee , on n' a
71
qua refoudre chaque terme en deux , en emploiant pour
F un la forme x ■+• at , & pour 1' autre la forme
a t
2d CAS
n = — 2
Ou
integration
de cette
equation
I
a a
ddz
(—) =
Kdx'J
6
— ?•
xx "■
XXI. Aiant toujours B = — ^ a caufe de /r= — 2,
nous aurons C = 7 A ; prenant ^ = 3 , & partant B
— — 3 , & C = 1 , 1' integrate complete de notre equa-
tion fera
j = J- r : ( x -4- at) — - T: (* -+- at) ■+• T": (x •+■ C = i . 3 ,. Z> = — i
6c T integrate complete fera
{=yr:(x -+■ at) -^ r':(x •+. at)
V':(x -h at) — r"':(x -h a r )
-+- — - A": (x — at) — A": (x . — at)
■ 4* CAS n = — 4
Ou integration de cettc equation
i = — 4.5.7.9,
E = -+- 1.3.J.7 > -f = — 3-7 > G — 1
d? oil- T integrale complete devient
{=—T:(x-hat) + -r':(A;+'aI)
-+- — r ":(* — at) -t- ^-r":(x -+- a t) -+- &c.
x* x'
H -A : (x -+- a/) H A': (x — at)
-+■ — A": (x — at)' -+- ~ A'": (x^O+ &c.
** x'
XXVI. En general pour cette equation
1 tidz ddz '('-*-! )
T integrale complete fera
I =-^T- r:(.v-aO+^rr:(x + aO
C J)
-+■ r r* :(* + ar) + V" : (x -+• at) -+- &c.
-+-— ^- A:(x — aO-+--Zr7A:(x-aO
+ P^T A": Gv - at) -H -^ A": (x - at) * &C.
ou les coeficiens doivent £tre determines de la maniere
fuivante
B = — A
1 / — 1 2 / — 1
D — — ^ ~ *) c . (if — 4)^
3>~ 3 " 1.3 O'— 1)
(/— 3)D (2;_4)(2;_6)y?
as -+-
4'— 6 1.3.4(1/— i)(zi_3)
kij
76
_ 0 — 4) E __ _ (zi-6)(i/— 8) ^
5 /— io " 2.3.4.5(21— i) (_2/— 3)
G = _0— 5 ) F u 0>-6) (li— 8) (ii— i o) A
6/ — 15 2.34.5.6(1/— i)(ii—3)(ii— 5)
&c. &c.
XXVII. Pour comprendre mieux la loi de ces coefi-
ciens j' obferve , qu'on trouve les memes coenciens , en
integrant cfefte equation differentio-differentielle :
x.xddy ixxdy
-77- ■*■ -7x~- i(i + i)y = °
fi I' on fuppofe T integrate exprimee par cette ferie
A B " C D
V = — : 1 : H —. 1 ! -+- &C.
J xl X1 — ' x' — z x' — 3
Or fi i eft un nombrc entier, cette meme equation nous
fournit les coefkiens en ordre retrograde , car fi nous
fiippofons
B C D E F
y = A H H — H ^ - H -H-&C.
^ # ■** *J #* *5
nous trouvons
2
_ _ (/— l) (/-K2) B_ _^_ /(«— Q(i-H) A
4 2.4
D= — 0—0(^-3) c___ /(/# — Q(ii — 4) (H-3) A
6 1.4.6
r (' — 3)C^*"4) pv ' '(»— 0("— 4)(«— 9)(*"4) .
F -= — ^—4)0-'- 0 £ ___ '('/— PC"— 4)("— 9)("~ i6)(/-^5)
10 2 . 4 . 6 . 8 . 10
&c. &c.
XXVIII. Done fi nous marqiions les fbnclions en afcen-
dant par integration , de cette maniere :
r : s z=fdsT : j, T : s =fds T : "jr, V'T ; s zzzfdiT : s &c.
1' integrate de notre equation
aa
11
K df' K dx* '
iera:
B
I = A T : ( .v -+- at) H T : (x -4- «)
D
r : (at -4- at) -4- ,— T :(x + m) + &c.
xx
X'
B
+ AA:(.vrdi)H A : (x — at)
H- — "A : (x — ht) -t" — ^ : (* ■+■ «0 -+■ &c-
XX X*
& pour les diverges valeurs de i ces coeficiens leront
A
— B
-4- c
— D
+ E
— F
i
i
i
i
i
i
i
i.x
z
3-4
2
4-5
i
5.6
2
6-7
a
7.8
2
1.3.4
/
3.8.5.6
4.1 5.1 2.7.8
5. 24.21. 16. 9.10
1.4
3.8.5
1.4
4.15.6
2. 4.6
4.15. 11.7
1.4
5.14-7
2.4.6
5.14.11.8
2.4.6.8
5. 14.21. 16. 9
1.4
6.35.8
1.4.6
6.35.31.9
2.4.6.8
6.35.32.27.10
2.4.0.0.10
6.3 5.3 1.27.20.1 1
1.4
7.48.9
2.4.6 2.4.6.8
7.48. 45. 10:7.48 .45. 40.1 1
2.4.6.8.10
7.48.45.40.33.12
1.4
1 1.4.6
2.4.6.8
1.4.6.8.10
&c.
&c.
XXIX. J' obferve encore , que P integrate de cette
equation
1 . ddz . ddz . n{n-+- 1 )
i
1 ddz ddz n{n+- 1 )
44 ' ~d? ' ~ ( Z? ' T
dxx
xx
?8
fe peut exprimcr d uue double maniere , 1' une finie , &
T autre 'innnie , puifque on peut mettre tant i = n que
i — — • n — i. Pour rendre Tune & 1' autre plus evi-
dente , poi'ons x -i- at = p , 8t x — at = a , & que
P marque une fonclion quelconque de p , 6>r Q de q ;
cela pole la premiere forme fera
A / n ^^ B , JY dQ
C , ^P ,///£>. _
les coeficiens etant determines ainii :
l(2« — r) 3(i» — i)
£«__*^A* = _ ^JZiU &c "
4(*«— 3) 5(2»— 4)
Or T autre forme ell
> „ ' • ddP ddQ .
-+■ Cjc" * ; ( — — 1 # ) -4- Set
dp1 aq*
oil les coeficiens ont les valeurs fuivantes
£ =_ 4^lL A F = - #%■ £ &c.
4(i«-i-5) y(i»-+-6)
11 eft bien remarquable que ces deux expreffions font equi-
valentes , & que dans les cas n = o , & n = — i ,
T une & T autre devient infinie , 6k fe reduit a { = P
■*# ,
XXX. Puifque cette rddu6tion ne paroit pas d' abord ,
il eft bon de la demontrer. Soit done n = o , 6k: pour
la premieere forme on aura
A = i,B = — i, C = — , Z> = — — , £ =
i ' 2.3 '
n — , F = &c.
a.3.4 2.3.4-5
d' oil nous tirons
,n ^ x , d p dQs ix' dd? ddQ
_^fL ^^..Q c
1.2.3. 'fy1, ^?'
Puifque chaque membre contient deux termes , foit M la ferie
qui contient les termes dependans de P 8c N celle qui
contient Q, de forte que £ = M -+■ N; maintenant puif-
que P = T : p = T : (x -hat), a caufe de p = x -4- at y
■i\ nous pofons p — 2 # au lieu de x, on aura par la
nature des differ entiels
r : (p — 2 x) = P X -7- -H — X-TT
vr ' 1 dp i.s. dp*
2'*' 1.2 ^/>*
2* x' d'P
• X -; h &rc, il eft evident, que % M — F: (p — zx)
.1.2.3 dp' 2
= P = r : p , 8c partant M = — T : ( p — 2 x ) =
— T:(x -+- at) H T •. (at — x). De la meme
2 v 1 v
maniere on verra que
N= — A : a -+- — A : ( a — 2.v)= — A : (at — at)
2i2 v 7 a
•4- — A : ( — at — x) , & par confequent ^ = M -+- iV
fe trouve egale a la fomme de deux fon&ions, 1' une de x
•+- a t , 8c T autre de x —■ < at.
8o
XXXI. L' autre forme pofant n = o donne
3.4.5 3.4.5.6
d' ou Ton obtient
i,vv
* -4- 0_ ) - i ( ^ -+- ^-).
Or l' autre forme donnc ces coeficiens 2? = — A,C=z
+.Xj, D = -. h± A, Em'+ -^- A, F =
^ &c.
5.6.7.8
i!
Pofbns ^4 = 1- , pour avoir la forme fuivante de V inte-
1.1.3.4 r
grale , dans laquelle je ne mets que Ies termes renfer*
main P = T : (x -+- at), puilque la reduction pour les
Q c(l la meme :
lV „ z'x> dP i.'.** ddP
7 = P . — -f- — : — .
1 . . 4 1 . . 4 dp 1 ... 5 dp1
1\4*» d'P i\Kx6 d'P „
- -— H - — ■ -7— &&
1 ... 6 dp' 1 ... 7 dp"
que je decompofe en deux parties, la voir .
i*» _ lV <^P
1.1 1.1.3 dp 1 . . 4 <*7>s
2**' //'P iV ^P
1 ... 5 • />* i ... 6 />4
iV „ iV dP lV <^P
p
1 -+-
d'P
iV
^P
1 . . 4
1"
dp
dp'
1 . .
•7
1.2.3 i . . 4 /> 1 ... 5 />'
iV ^'P iV ^P
-7-T -+- c\:c.
i ... 6 ^/>J 1 ... 7 />''
pour avoir une telle forme ^ = M - ■ N , oix M '
X'x' 'R 0
. — - ■+■ &c.
I.2.J <*/>'
■^ ■ «." o ** dR .,
& partant r : ( ^ — xx) ~ R -j- -+■ 2 Af ,
d' ou 1' on tire la valeur de M , favoir
M = -^-T:(p — xx) — -I r :/7 -J- fc !":/>.
Pour 1' autre ferie je fais P = — pour avoir
IV d'S X'X* *S X*X* //!i"
N^z ■ — • -(- • &C.
1.2.3 dp3 I . . 4 dp* 1 ...-5 dp'
Mais puifque ^ = -- , il fuit que - = R = T p ,
done S = T :/> & T : (f - 2 * ) = 5 ■ ■ ~ • ^
»*-*
2**
ddS iV ^'S 2-A-4 ^5"
V^ — &c.
1.2 />* 1.2.3 dp' 1 . . 4 «'/>*
& partant T : (/> — 2 x )== T : p — 2 * T : p -4- i«r':p
1 ■
— xxNj de forte que N = - T : (^ — m) -4-
— T:p — T : p -4- xT':p, par confequent M — TV =
±_T:(p - xx) + ^T:(p-xx)+ ± T : p -
— T : ^ , ce qui eft la valeur de { .
XXXIV. Puifque p s= x -4- at, en doublant les termes,
& pofant r au lieu de T , la partie de 1' integrate , qui
renferme la lettre P , fe reduit a cette forme
8}
{ = Tf. (x ■+- ar) — ^rl":(x -+- at)
-4- I~' : (— x ■+■ at ) -4- — T : (— x ■+• at)
or la meme methode nous fournit pour les termes Q
I ass A' : (x — at) A : ( x — at)
i
+ A':( — x — at) A A:( — x — at)
& ces deux expreflions combinees enfemble donnent l'm-
tegrale trouvee par la premiere forme.
Soit pour cela A : ( — x — at) — V : (x -+- at)
= P = funft. (* + at =/>), & la differentiation
dP
donnera — A' : ( — x — at) — V: ( x -f- at) = -r- ;
pofant de meme T: ( — x Ar at) — A : ( x — at)
= Q = funft. ( x — at = ^ ) , on aura par la diffe-
rentiation : — T':( — x -h at) — A' : ( X — at)
= —*, & de la il eft clair qu'on aura , comme ci-
a q
deffus :
XXXV. Ces reductions que je viens de faire pour Ies
cas n = o & n = i , peuvent etre appliquees avec
le meme fucces a des plus grands nombres pris pour n ,
mais il eft aife de prevoir , qu'elles deviendront de plus
en plus embarraffantes. Cependant il fuffit d' avoir fait
voir la poflibilite de reduire la forme infinie de 1' inte-
grate a la finie , dans les cas , oil n eft un nombre
entier. Mais pour les cas, oil n eft une fraction, les deux
formes 'trouvees pour 1' integrate dans le §. XXIX. devieiv
nent infinies , & il ne paroit aucun moyen de reduire
lij
84
Tune, on 1' autre a ime forme finie. On y rencontre les
memes difficultes que dans les cas irrefolubles de V equa-
tion de Riccati. , & quoique j' aie trouve moyen de con-
ftruire ces . cas par une methode tout-a-fait particuliere ,
il ne femble point , que cette m^thode puifle etre appli-
quee aux cas dont il s'agit ici. Mais non obitant le nom-
bre infini des termes , dont les integrates de ces cas font
compofees, elles ne font pas moins completes, puifqu'elles
renferment deux fonftions abfolument indeterminees &: ar-
bitrages.
XXXVI. Or pour trouvcr plus facilement les integrates
completes de cctte equation
i ddz ddz n(n-*-x)
XX
qu'on pofe x •+■ at = p & x — at = q\ enfuite foit
P une fon&ion quelconque de p , c\: Q une fonction quel-
conque de q , qu'on fafle outre cela pour abreger :
P'=fPdp, P=fF-Jp, P =fP"Jp, Pw=fP "-2)
2 . 4
(» — 2) (» — i)»(w-n) (W2) (»+3)
2.4.6
("— 3)Q— *) (r+4)
2.4.6.8
(«— 4)(w— 3) (»■+-$)
2.4.6.8.10
85
& 1 integrate cherchee fera
x' / *
XXXVII. Aiant trouve cette integrate ou valeur dc £,
on aura aufli .les integrates cle toutes les equations qui en
font transfermees , corame pofant r = x mu, a caufe
, , <& „ . ddu .
, dz . „ « .
( -r- ) = -V - m ( — ) — 772 X — " -' u
ax dx
, ddz . ,dd/j. du.
1' equation transformee fera:
i ,('Ju fddu\ i™ ,dtt {jn- — n)(m-t-n+i)
*3(t?)== (z?} _ v (z,) * ^- — »
&' partant fon integrate fera :
u = Ar (P -4- Q) — Bx'"-' (P'-h Q)
r •+- Cxm-~-(P'-hQ) — Dx"'-> (P"-hQ v). &c.
XXXVIII. Developpons Jes cas les plus fimples de cette
equation generalise, en confervant les memes iignifications
p=.x-t-at8>tq = x — at, & des. fonclions qui
en font formees P, F , P\ F" &c. Q, Q' , Q, Q '" &c.
i ' ddu . . ddn . %m ,du ^ m(m-*-\)
1 r- c^?) = (at) - - t -V2"
rintegrale eft : u = xm ( P -t- Q )
i ,ddu t^u\ zm ,du\ [m— -\ )(»;+i )
1 ^ C^.3 = ~ ~ (^) + ^ " •
l'integrale: u = x" (P ,*- Q) — ~ *— V j( P -+- Q )
dont 1' integrate eft
86
u = x* ( P -+- Q ) — ~ *"— ' ( P -f- Q')
1.4 ^
t /W« /^"n im du [m— i)(m+4)
* ^ [7*> = - V (^} ^ V„ "
dont 1' integrate eft
u == x1" ( P -+- Q ) — -^ xm- ' (P'+^)
1.4 v ^ 1.4.6 x *■ '
1 /W» . // rm du {m — 4XOT-+-5)
dont 1' integrale
« = *"(/>-+-£)— -^ *— « (P' + Q)
H- l±±i ^- * ( P" + Q" ) _ H±lfZ *-, (/>"' + (W)
1.4 v ^ 2.4-6 *■
2.4.6.8 ^
1 , ddu ddii %m .dt*. (m — j)(m-t-6)
6 7*[-d?)==: (Z?; "" ~(^ + £ "
dont 1' integrale
« = *"■(/>-+-<))— -^ .r» — ' (F ■+• Q')
+ 2^.6^ ^m_4 ^ ^4\.i.3.4.,.67.8.9.IO
1.4.6.8 v *-<■' 1.4.6.8.10
( Pv -+- Q v ) .
XXXIX. Jufqu'ici je n' ai donrie que les integrates pour
les cas de 1' equation propofee qui en font iufceptibles ,
fans y cvoir ete conduit par une methode ceraine , &
*7
dire&e , car toute l'analife dont je me fuis fervi eft uni-
quement fondee fur une heureufe conjecture , qui regarde
la forme de ces integrates , . & que le pur hazard m' a
quad fournie. II eft done d' autant plus important de de-
couvrir une methode direcle , qui nous puifle mener au
meme but, qu'il n'y a aucun doute, qu'une telle metho-
de n'apporte de tres-grands eclairciffemens dans cette nou-
velle carrierej or la consideration de ces integrates nous
porte aifement a penfer , qu'il doit y avoir une methode,
. qui , moyennant une certaine transformation conduife des cas
plus fimples aux plus compliques , de la meme maniere
que dans- le developpement de la fameufe Equation de Ric-
cati on a reufli a deduire les cas plus difficiles des plus
fimples , en y employant une certaine fubftitution. C eft
done par une femblable methode , que je m'en vais enfei-
gner la refolution de P Equation, que j'ai traitee julqu'ici.
XL. L' equation propofee etant done :
i dde ddz . k
7a^~d?' ~~ ( 77 ^ ~~ Ti^
je la transforrhe par le moyen de cette fubftitution :
,dz m
en cherchant une equation , qui determine la fonftion a
par t &c x ; or il eft aife de prevoir , que 1' equation
transformed aura une telle forme
- i ddu ddu k
femblable a la propofee , avec cette feule difference que le
nombre k fera different du nombre k ; ou bien fans Hip*
pofer une telle prevoyance , on peut regarder cette der-
niere Equation comme la propofee , & introduire £ a la
place de u par la fubftitution indiqitee.
XLI. Suppofant done u = ( — ) ■+- — { , on en tire
88
d' abor J
ddn d'z m ddz
' 5? ' "" " ' *7'*U <■*;-"*'•> "^ J
Or la premiere equation donnant
fi nous differentions par la feule variability de x , nous
among .-
d' ou nous tirons :
i d/rfb d'z m ddz Adz. {m — x)k
~a~a (~d?) ~~ (d~xi'~*~~^ ^d~x^'~xx n55k 5 fc
Maintenant la meme fubftitution donne :
& de la
«y« d' z m ddz im dz rm
(^)= ( Z? } "*" T ( *v > """ 77 ( «^ + "^"?i
/£' /£' , dz . tnk'
or — — wr= — — ( ~r ) T
xx xx dx xl l
& partant ces deux dernieres expreflions enfemble doi-
vent etre egales a celle , qui vient d' etre trouvee pour
i ddu .
Ta ( 7? J '
XLII. Puiique les termes ( — ) & ( ~ ) fe detrui-
fent d'cux memes , il ne rette qua egaler ieparement ceux
qui font affectes par ( — - ) 6c par j, d'ou nous tirons ces
deux egalites — k =a= — r m — k' & — ( m — i ) k =
xm — mk\ ou/n = , & i k = m (k — £' -+■ i )
done ( £ — A' y — » 2 /t — z £'=, & partant
8-9
k =k ■+■ . ± V ( « -4- 4 k ) ,' & m = --i^l^i^
z
Par consequent fi nous avons reuffi a trouver 1' integrale de
i , ddz . , ddz . /£
cette equation — ( — ) = ( — ; r, nous aurons
n aa di* dx* xx L-
„. . . , i i ii ' / ddu d.itt k'
aufli 1 integrale de celle-ci : — ( — ) = ( — ) — — u
° aa at ax xx
dz
pofant i'si+i+^i •+• 4 ^ ) » puifcnie « = ( — )
k — k'
■LX K
XLIII. Or aiant affigne ci-defTus, independamment de
ces recherches, 1' integrale de notre equation pour le cas
k = o , cette nouvelle methode nous fournit F integra-
le pour le cas h' = i , & fuppofant enfiiite k = 2 ,
nous en tirons le troilieme cas k' = 3 -4-^9 = 6,
& celui-ci, pofant k = 6 , nour conduit an quatrieme A-'
= 7 ■+- V 2 5 = 1 2 , lequel , en faiCant k = 1 2 , nous
mene au cinquieme A' = 13 -H \/ 49 = 20, & ainfz
de l'uite felon cette progreflion :
i|o|l| 6|l2|20|30|42| &c.
^'|i|6| 12I20I30I42I56I 6cc.
d- ou 1" on voit que toutes les valeurs de k fom compri-
ses dans cette formule generate k s= i ii ttr 1), & ce
cas confidere en general nous conduit a u fuivant -
U s= i ( i •+■ 1 ) -+- 1 -4- / [ 1 + 4 ;' ( i + 1 )] = ii
+ ]i + 1 =(i4- 1) (i4- 2), d' ou nous tirons
tous les cas dont j' ai afligne ci-deflus les integrales.
• XLIV. Done ii nous connoiflbns , pour le cas k = n
, \ l* • , 1 1 ,' 1 ddz ' , ddz
(n -4- 1 ) 1 integrate de cette equation — (. — ) = ( -3— )
Ail
dtx ' K dx
— { , qui ioit ^ — V , nous en tirerons, pour le
cas k = (n -h 1 ) (« -4- 2) I' integrale de celle-ci:
m
9°
a a ' dt
(»H-l)
//*
XX
dx
V , ou bien, puifqu'on peut multiplier la valeur
de i par unc conftante quelconque , cette derniere inte-
grale peut etre exprimee ainfi : ^ = — V —
I V dx>'
k — o
k = 1.2
k = 2.3
Par confequent , puifque pour le cas, k = o, 1' integrate
ell ^ = T : ( x -+■ at) -+- A : ( x — a t ) , en ecrivant
.£ pour cette double fonftion, nous aurons pour 1' equation
1 ddz ddz . k
Ta ^ 17*' ~~ ^ 7x~* ' " " ~~ i
les integrales fuivantes:
xx
k = 3.4
= 5
a- dx
1 2 x1 zx aK
dS,
_t_ ddS
T ^dx*'
2,3 v dx' *
z = -L.s 1-( — )
* 2 #' xx* K dx
&C.
XLV. Soit, pour le cas £ = « ( n -+- 1 ), 1' integrate:
{ x" xn ~ ' ^ dx ' x" ~ <■ ^ dx* '
D d'S. E d*S. Q
( ) H ( — ) — &c.
xn - ' v dx' ' x" - ■* v dx* *
& pour \e cas k = n (n -+• 1) ( /z -+- 2), a caufe de
^ (» + i) £
j = ("7~) — r, nous aurons:
1 i/AT ' ~~ ""■«■■*•• *» V d* ^ -V- - ' K dx* '
in— OB (»— 2)C
H J? V - "
fezftg mi a*
*"
__ (»+■) ^ __ _ (»+i)A s ^_ Qh-QB d_S
x x" "*" ' a" = — , ou je
^ T m — I '
remarque que ii Y on fait 1' oculaire egalement convexe
des deux cotes , on peut prendre -n" = — — , de forte
que le diamctrc de fon ouverture foit egal a la moitie de
fa diftance de foyer. Or pour rendre les determinations
plus gencrales , au lieu de la fraction — , qui repond a la
plus grande ouverture , j' ecrirai » , & je poferai t" =s
. — u. Pour la lettre v'\ puifque 1' ouverture du troilieme
verre n' influe point fur le champ , j' aurai it' — o , 6k
la lettre it ne pouvant etre prife negative , je mettrai it
ss= /3 « , oil il faut prendre /3 auffi petite que les circon-
ftances le permettent. De la nous aurons = -^- *>
Bt(£— AQ» r .*— M f
C D = — ! ^ />
I — c (# — AT ) (i -/?-»- Af )
& pour le lieu de l'oeil , la diftance D O = — , .
Or la formule , qui fert a detruire les couleurs d' iris, ne
fauroit etre remplie, puifqu'il faudroit qu'il fut — •
s= o , & partant ce fera un grand defaut de cette premiere
efpece de Lunettes.
VII. Or l'autre defaut, par raport au champ apparent,
eft encore plus considerable , fon demi-diametre
=
>» * i — c nm
s m ■+■ n
& pour le lieu de 1' oeil Z> 0 = — — s .
VIII. Si nous confiderons les diftances de foyer des rrois
premiers verres p , q, r, avec le grofliflement m, comme
donnees , nous en aurons n = tx c = ,
1 PI
d' ou le demi-diametre du champ apparent fera
r -L & les intervalles en-
.pq — (p — q)r rn
tre les verres, AS = /? , £ C =. ^TT? f, CZ? =
r(^^--g) ' v _^1_ + { ). Get arrant
gement des verres nous fournit done la commodite que ,
quarid meme on pourroit donner a /> une valeur tres-petire,
on pourroit fe fervir d' un oculaire , d'ont la diftance de
foyer fut auffi grande qu'on voudra.
IX. Pour rendre cet avantage plus fenfible , foit la di-
ftance de foyer de 1' oculaire-' donnee, s = k , & puiique
c mk mk l. v i j'.
= — , nous aurons c = -** , a ou les deter-
i — c p m>k -hp
minations de la Lunette ' feront les fuivantes :
Dift. de foyer Intervalles entre
du verre les verres
en A = p . AB = p
i i
en B = q = p B C =s — p
Dili de foyer Intervalles entre
du verre les verres
en C = r = C D = k
enD=s = k DO = ^-f k
m
oil le nombre n eft encore indetermine ; mais puifque nous
avons pour le champ apparent
=
— (|8 — M) u == — n
."-*- »e(i — c)
4f! ^ nc'
-G 52
'(1 -<)' X
qui
ne
doit
pas exc^der la valeur
de-"-
4k
, prenant x
en-
tre
4o
& 5
0 . 11 faut done qu'il
foit
ou,
4/»' *"
puifque -
c m k 0
K'" ( 1 —
mk
mk-t-p
, nous auro
1 — c f
mx3
(j
+ *
' (m k •*- p)> _^_ 7 (»t +/>)
r.m'k' nmmkk
1
XII. De la nons voyons que plus on prend petit le nom-
bre n plus la confufion fera augmentee, ce qui eft un nou-
veau motif de prendre toujours n > 1 . Enfuite comme
le fecond verre n' affecle point la confufion , on le fera
egalement convexe des deux cotes, pourqu'il admette l'ou-
verture que je viens de lui affigner , fur tout quand j'em-
ployerai p'ufieurs oculaires. Or pour le troifieme verre ,
comme il ne demande prefque point d' ouverture , il fera
bon de prendre \" = 1 , & puifque fa diftance de foyer
eft s= r , & C s= c , il faudra faire les rayons
de la face d' avant = ;
p f ■+■ ( 1 — • t)
ou les nornbres p & oil
comme j'ai remarque cy-deffus r la lettre » doit avoir une
valeur pofitive < a , & it = o . Done pour rendre le
champ aula" grand qu'il eft poffible , je poferai t = (8 u ,
»' = o , t" = — « , & it'" ess o , pour avoir , ou p=:./Vf, en pofant M =
m — i w — i
XIX. Soient enfuite les nombres, qui determinent dans
mes formules tant les diftances de foyer, que les interval-
les des verres :
tf = — ,, £ = —-, D — ~, E = oo
i — c i ■+■ a
B=oo,C = c, D ==■— , E=j.
d' oil nous tirons d' abord les valeurs fuivantes :
Bj — Af, ce qui four-
Af sb , & partant le demi-diametre du champ p
= a, qui eft le double du cas prudent, en don-
nant au nombre n la m£me valeur. Or nos formules
deviendront :
i
q = p
dM
r = — p
i — e d -t. n Mr
cd M
( i — *) (i +. J) x — nM
AB = p
BC = -/>
n
e d
DE= cd (^+0
(i — *)( , ^.^) ' (d + »M)(x — nM)P
& pour le lieu de 1' ceil £ 0 == i-r-, = — '~r
i — nM mm
oil les trois quantity c , & n feroiem arbitrages.
104
XXI. Mais il taut a cette heure tenir compte des cou-
leurs d'iris, qui evanoiiiront en fatisfaifant a cette equation:
B T
= — — a — \ -£-
i — f / -+• i /» I — * m
m _ < a ( / -- i ) _£_ £f£==. ' 40— i) >>
i — c 3/ — 1 w I — c 3/ — 1 m
tk pour le lieu de 1' oeil la diftance EO = — — — t, oil
2 i
le champ apparent demande de grandes valeurs pour le
nombre i , mais la longueur de la Lunette aufli bien que
la diltinftion en demande de petites , puifque ( §. XI.)
la quantite — = — '- doit etre fort petite par raport a
Tunite a moins qu'on ne remedie a la confulion, en dou-
blant le troifieme verre.
XXIII. Pofons outre cela X — = r. pour mieux
1 — c m x r
foumettre les verres oculaires a notre volonte , de forte , -
que = — , & c = , d' oil la fraction —
■ 1 — c p mz+-p m
(1 -4- - - y devroit etre afses petite , pour n' etre pas
oblige de doubler le troilidme verre. Done les determina-
tions general es pour ces Lunettes feront :
a = -p AB = p
' m -+■ /' '
BC=-LP
mz -t-p tn
Hi-fi)
c
3
io6
i ■+* I
pour le lieu de 1' ceil E 0 = r— t , & le demi-diame-
2. i
tre du champ apparent
sl
~~
m (i
■*• :
0
up
CR
—
t
tn
X
t
' 60
ou
DS
=
a s
=
1
a-
/•+■
•0
I
ET
. —
at
—
1
0-
■0
2. /
i
— pouces
uz
3* — 1 x
ou Ton peut prendre u = — , fi 1' on fait les verres /?,
D & E egalement convexes des deux cotes.
XXV. Si 1' on vouloit fe fervir tant d'un objeftif ordinai-
re , que du troifieme verre fimple , il feroit bon pour di-
minuer la confufion, de prendre £ beaucoup plus grand que
— ; mais puifque alors la diftance de foyer des verres
D & E deviendroit afses considerable pour les grandes
multiplications , ces verres devroient etre trop grands. 11
conviendra done de prendre un milieu , en pofant { =
io7
m
, & de dormer plutot aa verre obje£tif une plus gran-
de diilance de foyer p pour rendre la confufion infenfible.
Alors aiaqt c = — , on n'aura qu'a determiner la diilance
3
de foyer de l'obje£tif par cette formule p = -y- my (ni
Si)
pouces, & lui donner une ouverture dont le demidiametre
m
x = — pouces. Dans ce cas-, le troifieme verre C devien-
dra aufli egalement convexe des deux cotes. Or en fuppo-
iant la raifon de refrattion de 1' air dans le verre , com-
me i , 54 a i , il fera bon de former l'objeclif enfbrte ,
i j i r f de devant = o , 60840 p
que le rayon de la race ■< , , ' lr'J "
* J \_ de dernere = 4 , 79810 p
Pour les autres verres. egalement convexes des deux cotes ,
la dirtance de foyer etant = q , on prendra le rayon de
chaque face = 1 , 08^.
XXVI. Cela pofe nous aurons les determinations fuivan-
tes pour la conftruftion de ces Lunettes , en prenant a
Diftance de foyer
du verre
, pouc
1 A . . p — ~mv Qn+8i)
4
1 B . . q =
Demi-diametre de
1' ouverture
m
6^POUC
' P
AP = x =
CRz=
-z DS =
3/ — 1
2 ET =
a ( / -»- 1 ) m
i
— pouces
_' — 1 , P
1 (i -t- 1 ) m
i~l . >
i(3'— 0 m
Intervalles enrre
les verres
AB = p
BC^t.t
m
CD =(i— i)£
m
_ 4(i— 1 ) _
1
1
DE =
E0 =
£
m
. P
i(j» — 1) m
3"
i i-
io8
hi longueur de la Lunette A 0 — p H '- — r- — r- • —
° ' t ( 3 / — i)ot
& le demi-diametre du champ apparent
; .
XXVII. Le nombre i etant encore permis a notre
choix a l' egard du champ apparent , il feroit bon de le
prendre fort grand , cependant h" on Faugmentoit a 1' infi-
ni , on n'en tireroit que m = — , & la Lunette deviendroit
1 i m
a deux egards infiniment longue , puifque la diftance de
foyer de 1' obje£tif devroit aufli etre prife infinie. Mais
prenant i = i , a caufe de
£7 = --p
IOOT '
IO9
Intervalles entre
les verres
AB — ?
BC = -r>
C£> = -p
at '
DE = -I/.
£0 -
done la longueur de la Lunette A 0 = p
10m
4'
IOOT
& le demi-diametre du champ apparent = — ou de
— - minutes , d' ou il eft aife de tirer pour chaque mul-
m
tiplication propofee les mefures exprimees en pouces , &
d'y regler la conftruftion des Lunettes.
1 ° Devis (Tune telle Lunette qui grojfit 1 o fois.
XXIX. A' caufe de m = 10, nous aurons p = — ^34
= 14,3 pouces , prenons done p = 1 5 pouces , puii-
qu'il vaut mieux de la prendre plus grande que plus petite,
& nous obtiendrons les mefures fuivantes en pouces.
Dift. de foyer Rayons
des verres des faces
Demid. de
l'ouverture
en A =
15, 00
en
B =
4,
l7
en
C =
*>
5°
en
D =
1 >
67
v-1 1 9» 9 5
en £ =
1, 00
5
4, 5°
x, 70
1,80
I, 99
AP =
.0, 17
Intervalles entre
les verres
y^i? ;= X J, . 00
2?<2=
CR =
0,
0,
8j
°3
DS =
ET =
0,
41
»5
£c =
C£> = x
£>£ = x ,
EO = 0, 7$
5 5 00
5°
00
I IO
la longueur de route la Lunette AO = 3-5 ,. 25 ,, & Ie
demi-diametre du champ apparent = 114' = 1% 54'.
z° Devis -7J
1,83
1,10
I
Rayons
des faces
33, 47
v.163, 90
5> 40
*> 97
1,98
19
Demid. de
l'ouverture
AP^o, 33
^Q = °> 91
Ci? = o, 03
D S = o, 46
£r == 0,17-1
la longueur de toute la Lunette A 0
demi-diametre du champ apparent = 57',
Intervall. entre
les verres
AB =
BC —
CD —
DE =
E0 =
66 , 27 ,
if, 00
*>75
2, 20
o, 82
& le
30 Devis ct une telle Lunette- qui grojj'u 30 fois.
XXXI. La valeur m= 30 donne p = —^54 = 85;
done
Dirt, de foyer
des verres
en A — 8$
en B = 6, 5 o
en C = 2, 93
en D = 1,95
en £ = 1, 17
Rayons
des faces
5/ 53,
V^4",
M
5> 94
3, 16
2, 11
1, 26
Demid. de
l'ouverture
AP —
50
i?<2 = o, 98
Ci? = o, 03
Z251 = o, 49
ET = o, 29
Inter valles entre
les verres
AB = 88,00
5,86
2>93
2> 3 4
o, 88
BC =
CD =
DE =
£0 =
la longueur de toute la Lunette AO= 100, 01 ,
demi-diametre du champ apparent = 3 8'
& Ie
Ill
XXXII. Si les verres objefjtifs quoique fimples etoient
fi excellens , qu' ils admifTent une plus grande ouverture ,
& qu'ils pufTent etre employes a des plus grands groflif-
femens , alors on pourroit prendre pour les cas que je
viens de developpcr , des objeftifs d' une moindre diftance
de foyer que je n'ai marque , & dans ces cas on n'aura
qua diminuer toutes les mefures dans la meme proportion,
excepte les ouverrures de l'obje&if, & du troifieme verre.
Or (i 1' on doubloit le troifieme verre de la maniere que
j'ai indiquee dans le §. XV., pour diminuer la confufion,
on pourroit bien donner a 1' objeclif une moindre diftan-
ce de foyer, & enfuite conformement diminuer les autres
mefures. Je dois encore remarquer que dans 1' application
a la pratique j' ai pris p = — m^ (m •+• 14) au lieu
de p r= — m $ ( m -+• 1 6 ) , que la pofition i sss. .%
4 ►
donne , pour tenir compte de la confufion qui nait des
deux verres oculaires , qui fournit a peu-pres cet exces ,
mais on ne fauroit ici rien prefcrire de precis , puifque
tout depend de 1' adrefle de 1' Artifte.
XXXIII. Mais fi l'Artifte eft afses habile pour executer
les objeftifs compofes, dont j'ai donne ci-deflus la defcription
( §. XVI. ) , de forte que toute confufion puiffe £tre re-
duite a rien, alors la diftance de foyer de 1'objeftif p fe
determinera uniquement par fon ouverture, dont le demi-
■. , , nt . Tn
aiametre etant x = — pouces, ou meme x = — poli-
ces, on pourra bien fe contenter de prendre p = — pon-
ces, de forte que — = — . Alors pour que le verre ocu-
laire ne devienne pas trep petit , il fera bon de prendre
I II
c = — , ou = j , & alors la confufion du troi-
4 x —-t
* i
fieme verre contenue dans la formule — ; ne fera pas trop
mc
a craindre , quand meme on prendroit ce verre fimple ,
& egalement convexe des deux cot<£s , fur tout en fuppo-
fant comme auparavant i = 2 , la conftruftion de 1' ob-
jeftif etant telle, qu'en approchant ou eloignant d'avantage
les deux verres dont il ell compofe, cette confufion avec
celle des autres puifle etre aneantie.
XXXIV. Pofant done p = — pouces , c = — & i =
i , nous aurons les mefures fuivantes pour la conllruclion
de ces Lunettes :
Demid. de
1'ouverture
]
3ilt. de foyer
du verre
en
A
=/>=
m
— pouces
en
B
r%
m
OT-f-2
en
C
= r =
4
en
D
i ' j* ,,,„
i
en E =* = —
5
4
20
Intervalles entre
les verres •
A B = — pouces
£C= r
2
J
20
£0 =
Ces , le demi-diametre du champ apparent etant
done la longueur de la Lunette A O = H 4 — pou-
1 146
m
minutes.
XXXV. De la il eft clair que nous pouvons bien don-
* , , „ 6
ner a -
— une valeur plus grande, & pofer c = —
&
XI3
& alors rien n'empeche qu'on ne prenne i = 3 pour augmen-
ter un peu le champ apparent. Or ces pofitions nous four-
nillent les mcfures fuivantes :
Dift. de foyer
du verre
a m
en A = p = — pouces
Demid. de
l'ouverture
en B = q =
en C = r =
3>»
i {m ■
7
3)
en D = s= 3
en £ — f = —
z
m
60
J_
16
1
10
4
8
Intervalles entre
les verres
AB=^
2.
BC=±
.2
C\D = 6
DE =
pouces
£0 =
done la longueur de la Lunette AO =
m
1 1
ces
pou-
& le demi-diametre du champ apparent =
minutes. - •
Cette hypotheTe paroit de beaucoup preferable, a la prece-
dente , parceque tous les verres ont ici plus d' un pouce
de foyer , & caufent par confequent une d' autant plus
petite confufion, & celle du troilieme pouvant £tre detrui-
te par la construction de Fobjeclif enfeignee dans le §. XVI.
XXXVI. Au refte je ne dois pas oublier de faire ob-
ftrver un tres-grand avantage, 'que le troifi^me verre pro-
cure a cette efpece de Lunettes par la tres-petite ouver-
ture , que ce verre admet fans que le champ apparent eh.
foit diminue. Car cette. petite ouverture ell le moyen le
plus propre d' exclure les rayons etrangers-, & il ell fans
doute beaucoup plus efficace que les diphragmes , dont on fe
fert ordinairement dans cette vue ; car on ell oblige de les
placer dans les liegx oil les images font representees r &
P
H4
partant leurs trous ne fauroient etre plus petits que les
images memes. Or comme le fecond verre QBQ fe trou-
ve precuement dans le lieu de la premiere image, il tient
lieu d'un tel diaphragme , mais Ton ouverture qui repond
au trou du diaphragme , eit bqaucoup plus ' grande que
celle du tro.ifieme verre. Par cette raifon il eft bon de ne
dormer a ce verre que la petite ouverture , que je lui
viens d' affigner , quoiqu'a d' autres egards une plus gran-
de ne cauferoit aucun inconvenient.
Des Lunettes de -cette efpece a 6 vetres.
XXXVII. Je marquerai les diftances de foyer de nos
fix verres par les lettres p, q, r, s, .t & u, & les demi-
diametres de leurs ouvertures :
JP=x, BQ==Ttq, CR=x'r, DS=7t"s, ET=Tt"'t,FU=Tt^u;
puifque le diametre du champ eft , en pofant
M=- — . Enfuite foit:
m — i
B = —i, C=z — — , D= — _, , E = — i, F — oo
.1 — c i -t- a
B=oo, C ae'f, D= — d , E=oo,F = i
•& pofons les formules , qui en font formees :
Q = B Tt
A — ~ i+, a> R — ^T"
n6
S '
F s= o ; or — = —-- , & fr =
1 T m (/ -f- i ) V
i * .
— — , d' ou nous tirons les determinations fuivantes :
fM
/»
: :/>
AB = p
r =- p
m
3(/— i)
i — e
c
i — c
c
i — e 4/ — z
£C = -p
CD = — — (i—i)l
1 — c . m
DE —
EFr=z
l — c
c
1 C *i 2
30— 0 .£
4/ — 1 »»
3(i— i) ^
Its
& pour le lieu de F ceil F 0 = -^— z/ , & le demi-dia-
3-*
metre du champ © = — - - — - a .
/»(/.+. 1 )
XL. Quand on fe fert d' un objeclif fimple , en faifant
Jes rayons des faces { df ^evant = °' 6o!49 ^ , il
J \_ de dernere = 4, 79810/5 ■
taut prendre p = — mj/(m-+--s) pouces. Je m' en
vais done developper les hypothefes fuivantes :
ire Hipothefe i — z & c = — .
Demid. de
. Dift. de foyer
des verres
enA—p= — m^(^4-zo)
4
en£=a= p
;» -+- 1
1' ouverture
m
60 '
BQ = — p
CR = — p
30 »
Interval, entre
les verres
AB = p
BC =-^~p
m
CD =~p
Dirt, de foyer
des verres
Ql\D=S— — "
en E =t=
m
i
m
i
en F=u= —
x m .
Demtd. de
1' ouverture (
DS =~ p
4m '
4m '
»»7
Interval, entre
les verres
DE =±-F
xm c
E F = ~p
x m '
FG = -i-»
'7
done la longueur de la Lunette ^0=pH p , &
le demi-diametre du champ
=rj= — p
w l
en£=/=— — p
10m
en F=u= — p
5 «? *
Demid. de
1' ouverture
m
AP =
60
CR =
To?
DS =-^p
4 mr
ET=^-P
40 m '
Ftr = -}—p
10m '
Intervalles entre
les vew es
AB = p •
BC
m
done la longueur de toute la Lunette AO =p
DE = ±-P
EF=±p
FOssJLp
149
Pi
& le demi-diametre du champ m = — %— ou bien
=
£>£ =
££ =
5
done la longueur de la Lunette AO =
m
2
_ 9
AT- £
3
1
•4- 10 — pou-
ces , & le demi-diametre du champ
S =
T J
fr = 7r'"f , /I/ = ttxvw , G^" ==»vv, puifque le demi-
diametre du champ eft
=
1 -+■*
B=oo, C = c, D = — ,
_ E == — e , F = / , G = i i
d' oil nous tirons Ies valeurs fuivantes :
<2 = B*- — a — BjSoi .
i? =,0' -, 7T -+-
S—Dtt' — ir -t- ir —
■
pour fatisfaire a cette equation , puifque — 7 > S, & —
U>V, pofant S=F, & — r= — Eft= ^,ouj;>i".
Soit pour abreger j3 = ( i -+- n ) A/ , de forte que j8 -—
M = n Af & M = — — , & foit « = -, pour avoir
M = -j^—, d - M= -4- •& 0 = ^^ de
la nous aurons :
V=,*L,S=± (^-4-^),,=^, donc<* = ^
/-(-I f-t-I ; -+- I
-i_ w , &: p = B-4/w^i}, d'ou
tirons les valeurs fuivantes:
Ill
9 B* ' e ' =- »-
7/3
XLV. Soit done pour la premiere hypothefe i = 2 &
U
3
les determinations fuivantes: q
<£ = z, de forte que e = 5 , &/= — , & nous aurou5
tit
r=w-A iTi? = — pout, BC — z ■ £9
t» 30 r m v
4 £,DS**±,S CD=-'-.ty
1 — t 3 m 4 1 — c M
t =-c-.l^.L,ET = ^t, DE = --.± ■ >,
1 — c 7 m 4 j — c 7 j»*
I £ 9 OT 4 I * 21 78
v = • — - -, GZ7 = — v, /(? = • — • - .
1 — c .33 /» 4 1 — <■ 33 m
Pour le lieu de Toeil GO =yv, & le demi-diametre
du champ © = - — , ou men s> = minutes.
r v 3 0* *»
g
XL VI. L' autre hipothefe i = 3 , en prenant £ = -,
de forte que = 8, & f = 7 donne les determinations
fuivantes :
r = c • 3 - t CR =-, BC = * - Z
c p
2 -
4 1 — <■ w
1 — c m ' 4
1 — c m 4 1 — c 1 z m
1 — c 9 ot 4» 1 — c 9 /»
v — ' — - GV = - v FG = -— — -
1 — * 8 1 m ' 4 ' 1 — ,
V v/
r = a , 7r
pour avoir , ou bien m = Ma, po-
r m — i
fant Af = -. Enfuite donnons aux indices des verres
m — i
les valeurs fuivantes-:
B = -i, C = -^_, D = -=^,
i — c i -*• a
B = oo, C = c , D= — d ,
E = — e , F = oo , G = |r, Hssi,
& de la formons les expreffions fuivantes :
() = B tt — p = B /3 o> , a .caul'e de B as= oo ,
£ = Ctt' — t -+- 9 = — ("|8 — M ) — — •
d' oil nous trouvons les determinations fuivantes :
q = -±-p, AB=p,
f = c:--;, BC
. P
m m
i — c m' i — c v ' m7
( d e p r>r_ c d £~ 1 p
r m ' i — r i +// £
I — * !-+• ,£ m ' i—s i+d
c • d e 5/ p
1 — c 1 -t-d I-t-^ j-i-I /» '
~ 1 — e 1 h- d \ +• e £ »'
w1
116
i — * i -t-rf1 i -i-f £ « *
i — c \ -*- a i -¥■ e £ ;»
c d e g />
w = • j • • — »
i — c i -+• a i ■+■ e g— i m
i — c i ■+■ d i •+- e i — g £ *» '
& pour le lieu de T ceil la diftance HO = — — w , le
5<
demi-diametre du champ etant m = — — a .
1 «»(_/-»■• i )
L. Confiderons ici trois hipothefes , puiiqu'il vaut bien
la peine examiner auffi le cas i — 4 .
-• . 1 f i°£ — *
1 ° Si 1 = 2 , on aura d = — , e = * ,
3 3
1 o r-r- 4 10
^ = — a , 4
q = ~— , ou tt= mm.
o m m
iVfi i -bs 3 , i =: i- , « a= ^ , £ = ~ ,
4 1 — c 56 »*
— * j m1 4 1 — * 50 /*
11'==
— *
&: pour Ic lieu de l'ocil HO = -!«/= — — .~.Z
r io i — c oi m
le demi-diametre du champ etaut de
m
9'
minutes.
LII. Quanci on fe fert d' un obje£tif compofe , il con-
viendra de prendre c
; mais n'en employant qu un or-
uiuduc , jc vuuuiuis pienuit
5
1
i
C 2 *
& on aura les mefures fuivantes :
Distances dc foyer
Demid. de
Interval, entre
des verres
l'ouverturc
les verres
en A =p = — my (m + i o)
4
60
AB = p
2
en B = = p
^ 6
I
m
BC= 2 - I
m
r 6 P
en C = r = — - —
j m
30
2 m
2 W
^=1-
I
»2
32 m
16 /.'.'
ET=:~^- -
64
t
m
en *W=* Zl-.|
25 OT
112
i
m
112 m
en G = v = — ' • —
7 3W
«-«£■
P
m
91 w
en H = ws=~ • -
91 /«
*p"& •
I
m
91 m
qu'on appliquera aifement a chaque cas propofe.
2* Hipothefe i = 3 & £ = 2 .
LIU. En fe iervant d' un objectif iimple il faut pren-
dre
m J (m
*
7), pendant que la diftance de
Foyer
129
foyer d'un objcftif compote, peut tkre prife p = — pou-
2.
ces. En voici les determinations pour T un &r 1' autre cas:
q=JUv BQ=^-^,AB
c • 3
c
u =
w
-L1L . £
56 m
7M P
jo8 /»
iiH £
1848 m
4389 m
16 m
: — pOUC.,£C = 3 ^
10"
4
&c.
m
CD = —
DE = -—
1 — r
EF =
FG =
I — c
c
I — c
£
I £
3ZII
Pour le lieu de V oeil i/0 = — w & a =
15 T ;»
m
. ± . I
46 1 _>n
462 m
UH I
' 8778 ' m
minutes.
L1V. Quand on fe fert d' un obje&if compofe , oil —
01
= — pouce
on
3
prendra commodement c = — , mais
4
en employant un obje£tif fimple , je fuppoferai c = — ,
& on aura les mefures fuivantes:
Dill, de foyer
des verres
en A=f=.—my (/72-Hiz)
4
en B = q:
w-^3 *
m
Demid. des
ouvertures
m
AP =
60
pouc,
^ 16 m
Intervalles errtte
les verres
AB = p
BC = 3
CR =— pouc.CZ> = 4 • ■£
1 30.
Dili de foyer
des verres
en D =i= 5 • —
' m
en E.= t
_ U5
a8
P
m
I
154 m
£__r__I3_3_5 P
924 m
6670 p
DS =
&c.
en i- = « = ■ -
en
Demid. des
ouvertures
5 P
m
Interval, entre
les
verres
£>£ =
:X :t
' 7 "*»
EF =
,'4-5
' 13'
FG =
..iil .
" *37
GH =
3335
"4389 '
I
m
H0 =
' J3167
.en H=w==
4389 w
La feule difficulte qu'on rencontrera dans 1' execution-, fe
trouvera dans la grandeur des verres oculaires, dont l'ou-
verture peut paffer plufieurs pouces dans les grands grof-
iiffemens,
3"" Hipothefe i sss 4 & J^ = 2.
LY. Lorfque 1' objeftif eft fimple , il faut prendre £1
diftance de foyer p = — m^ (m -i — - ) pouces, pendant
4 c
que pour Oft compofe il fuffiroit de prendre p = — pon-
ces. Les autres determinations font
ir^^n
BQ
AB =
>~
♦•£.
m
1
CR = — pouc. BC
t
m
~ 1— ( 3
m 4
C^=.
1-
3 " ™
&c.
£/" =
>— f
P
I — c
c
W
m
P
m
GH =
j4
1 — c 5 m ' i — c 5
Pour le lieu de 1' ceil la diirance HO = — w= x
*3*
1 — c 3 m
C 1 £
7tl
— X — , le demidiametre du champ apparent etant
-t-4 "
enB = g = -—
en C = r = 2
en D = j= 3
en E = t = 3
3
en G = v = 1 - ■£■
enH=» = ± ■£
P
m
P
m
P
—
m
P
m
P
m
P
m
Demid. de
l'ouverture
AP = £P0UC-
BO =1
^ m
CR = --pouc
DS = -3 - £
4 m
= i .1
4 m
FU =-
3
1
cr =
hw=- .
rn
I
m
I
rn
Intervalles entre
les verres
BC — 4
CD= 3 .£■
DE = ±
. 8
V
rn
£
m
P
m
I
m
EF = ~ ■
3 m
GH = ±.'
« m
HO —
if*
Done la longueur de la Lunette AO = p -+- % —^ X
° 'no
-I— ; d1 oil je tirerai les devis fuivans pour la pratique.
LV1L Mais j' obferve avant toutes chofes que dans le
cas de huit verre les deux premieres hypothefes , oil i
= i & i = 3 ne fauroient avoir lieu dans la pratique,
puifque le fecond verre B devroit avoir une ouverture ,
dont le demi-diametre furpafsat la quatrieme partie de fa
dillance de foyer. Ce meme inconvenient a bien encore
lieu dans la troifieme hypothefe, mais des que le groffif-
i'ement ell confiderable , la quantite B Q furpafle ii peu
— q , que la figure ,du rerre pourroit bien admettre une
telle ouverture. Suppofons que ce verre puiffe fouffrir une
ouverture dont le demi-diametre B Q =? — q , & nous
aurons — = — ; p , done m = 1 1 , ou des que
m 3(**4.)/' _ ■
le grofuiTement m furpafle i i ., F execution fera poflible .
II en eft de meme des Lunettes a 7, verres, ou 1' hypo-
thefe i = i ne fauroit avoir lieu , & pofant i = 3 , il
faut que le groffiuement m furpaiTe q pout que le demi-
diametre de F ouverture BQ devienne plus petit que le
tiers de la diftance de foyer q. Or dans le cas de 6 ver-
res F hypothefe i = 2. n1 a lieu que lorique m ;> 6 ,
mais F autre i = 3 dorme toujours B Q = 9.
A
Deris £ une Lunette a % verses qui grojpt if fois.
'3*
en F =
7, 11
en G — 5,33
en H = 2, 1 3
9, 09
5»7<5
8,64
8,64
7,68
5,7<*
3°
x, 67
0,07
z, 00
2, oo-
1,78
',33
53
Intervalles entre
les verres
LVIII. II faudra bien prendre p = 40 pouces, & alors
ies mefures feront exprimees en pouces,
Dili de foyer i Rayons Demid. de
des verres | des faces Touverture
en ^ ^40, oo< *4»34i 0,15
en B = 8, 4Z
en C = 5, 33
en 2? = 8, 00
en E = 8, 00
la longueur de route la Lunette A 0 —
le demi-diametre du champ apparent =
AB
BC =
CD " =
£>£- =
££ =
£G =
GH —
HO =
63 , 05 .
e '
} » 49
40, o*
*o, 6j
8,o»
i, o»
0, 89
0,89
1, 07
°>5J
Devis £ une Lunette a 8 ver/v* jw: grojfis ij /w>.
LIX. On prendra /> = 7 5 pouces , de forte que
ais 3 pouces , & on aura les mefures fuivantes :
Dill.de foyer j Rayons
des verres | des faces
tx\B= io,j4 f 11, 17
6, 48
-9, 7*
•9> 7»
8,64
6,48
**5S
AW
en C =
6, 00
en/? =
9, 00
en £ =
9, 00
en jF =
8, 00
en G =
6, 00
*nJ/ =
*j 40
emid. de
IntervalL entre
xiverture
les verres
0,42
AB = 75, 00
3, 00
B C = 12, 00
0, 07
CD= 9,00
a, »5
Z)£ s= 1,12
2, 25
E F z= 1, 00
2, 00
/"G = 1, 00
1, 50
G//= 1,20
0,$P
#0= 0,60
'34
la longueur de toute la Lunette AO = iod , 91 -~-
le demi-diametre du champ apparent = i° 1 j.
Devls iT une Lunette a 8 verres qui grojfit 5 o fois.
&
LX. On prendra p = 166 — pouces ,
de forte que —
= — pouces , & on aura
es mefures fuivantes :
Dirt, de foyer
Rayons'
Demid. de
Intervalles entre
des verres
des faces
louverture
les verres
en A == i7°
0,83
AB =166, 67
en5= n, 34
>3> 33
3> 33
B C — 13, 33
en C = 6, 67
- 7> 10
0, 07
CD = 10, 00
enD = 10, 00
10, 80
2, 50
D E — i, 2j
en E = 10, 00
10, 80
2, 50
E F = 1, 1 1
en i7 = 8, 89
9, 60
2, 22
FG = 1, 1 1
en G = 6, 67
7, 20
i* 67 .
G# = 1,33
en H = 2, 67
2,88
0, 67
7/0 a 0, 67
la longueur de toute la Lunette A 0 = 195 , 47, & le
demi-diametre du champ apparent = i° , 8'.
LXI. Comme la grandeur des verres pourroit arreter
l'execution , en cas qu'on veuille fe contenter d'un moin-
dre champ qui furpafle pourtant encore le double de
celui , qu'offrent les Lunettes ordinaires, les plus commo-
des de ces fortes de Lunettes femblent celles qui contien-
rent 6 verres , ou pofant / = 3 , je prendrai c a —
pour eViter de grands verres, ce qui fournit ces deter-
minations.
Dift. de foyer
des verres
«n^=/>= — m f(m-hi4)
4
en B—g— — - p
a„ r IP
en t =/■= — • —
z m
2 m
zo m
en F—u= 5 ^
5 «»
Demid. de
l' ouverture
/7J
AP = A-~P°UC
6o
zo
ET =
lo"
J_
zo
TK
I
m
I
m
I
m
»J5
Intervalles entre
les verres
AB = p
bc «*;-£
CZ? = z-^
DE = ±
5
J-
5
4
£0 =
M
7W
& le demi-diametre du champ apparent = minutes.
Deyis =
en E =
en £ =
5»77
3» 75
3,75
3, 37
5°
Rayons
des faces
L™9> 95
6, 23
4,05
4,05
1, 61
Iniervall. entre
les verres
0, 17
1, 40
0,05
o, 94
o, 84
0,38
AB '== 25, 00
BC= 7,^0
jCZ? =- 5, 00
DE = 1,50
£ F = 1,50
£0 = 0,67
Done la longueur de toute la Lunette A 0 = 4 1 , 17 pouces,
& le demi-diametre du champ apparent 3% 13'.
Devis (T une Lunette d 6 verres qui grojfu 1 5 fois.
I
m
LXIII. Je prendrai p = 40 , d'ou —
mefures feront :
Rayons
Dill, de foyer
des verres
enA=z 40 , 00^
des races
M, 34
«9Jk9J
7, 10
4, 31
4, 3*
3,89
*> 73
la longueur de toute la Lunette A 0 =
& le demi-diametre du champ apparent
tnB—
enC=
en£ =
en ir=
<5, 67
4 > 00
4 > 00
3 > 60
1 , 60
Demid. de
l'ouverture
0, 15
1, 50
0, 05
1, 00
0,90
o, 40
= — , & ks
3
Intervalles entre
les verres
AB =
40 , 00
BC =- 8 , 00
CX> = 5,33
DE = 1 , 60
£F =
/0 =
60
7»
j 7 , a 4 pouces,
= i% 9 .
Devis £ une Lunette a 6 verres qui grojjit 20 fois.
LXI V. Je prendrai p = 5 5 pouces , d' ou ~ ~
& les mefures font :
11
Dill, de foyer
des verres
en^=5j , 00 «
enB = 7,18
en C= 4, ,2f
enZ> = 4, 117
en£= 3, 7,
en F=i 1 . 6 j
°> 33
0,05
1,03
°j 93
o, 41
Interval, entre
les verres
AB = 5j , 00
8, *5
Rayons Demid. de
de; faces l'ouverture
33>46
.163, 90
7>75
4,45
4,45
4,°5
1,78
la longueur de toute la Lunette A 0 = 72 , 78,
derru-diametre du champ apparent = i°, 36'.
CD =
DE =
&F =
FO =
5 » 50
1 , 65
1 , 65
°» 71*
& li
Devis
1
Devis 57
B C = 8, 40
0, 05
CZ> = 5,60
1, 05
DE = 1, 68
°>95
EF = 1,68
0, 42
£0 = 0, 75
nte AO =
88, 11, & le
la longueur de toute la Lunette A O
demi-diametre du champ apparent = i°, 17'
Devis °-r
° »
4 ,
4 ,
4 ,
5°
5°
°5
80
Rayons
des races
5 4, 77
l_ 4 3 : » 8 4'
8,84
4,86
4,86
4, 3 7
Demid. de
'ouverture
0, 50
1, 69
o, 05
*> n
1. 01
Intervalles entre
les verres
AB
BC =
CD =
DE =
EF =
FO =
90 , 00
9 , 00
6 , 00
1 , 80
1 , 80
en £•= 1 , 80 1,94 o, 4j FO = o , 80
la longueur de la Lunette A O = 109 , 40, & le demi-
duimetre du champ apparent = i°, 4'.
»3«
Dcvis (Tune Lunette a 6 verres qui grojjlt 40 fois.
LXVII. Je prendrai ici /> = 120 pouces , d'oii -—3
pouces Sec.
Dill, de foyer
des verres
e\\A =
en£ ==
en C =
enD =
en E =
en .F
I 20
00
-r
Rayons
cks faces
73i 0i
8, 37
4, 5°
45 50
4, °5
80
575*78
9, 04
4,86
4,86
4, 37
94
Demid. de
l'ouverture
o, 67
*j 69
o, 05
'> J3
1,01
45
Interval, entre
les verres
AB
BC =
CD =
DE =
EF =
FO =
I 20
9>
6,
1 -
OO
OO
80
80
80
la longueur de toute la Lunette AO = 139, 40, & Je
demi-diametre du champ apparent =; 48'.
-
Devis £ une Lunette a 6 verres qui grojjlt 50 fois.
LXVIII. Je prendrai ici p =? 160 pouces, d' oil
m
= — &c.
<
J
Dill, de foyer Rayons
Demid. de
Intervall. entre
des verres | des faces
l'ouverture
les verres
en A = 160,00/ ?7'3<5
0, 83
AB = 1 60, 00
i-767, 7i
en B = 9, 06
9> 79
1, 80
BC = 9, 60
en C = 4, 80
5, 18
0, 05
CD = 6, 40
en i) = 4, 80
5, 18
1, 20
DE = 1,91
en £ = 4, 3 1 ■
4, 66
1, 08
EF = 1, 92
en i* = 1 , 91
1, 07
0, 48 .
£0 = 0, 8 5
Done la longueur de la Lunette AO = 180 , 69, & lg
demi-diametre du champ apparent = 39',
139
LXIX. J' ajouterai encore de femblables devis pour des
Lunettes a .7 verres , en evitant les cas , ou les verres
deviendroieut trop grands. Pour cet effet je fuppoferai dans
les determinations du §. XLVI. la lettre c = — , ou a
caufe de i = 3 , la diilance de foyer de 1' obje&if doit
etre'prife p = — m y> (m •+■ 24 ) , & les mefures , pour
4
chaque groffiflfement =my doivent etre tirees des formu-
les fuivantes.
en B = 7 = — — p,
1 w-t-3 ' 7
AB = p
en C=r = ±ry
2 m
CR = — ,
20
BC= 3 - t
_ p
en D = s = 2 - — ,
m
2 *»
CD = 2 - t
m
27 P
en t = t = 2 • — -
m
4 «»
12 m
en F =u = — • — ,
9 m
15 /»
EF = ± .1
9 *«
r ">6 P
81 »> '
FG^.l
01 w
& pour le lieu de P ceil la diitance G 0
_ _5^_ m f_
243 /»*
Or le demi-diametre du
champ apparent;
2578
= — - — minutes,
m
d' oil je deduis les devis fuivans.
Devis £ une Lunette a 7 verres qui grojfu 1 a jois.
LXX. En prenant done ici p = 25 pouccs , de forte
que - = — , on aura ies mefures fuivantes en pouces:
»»J.
140
Di(V. de fo)'er
Rayons
Demid. de
Intervalles entre
des verres
des faces
l'ouverture
les verres
. f 15,11
en A = 25, oo< "
en 5 =3 5, 77 6, 23
0, 17
1,87
AB = 2 5, 00
B C = 7, 50
en C = 3, 75
enD = 5, 00
en £ = 5, 00
4, 05
5 1 40
5> 40
.0, 05
'> *5
CD = 5, 00
D E = 1,04
E F = 1, 1 1
en i7 = 3, 89
en G = 1,73
Done la longueur
4, 20 j 0, 97 \ FG = 1, 08
1, 87 j 0, 43 GO = 0, j8
de toute la Lunette A 0 = 41 , 31,
6c le demi-diametre da champ apparent jtsa 40, 18'.
Devis cC une Lunette a 7 verres qui grojfit 1 5 fois,
LXX1. Je pofe pour ce groffifTement , comme aupara-
ft Q
vant p = 40 pouces , de forte que — = — , & de la
on aura les mefures fuivantes :
Dill:, de foyer
des verres
Rayons
des faces
Demid. de
l'ouverture
en A =
en B =
en C =
en D =
en E =
en F =
en -G =
40, 00^
6,67
4, 00
b 33
5> 33
4, M
1,85
24,
34
9*»
93 .
7»
20
4>
32 1
5>
76
5'
76
4,
48
»)
00
O, 2
5
2, 00
9, 05
»> 33
*> 33
1, 04
o, 46
Intervall. entre
les verres
AB=z
BC =
CD =
£>£ =
££ =
FO =
GO =
la longueur de toute la Lunette AO = 57, 39,
demi-diametre du champ apparent = 20, 5 2'.
40, 00
8, 00
5> 33
1, n
1, 18
o, 61
& le
Devls dune Lunette a 7 verres qui groflit 10 fois
141
LXXII. En prcnant ici p — 55 ponces , 46
k-163, 90
°> 3 3
AB = 5 5 , 00
en£ =
7,18
7,75
2, 06
B C — 8 , 25
en C =
4, 12
1
1
4,45
0, 05
CZ> = 5 , 50
cnD =
5> 5°
5, 94
1,38
DE = 1 , 1 5
en E =
J> 5°
5> 94
1,38
E F = 1 , 22
en /" =
4, 28
4, 61
1, 07
.FG =1,19
en G =
1, 90
2, 05
0, 48
GO = 0, 63
la longueur de toute la Lunette AO = 72 , 94, &le
demi-diametre du champ apparent = 20, 9'.
Devis £ une Lunette a 7 verres qui grojjit 2 5 fois.
LXXIII. En fuppofant comme auparavant p = 70 pou-
ces , de forte que — = — , nous aurous les mefures fai-
m 5
vantes :
Dift. de foyer Rayons
des verres des faces
en A =
en B =
en C =
en £> =
en E =
enP =
en G =
r 42, 59
v_336> <>7
7,5°
4, 20
5,60
5,60
4, 36
>>94
Demid. de
l'ouverture
0,41
8,
10
4,
54
6,
°5
6,
°5
4,
71
*>
«o
0,05
I, 40
I, 40
I, 09
0,4?
lntervall. entre
les verres
AB = 70, 00
BC= 8,40
5, 60
1, 17
1, 24
1, 21
P, 65
DE =
EF =
FO =
G0 =
i4i
la* lorrgusw de toutc la Lunette AO = 88 , 17 ,
demi-dumetre du clump apparent i°, 43'.
& le
Dcvis £ une Lunette a 7 verres qui grojfit 30 fois.
LXXIV. La diltancc de foyer de T obje6Uf* etant prife
p = 90 pouces, de forte que - = 3 , on aura les mefu-
res fuivantes :
Dili, de foyer Rayons
des verres desfaces
en A =
en B ==
en C =
en £> =
en £ =
en i*1 =
en G =■
90,00/" >4'77
v_43'> 84
8,84
4,86
6,48
6,48
5>°4
8,
18
4.
5°
6,
00
6,
00
4,
67
1,
07
Dcmid. de
l'ouverture
0,50
0, 05
1, 50
1, 50
'> l7
5*
Intervall. entre
les verres
AB =
BC =
C£> =
£>£ =
£/- =
£0 =
G0 =
90, 00
9, 00
6, 00
'> 33
1, 19
69
la longueur de toute la Lunette AO = 109, 56, ckle
demi-diametre du champ apparent = 1", 16'.
Devis ct une Lunette a 7 verres qui grojjlt 40 fois.
LXXV. En prenant ici, comme ci-deffus , p = no pou-
ces , de forte que — foit = 3 , on aura les mefures fui-
vantes :
Dill, de foyer
des verres
Rayons
desfaces
1 r 7?, 01
en A = 110, oo«< /;" „
075>78
en B =
en C =
37
5°
9, 04
4,86
Demid. de
l'ouverture
o, 67
0,05
Intervalles entre
les verres
AB =
B C =
CD =
no, 00
9, 00
6, 00
MJ
Rayons
Demid. de
Intervalles cntre
desfaces
Touverture
les verres
6,48
1, 50
DE = 1,25
6,48
1, 50
E F = i,3j
), °4
*» '7
FG = 1, 19
2, 14
0, 52
(7 0= 0, 69
Did:, de foyer
des verres
enD = 6, 00
en E = 6, 00
en/" = 4, 67 I
en G = 2, 07 I
la longueur de toute la Lunette ^0=139, 56, & le
demi-diametre de 1' ouverrure = i°, 5'.
Devis 36
en B =
en C =
en£> =
en E =
en jF =
en G =
9,06
4, 80
6, 40
6, 40
4, 98
2, 22
1-767, 71
9> 79
5, 18
6, 91
6, 91
3,38
2, 40
3em
id. de
'ouverture
0,
83
*i
40
°>
°5
i,
60
i>
60
i>
M
0,
56
Interval!, entre
les verres
AB = 160
00
BC =
C£> =
DE =
SlF.tt*
/'G =
GO =
9 , 60
6 , 40
1 > 33
1 , 42
1 , 38
o , 6j
Done la longueur de toute la Lunette AO = 1 3.o , 80,
6V le demidiamerre du champ apparent = 51'.
De la conjlruclion de ces Lunettes en y employ ant
un verre objeclif compofe.
LXXV1I. De la maniere que j' ai ici conlidere la
confulion , celle qui refulte du troifidme verre ell repre-
144
lentee par cette formule — ; , laquelle etant indiquee par
la lettre M , j'ai fait voir ailleurs que pour detruire cette
courulion aulli bien que celle de 1' objettif , celui-ci doit
etre compofe de deux verres L' un convexe , & 1' autre
concave enforte quil foit , pofant p pour la diltance de
foyer de 1' obje&if entier :
Du premier verre
t i i c ,rde devant = o, ? 14670
le ravon de la face< ■ , -, 2
J v_de dernere = 4, 05 851 p
^ De 1' autre verre
le ravon de la face — , & il ell meme bon d'en prendre la valeur un
peu trop grande , puifqu'on ell en etat de redrefTer cette
fame , en eloignant les deux verres 1' un de l'autre plus
que je ne 1' ai fuppofe dans le calcul , oil leur diltance a
ete fuppofee z= ■— p.
LXXVI1I. Je n' appliquerai ces obje&ifs qu'au cas de fix
verres, & a 1' hypothefe, ou j' ai fuppofe :' = 3 & c = ~ ;
de la j' aurai done — ■ = 5 , & partant, pour tenir cora-
pte des autres verres, je fuppol'erai M = — , d' ou 1' on
comprend aifement que cette hypothefe ne fauroit etre
apphquee qu'aux cas , ou le groflhTement ell tres-confide-
rable , ou — une fraction afses petite. Done (i nous prenons
10
m
P m
'45
p = — , la con(tru£rion de notre objectif compofe pour
le grofiiiTement = m fera en pouces.
Du premier verre
i j i c /~de devant = o, 25734/72
le rayon de la iace< , , ■ Z
J . ^de dernere = 2, 01916 m
De 1' autre verre
le ravon de Ta face«f de devant =~(o' 36989 /« — 3, 659)
J \dederriere=4- (o, 50948 m — 6,941^)
ce dernier verre eir. done un menifque tournant fa face
concave vers le premier verre.
Table pour la cojijlruclion de ces Lunettes.
Objectif compofe
Cruflif
rcmcut
m
3°
40
5°
— -— — ,
4 m — 4
or
14^
LXXX. Doiuions a I des valeurs convenables pout diminuer
1'ouverture du fecond verre, & pour augmenter en mdme
terns le champ apparent , & nous aurons les regies fui-
vantes plus particulieres.
Pour le cas de j verres.
Du verre
Dift. de foyer
Ouverture
Intervalles
en A
p ss nm
AP = x
y^5 = nm
en B
en C
6nt
~ zt-t-n
BC = 3 «
CZ> = 4t
enD
s = lt
DEz= zt
en E
r = r
4
EO^=~t
3
Done la longueur de la Lunette ^0 = n(m-H 3)
-+- — t , & le demidiametre du champ apparent ry
68xh-5 5»
204
.* = v
55*
'53
f t=-— v
44
9
« = — V
4
Ouverture
^P = x
BQ_
"~ 8
CR
— 11
m
DS
55 '
ET
176
FU
__9
16
4
Intervaller
AB = nm
BC =
7 »
/^n 4o8
55
£F =
1 10
9
1 1
jFG = — V
7
Done la longueur de toute la Lunette AO = n (
«
332
7)
7
v, & le demL-diametre du champ apparent =
2507
I m
minutes.
I I
LXXXI. Si nous traitons de la meme maniere nos for-
mules pour le cas de 8 verres , en fuppofant is 9, &
introduifant la diftance de rbyer du dernier oculaire, nous
trouvons les rbrmules fuivantes , dont la connexion avec
Jes cas precedens ell remarquable.
Pour le cas de 8 verres.
D
1 verre
en
A
en
B
en
C
en
D
en
E
en
F
en
G
en
H
Dirt, de foyer
P — n m . .
Ouverture
AP — x
9 n m
7W + 9
9.1 1 55»if
1 1 5 5W-t-988»
JI55
s = — — w
*47
5*
5>9
w
w
16
1 1
— w
4
: W
9»
8
?f
■J -Hi*
BQ_
CR --
w
988
VT 13I
= To8-W
104
16
' =-w
4
Intervalles
AB — n m
BC =
9 "
EF
*47
494
1 1
— w
26
FG = — w
. 16.
i.
HO=-w
9
& le demi-diametre du xhamp apparent
QQi PR &c- rangees fur le meme axe a o ,
de maniere qu'elles forment une Lunette quelconque .
Imaginons que an foit un objet donne , & que b(Z , cy, dti,
et &c. foient les differentes images de cet objet formees
par les lentilles PP , QQ , RR &c. , de forte que les
points de 1' axe b , c , d &c. foient les foyers des rayons
qui partem du point a , & les points (3 , y, & &c, ( qui
fe determinent en tirant les perpendiculaires b(Z, cy, d§ &c,
& menant enfuite les droites &A(2, (Z B y, yci ike.) foient
les foyers des rayons qui partem du point a place hors
de 1' axe. On voit aifement que le rayon oc A , qui paffe
par le centre de la lentille P P , & qui doit etre regar-
de comme le principal de tous ceux qui partem du point
* , ira rencontrer la lentille QQ en Q, que de la il paf-
fera par y , & rencontrera la lentille RR en R , enfuite
la lentille SS en S &c. , & enfin la lentille X X en X,
«T oil il fortira parallelement au rayon >j G , a caufe que
tous
tous les rayons doivent fe trouver paralleles entr'eux au
forrir de la derniere Ientille.
Soit maintenant O.le point oil le rayon XO coupera
1' axe , ce point fera celui oil il faudra placer P ceil pour
voir le point * , c'eft - a - dire pour pouvoir decouvrir un
champ apparent egal a" V angle , %
dD - "■> eE
s &c. les diftances focaies des
leiuilles PP / QQ, RR , SS &c. , & * 7 , t r , *"* &c.
les demi-diametres i?Q , Ci? , DS &c. des ouvertures des
verres QQ , i?i? , SS &c. en tant qu'elles contribuent au
champ apparent , on aura , en faifant pour abreger
E &c.
B =
B
B
c ==
Diftances focaies «
H I
D =
D
D
•+■ 1
&c.
B X I
BCD p
s = — p
D X" — X' -t- T - p r
&c.
Intervalles entre
les verres
[
CD =
(BT-f)(Cl'-T+»)f
(Ct'-
_»)/'
M4
Distances de 1' oeil
Pour un fcul verre k = o
Pour i verres
A =
Pour 3 verres
k =
Pour 4 verres
A =
&c.
(B»->)'
B tiir'
(Ci — ir -f- p )»
( D T* T -f- IT — p )'
i1
P
Enfin foit »» le nombre qui exprime la multiplication des
diametres apparens des objets , on aura l' equation
$ T •*• IT — V" -f- SiC.
m
le figne ■+■ eft pour le cas , ou les objets font reprefentes
debout , & le figne — pour le cas oppofe" , de forte que
1' on aura :
I . T -♦- vr' — T" &C.
pour le premier cas ... 9 Dt — it ■+• ir — 9
a0 Que P autre aberration , celle qui vient de la figure
fpherique des verres , eft exprimee pour chaque lentille
par la formule fuivante :
— (\ (A -+- i y-h vA)
x etant le demidiametre de P ouverture , A le raport de
la diftance entre le point rayonnant & la lentille , a la
diftance entre le foyer des rayons rompus & la meme
M5
lentille , fx , t des nombres dependans du raport de refra-
ction dans le verre , & X un nombre = ou > i .
j° Que 1' aberration etant donnee , la figure de la len-
tille doit etre telle que 1' on ait :
Rayon de la furface tourn^e J~ p .
vers le point lumineux \ fA + ir(i-A)iTv (\ — t)
Rayon de la furface f P
oppofee \ , r, r
' A ■+■ i
font des nombres , qui dependent de la raifon de refra-
ction j d' oil 1' on voit qu'il y a toujours deux figures a
donner a une lentille, pour quelle produife une aberration
donnee, excepte dans le cas ou X = i , qui eft celui oil
l'aberration eft la moindre ; on voit de plus que le nom-
bre X ne peut etre pris moindre que 1' unite , fans que
les rayons des faces deviennent imaginaires.
4° Que 1' aberration qui refulte de toutes les lentilles
enfemble eft exprimee par
(f + i).(^ + ,)+,B), "\
t*mx' J •
£i(Bt — tp )
_ (C-#-i)'(^(C-i-i)-t.»C)<»
■ 2>C {Ci — T-t-p)
•+■ Sec.
X , X' , X" &c. ^tant les valeurs de X qui conviennent
aux lentilles PP , QQ, RR &c.
5° Qu'enfin cette aberration ne doit pas s' etendre au
dela de la fradion — £— , .
4-3»
»»J
"OBSERVATIONES
Circa integralia formularum
fxp — ldx(i — x")n . L
Pojito pofi integrarionem x == i
Auftore
L. E U L E R O.
'F
Ormulam integralem fx?~~l dx (i — x")
X P ~~ J X
feu hoc modo expreflam f —
bic
confideraturus , affumo exponentes n , p , & q effe nume-
ros integros pofitivos , quandoquidem fi tales non effent ,
facile ad hanc formam perduci poffent. Deinde hujus for-
mula integrate non in genere hie perpendere conftitui ,
fed ejus tantum valorem , quem recipit, (i poft integratio-
nem ftatuatur x = i , poftquam fcilicet integratio ita fue-
rit inftituta , ut integrale evanefcat pofito x = o , Primum
enim nullum eft dubium, quin , hoc cafu x = i , integra-
le multo fimplicius exprimatur; ac prseterea quoties in ana-
lyfi ad hujufmodi formulas pervenitur, plerumque non tarn
integrale indefinitum, pro quocunque valore ipfius x, quam
dennitum valori x = i , utpote praecipuo defiderari lblet.
11. Conftat autem cafu , quo poft integrationem ponitur
xt — * d x
x = i , integrale f~, n _ , hoc modo per pro-
duclum infinitorum faclorum exprimi , ut fit :
p -+- q »(/>-+- q ■+■ fi) i» ( p •+■ q ■+■ i») 3 w ( ^-i- <7-f-3»)
PI (p-*-»)< n , formula ad aliam, in qua exponens
j> minor fit quam n revocatur , quod etiam ob commuta-
bilitatem de altero exponente q eft tenendum. Quamobrem
nobis has formulas examinaturis fufficiet pro quovis expo-
nente n exponentes p & q ipfo n minores accipere , quo-
niam his expeditis, omnes cafus quibus majores habituri ef
fent valores , eo reduci pofliint.
V. Statim autem patet cafus , quibus eft vel p = n ,
vel q es n , abfblute feu algebraice effe integrates. Si
enim fuerit q =/z, ob ( — ) = fxp—z,dx = — , po-
fito x as i , erit ( — ) s= — ; fimilique modo ( — ) =
* P 1
— . Atque hi foli funt cafus, quibus integrate noftraj for-
mula; abfblute exhiberi poteft , ft quidem p & q exponen-
tem n non excedant. Reliquis cafibus omnibus integratio
vel quadraturam circuli , vel adeo altiores quadraturas im-
plicabit; quas hie accuratius perpendere animus eft. Poft
eas igitur formulas ( — ), feu ( — ), quarum valor abfolu-
te eft = — , veniunt eae, quarum vzlor per folam circuli
quadraturam exprimitur ; turn vero fequentur eae , quas al-
tioiem quandam quadraturam poftulant , atque has altiores
quadraturas t;:m ad fmpliciflinvm foimam, quatn ad ii.ir
r.imum numerum revocare conabor.
1W
VI. Cum mimcri p 8c q 'cxponcntc n minores ponan-
p
tur , cffl formula; ( — ) per folam circuli quadraturam in-
tegrabiles exiftunt , in quibus eft p -+- q = n... Sit enim
q = n — p , &c formula noftra :
n—p p v(i — **)/> vH1-*".)/
hoc produ&o infinito exprimetur :
n n . 2 » 2». 3 » %n . i,n 0
oCC.
/>(»—/>) (n+p)(in~p) {in^p)^n—p) (3»+/>) U»— />)
quod hoc modo reprsfentatum :
i nn i,nn ynn
p nn — pp 4 n n — pp 9 » » — ^>/>
xluf
&C.
congruit cum eo produ&o , quo Jinus angulorum exprefli:
Quare li t fumatur ad femicirconferentiam circuli cujus
radius fit = 1 , fimulque menfuram duorum angulorum
re&orum exhibeat , erit :
" — P P - /:„ £1
n fin. — — n fin. — -
VII. Ceteris cafibus, quibus neque p = n, r.eque q — n,
neque p -h q = n, integrale etiam neque abfolute, neque per
quadraturam circuli exhiberi poteft , fed aliam quandam
altiorem quadraturam compleftitur. Neque vero finguli ca-
fus diverfi peculiarem hujufmodi quadraturam exigunt , fed
plures dantur redu£Uones , quibus diverfas formulas inter
fe comparare licet. Haj autem redu&iones derivantur ex
produfto infinito fupra exhibito cum enim fit :
• t P_\ , _ P_J_ »(t>-*-q-*-a) zn(p+q-t-xn)
.1 P'l (p-*-nX<]-*-n) (/'-•-iwHtf-n'O
erit fimili modo :
,p-**l \ . _ p-*--.- g-tzn)(r-+ m)
quibus in fe invicem diidis obtinetur :
i6o
•J r ,"" pqr (p-*-»)(,<]+»){r-hn) (p-*-in)(q+xn){r-*-rn)
ubi ternae quantitates p , q , r funt inter fe permutabiles.
VIII. Hinc ergo permutandis his quantitatibus p , q , r
confequimur fequentes redu£tiones.
unde ex datis aliquot formulis plures alia? determinari pof-
funt . Veluti fi fit q -+- r = n , feu r = « — 7 , ob
/> /> " r n6n.ll V— 1
,nec non (_!_)( ^±=?) =■
up fin. 1= "•'""'* q npCm.q-
Deinde fi fitp + j + r = /j, feu r = n — p — q , erit :
— — (*) = — — (>) = — — (-')
r rw q r air r r P w *"
/z fin. — ■* /z fin. i— n fin. —
« » »
unde infignes redu&iones aliarum ad alias oriuntur, quibus
muhitudo quadraturarum ad noitrum fcopum neceflariarum
vehementer diminuitur.
IX. Praeterea vero pro p, q, r numeris determinatis af-
fumendis, fequentes adipifcimur produ£lorum ex binis for-
mulis cequalitates :
<7><7> = <7><7>
<7>
i6i
*7>
(I)
7> = <]><7>
&c.
ubi quidem plures occurrunt, qua? jam in reliquis conti-
nentur.
X. His quafi principiis prarniiffis formulam generalem
xt—'dx
J — ; - , in qua numeros p & q exponentem n.
non fuperare affumo , in claffes ex exponente n petitas
diftinguam , ita ut valores n'= 1 , n = 2 , « = 3 , n = 4
&c. claffes primam, fecundam , tertiam 8cc. finr prsebiruri.
Ac prima quidem clams , qua n = x , unicam for-
mulam comple£titur ( - ) , cujus valor eft = 1 . Secunda
claffis , qua n = 1 , has formulas (-), ( — )&( — ) conti-
net , quarum evolutio per fe eft manifefta. Terria clams,
qua n = 3 has habet :
(-;),(y),(|),(|),({),(^);
Quarta vero claffis, qua n = 4 , iftas :
(7), (7), ({), (-7), ($| (|), 0, (]), g), (^) i
ficquc in fequentibus claffibus formularum numerus fecun-
i6i
dum numeros trigonales crefcit. Has igitur clafles ordine
perciuramus.
xp — ' dx _ p,
Ckffts iJ* fornix f-—^ ~ = ( - )
Perfpicuum hie quidem eft iilas formulas vel abfolute, vel
2. 2.
per quadraturam circuli exprimi : nam ha? ( — ) & (— )
i i.'
abfolute dantur , & reliqua ( — ) ob i H- i = i eft
= — ; fi ergo brevitatis caufa ponamus — =
2 fin. —
x
« , uti fcilicet in fequentibus claflibus faciemus , omnes
formulae hujus claflis ita definiuntur :
xP - ' dx
Clap 3. for,. /Tr__r)T-r « ( £ )
Cum hie fit « = 3 , formula quadraturam circuli invol-
vens eft ( — ) = ■ — * , ponamus ergo ( — ) = a
3 nn. —
reliquae autem formula? , quae non abfolute dantur , altio-
rem quadraturam involvunt, & quidem unicam ( — ), quam
littera A indicemus , qua concefla valores omnium formu-
larum hujus claflis aflignari poterimus:
i3\*m — : — =*- ri^ = — = — = fl.rl
V. I
6 fin. -j- 6 fin. £ 3 6 fin> 3^
6 6 6
Reliquarum vero omnium valores infuper a binis hifce
quadraturis pendent:
(i) = A & ({>«*,
atque ita fe habere deprehenduntur:
(7)=.,(-) = -,CT) = -,(J = ;;>(-> = y.Cj) = -i
(i)=^(i)=ft(i)=^,(i)=^i,
(i,=-(i)=if>(i)=^
. K «B ,\ «B B
0
jr/7 — ' dx . p ,
Quia n = 7 , formulae a quadratura circuli pendentes ita
ddignentur :
7 fin. — 7 fin. — 7 »n. —
7 .7 7
praeterea vero hae quadratura? introducantur :
(-1) =J,(±)=B,(±) = C
quibus datis omnes formulae ita determinabuntur :
J-*AJ- A> (}} - IB' V - JC' V ~ 4B' (6> _ £3'
4)=^(4)=:^(I)==-^,(i)==->2A,(4)== *^
p— «>va/— « v^ — aB , \y —-^Jbc' y — Z*BC *
\66 i
<7} = T' (7)==i?' C? * °? ■" ^
•h— if rl-j — il? r^ — c-
V- VC^ ^"i
^ — 1?
Clajfis S-fom* f-T-f1-—^— m (l)
Quia hie eft n = 8 , formula quadraturam circuli impli-
cantes erunt :
(7) mm, -•■,(-) = =13,
8 fin. -f Z 8 fin. f
(i) L — = — =y,(i) = — = — = s
} 8 fin. £ 4 8 fin. if
Nunc vero tres frequentes formulae tanquam cognitse ipe-
ftentur :
atque ex his omnes formulae hujus clafiis ita determina-
buntur.
A— A -1 A — T A — ' A--I
^ = 6'ty = 7'("8} =='8}
,7>. /7v _ 0 /7v _ y ,7s __ J ,7x _ y
(7) =*,(-> -^'^-is'^ -Tc'(7 ~Tc»
i*7
(6\ — JJLA_-
K6* cpBC '
(7) - 1 » (7) - 7T' (7 — c» (7 - * '
3x __if a3x *0CC .3x _ «CC
,1,. _*B ». «/?#C
(-) — -A ■
Hinc iltas reduftiones ad fequentes claffes, quoufque Iibue-
rir , continuare licet. Quemadmodum ergo hinc in genere
fingularum formularum integralia fe iint habitura exponamus.
Evolutio forma eeneralis f — -— = ( — )
v ( l — x")n — * q
Primo ergo abfolute integrabiles funt haj formulae:
(-)=,,(-) = -, (T) = T> (-) = -, &c.
deinde formulae a quadratura circuli pendentes funt :
C--) =«, (--) =/3, (— 2)=y, (—-) = 5 &c.
1234
quarum quantitatum progreflio tandem in fe revertitur
cum fit etiam :
Prasterea vero altiores quadrature in fubiidium vocari de-
bent , quae ita repraefententur :
i68
i a 3 4
quarum numerum quovis cafu fponte determinatur , quia
ha; formula? tandem in fe revertuntur.
His autem formulis admiilis omnes omnino ad eandem claf-
fern pertinentes deriniri poterunt. Habebimus autem a formula
( ) = «, uti fupra iltas formulas ordinavimus, deor-
fum defcendendo:
(=^) = «> (~r> *=A> (--) — r» (-r> = 7
V 1 ' n — 3 '
i
Sec.
(» — 4)C
Simili modo a formula ( ) == (3 tarn defcendendo,
quani progrediendo horizontaliter valores aliarum impetra-
bimus , ac defcendendo quidem :
,» — 6N a3DE ,n — 7 ajlEF «->
V ) ss f A -•> ( ) = — 7-7— &C. , -
* 2 f«^ V 2 ' <^ Ubl
169
ubi erit ultima ( - ) = ■-■». , penultima ( — ) =
-" — &c. ; at horizontaliter progrediendo :
.^ £Z*> - .»-6 _ «:cde
{—)-?, (-p) = C (T) - jj, (T) - rrj-2 ,
.r^*
& horizontaliter progrediendo :
^ 7 ; 4«/J£)£F, ^ 8 ' 5«^£FG
Pari modo a formula ( — ) = S defcendendo nancifcimur:
4
(~> ~~ ' (T) ' (T) ^~ ' (T) = [Sffif '
/»-8x __ _^l_VEFG_ ,»-9n _ *0}£EFGH „
4 <. XSC ' ^ 4 J = " <»M£C
& horizontaliter piogrediendo :
»-4v * ,^4n _ * . /£4j _ f<^ ,«2*\ _ K"^^
170
Atque hac ratione tandem omnium formularum valores re-
periuntur.
Accommodemus has generales redu&iones ad
Ubi ob n = 9 formulae quadraturam circuli involventes
crunt :
i z 3 4
h'inc s = J , ^ =y,jj = |3,6 = *.
Deinde novas quadrature hue requiiita? ponantur :
(-) = ^, (4) — £, (7) = C (i) = z?;
1234
ficque erit £ = C, F = B , &c G = A ; atque his
quatuor valoribus conceffis omnium formularum nonae claf-
fis valores affignari poterunt , quos fimili ordine , ut hac
tenus fecimus , repraefentemus.
A — -£- A = -£- (-)—-?-■
V iC'V" 6B' V 7^'
»7»
/\—*B A_» A , A_ >* A_ >"-<
^ 6 i*bccd '
'3 '4 " c 5 a^Ci?
/1\ «c fh *0CD fh "ffcco
V — T» V~~ ""TINT'S'-
y ssab '
\ aB , \ atZBC
e>*4 e - ^ e>e - i* e>e = "* »
Ordo harum formularum etiam in genere diagonalirer a
finiftra ad dextram procedendo notari meretur, ubi cjuidem
duo genera progreffionum occurrunt , prout vel a prima
ferie verticali , vel a fuprema horizontali incipimus ; hoc
modo primum a ierie verticali incipiendo :
fc) _, (?> = 4* >>) - f X ^(H) = ^x <£?, &c.
f = T- e = £ '<^ = S* 3V£ = $ <"f >
&c.
Deinde a fuprema horizontali incipiendo :
17*
5
(-5 = 4 • = & c~)^) - js« (=>
< 4> - 4 ' (T° * dx ( 4% (v} - «-*x = 7 ' (X) = e x (7}'(T} = «>x (T">'(¥ 5 ^ *e* Cy)
&c
Ubi lex , qua has formulae a fe invicem pendent , fans
eft perfpicua ; ft moclo notemus , in utraque litterarum fe-
rie et , (3 , ^,8 &c. Sc A , B , C, Z> &c. terminos primum
antecedcnte> inter fe eife aequales.
Condufio.
Cum igitur formulas fecund® claffis, fola conceffa circuli
quadratura, exhibere valeamus , formulae teniae claflis infu-
per requirunt quadraturam contentam vel hac formula
f— — — = A , vel hac /— -^- = ±
J $ (i— **) ^ ^C1— ■*) ^
quandoquidem, data una, fimul altera datur . Quod fi iftas
formulas per producf um infinitum exprimamus, earum valor
reperitur :
/- dx i 3.5 6.8 9. i£ 11.14 _
V \l — x'Y • 4-4 7-7 IO IO '!•']
unde ejus quantitas vero proxime fatis expedite colligi po-
reft i fimili modo eft :
xdx 3.7 6.10 9.13 11.16 „
^ (,i — *') j.j 8.8 11. it 14.14
171
Deinde omnes formulas quarts claffis integrate poteri-
mus « xdx 1 dx aSB
^"2 ' ' j {i—x'y ~l' $ (i — -*')* )M
erit " - = f- — - quae eft formula ad claflem
tertiam requifita . Hac ergo data , .fi infuper innotefcat
formula :
»74
?. . ' X d X I r d X „ ,
( 1 ) = f = - f— = B. vel etiam
u^w * \ — r *xdx . L f dx - #2
mc t, 3 ; — J j ( ; _ xt) - }J^(l—xx)--uBi
quae funt {lmpliciffimae in hoc genere, reliquae omnes per
has definiri poterunt. His autem combinatis patet fore:
- d x dx Sffy _ ir
J 7\ I — **3 * ${l—-XX) ~ ' " V 3*
Simili modo ex formulis quarta? claffis colligitur:
r dx - dx jr_
J V (i —x*) ' ' $ (i —AT1) ' z
cujufmodi Theorematum ingens multitudo hinc deduct po-
teft : inter qua? hoc imprimis eft notabile :
- (m — n)ir
; ; * fin'
dx r dx
f aJL . / a-Z— =
(m — n) fin. — - fin. —
m n
quod, fi m & n fint numeri fra&i, in hanc formam tranf-
mutatur :
x1—ldx r x' — ' dx Kr py
' i (i—^y * J # (i— Py "~* " 77 q - s
v (pj — qr) fin. -ff -fin. - it
In genere vero eft ;
* ' .. fcriptoiterum xproj, obti-
nebitur :
. xf ~ l dx .xm-f-idx v » OT
(i — *"■/ J ^ (i — *my-i
m(mq-np) fin. — tc • fin. — a-
;;
qui valor reducitur ad : — -— (cot. - ir — cot. - t ).
* m (rnq — np N m n
Atque hinc ifta forma concinnior refultat :
m—r w-»-r . r» tr^
/— » , _ — i , 2 n it (tang. tang. — )
x * dx f x 2 //* ° im °i»
"5 "J ' E*T ~^ m(nr — ms)
£ (i — x") * #(i — xm)z
Cum fundamentum harum redu£Honum fitum fit in hac
*qualitate: ( u-^=2 ) ( i=J ) = £ L ,
quK 3d banc formam reducitur :
ejus Veritas hoc modo direcle oftendi poteit .
Sumtis in reductione §. VIII. tradita pro numeris ternis p ,
q , r his n — q, q — p , q habebimus :
q — p q q q — p
rum vero fumtis eorum loco n — q , q — p , p erit
)
quibus
p >i—p i — p p
l77
quibus acquationibus in fe invicem ducKs , & formula
( ) utrinque communi per divifionem fublata, erit :
Qain etiam hujuimodi ternarutn aequalitas ab exponente n
non pendens exhiberi poteft , fcilicet :
(1) (l±i) (>+i)a-fiJ) (-) (^--)=(-) ( — )
P 'J r K [> ' K q ^ r ' P q
( )=( ) (— ) Q ) > qua quatuor adeo htteras
ab n non pendentes involvit, ac fimili eft ajqualitati inter
binarum formularum produfta:
jCqualitas autem inter ternarum formularum produ6ta
habetur etiam ifta :
(4 (-) £$ rt-5 (-) 4 -<■$ c-7) c^o =
In his enim litter® p , ^ , r , s utrumque inter fe perrau-
tari poffunt.
x78
Flutes a corriger dans les Mimoires precede/is.
Page i ligne 8 apres fig. i. ajoutez PI. i.
P. 15 I. 19 au lieu ilei:(i+ ct) lifez A: (x — et).
P. 22 I. 3 .1 compter d'en bas a la fin mettez o au lieu de a .
P. 25 I. 4 au lieu de plufieurs lifez diffirens.
P. 27 I. 10 aprcs fig. 1. ajout. PI. 11.
P. 38 La a compter d' en bas au lieu de 5 n ■+■ (2 lifez fn-t-6.
P. 40 dans la troifieme eolonne au lieu de n ■+■ 1 au denom. lifez 2/1+ i,
Ibid. dern. ligne au lieu de — li/ez ..
P. 4a ligne dern. au lieu de (aft — 5)au numer. lifez (2f* — 6).
P. 45 1. 8 a compter d'en bas au lieu de x( A — xY) lifez x (x A — xT ).
P. 47 1. 5 a con-.pt. d'en bas au lieu de (x £ —x''y') lif. (x',T — * ')»").
P. 52 I. 18 au lieu de — v . x A lifez - v.xT -»- v . x A .
P. 53 '• 5 acompt. d'en bas au lieu de — U ( /?» — x A ) lif. — ib (_£' — xA).
P- )4 I. 3 a compter d'en bas au lieu de imx'y' lifez amx'y'.
P. 58 1. 4 au lieu de i8tt au numer. lifez 13^^, & ligne fuiv. au lieu dc
56T au denom. lifez 36t» .
P. 66 1. 6 a la fin ajoutez AC.
P. 79 '• *S au lieu de Af = — I": (» — ax) lifez A/ = — T: p •+■ —
a 2. 2
T: (^ — ax).
D „, 1 o r j ir-t-ir' — t' — ?r •+• ir' — ir" , .
r. 54 I. 8 au lieu de lifez , & 1. 4 i compr.
m — 1 m — 1
d' en bas au l;eu de — ir . .. , *C ... "C
P. 1C7 1. 4 au hcude— lifez — ,
SOLUTION '"
DE DIFFERENS P ROBLEMES
D E
C A L C U L INTEGRAL
Par M. DE LA GRANGE.
Sur I' integration de I' equation
dans laquclle L, M, N &c. T font des fontlions de t.
I. TE multiplie cette equation par ^dt , ^ etant une va-
J riable indeterminee , j' en prends 1' integrate , j' ai
JLUdt +fM{^dt +fNld£dt +
fP{ %dt + &c. =/Tldc,
je change les exprefllons fM^ ~ dt, fNi — dty
fP i ~dt &c. en leurs egales , Mu — f —r-—ydt,
.T dv d-Nz -d'-Nz , „ d'v
x d t dt J J dt1 J ' x di'
<*Pz Y *9 d'-Fz rd--Fz ., .
ordonnant les termes par rapport a y ,
zij
— &c. ) 4-
■+■ &c. ) y d t =
& 1' equation precedente fe reduira a celle-ci
. .. d-Hz d> v '
& qu on ordonne liquation reftante par rapport a { , on
aura
J- . ,, dN d'P . . . xr dV sdy
(P — &c. ) ?-H &C. "V —
dz
d
;{.^J;..it ^ ■*■ ?, + &b}
ill
p / ( i> — &c. ) j -+- &c. \ — &c. = conft. . (£)
IV. Done , fi on peut trouver une valeur de y qui
fatisfafle a 1' equation (Z>) , on aura I' integrate premiere
de 1' equation (B) ; ii on a deux valeurs dilFerentes de y,
qui fatisfaflent a la meme equation (D) , on aura 1' inte-
grate feconde de 1' equation (B) ; & ainfi de fuite ; de
lorte que , ii on connoiflbit un nombre de valeurs de y
egal a celui de 1' expofant de If equation ( B ) , on pour-
roit trouver 1' integrate finie & algebrique de cette meme
equation ( Art. II. ).
V. Cette derniere integrate contiendra , comme 1' on
voit , autant de conftantes arbitraires qu'il y a d' unites
dans Pexpofant de l'ordre de T equation duTerentielle (B) -,
car les equations ( E ) , d' ou elle refulte , contiennent
chacune une conftante arbitraire. Done fi on fait fucceffi-
vement toutes ces conftantes , moins une 4 egales a zero ,
on aura autant d' integrates particulieres , Sc par confequent
autant de valeurs differentes de { , qu'il y a d'unites dans
1' expofant de l'ordre de 1' equation (B) ; or ii eft facile
de voir que cette equation eft du meme ordre que 1'equa-
tion (A) ( Art. I. ) ; done on trouvera aum" 1' integrate fi-
nie , & algebrique de cette derniere equation ( Art. II. ).
VI. Done 1' equation ( A ), favoir
Ly + M di + N % + P % + &c. = T
J dt d/' dtl
fera integrable algebriquement toutes les fois qu'on aura
m valeurs dey en t dans le cas de T= o , m etant l'ex-
pofant de 1' ordre de cette equation.
VII. Si on ne connoill'oit que m — 1 valeurs de y ,
dans le cas de T = o , on pourroit neanmoins trouver
1' integrate algebrique de 1' equation ( A ). Car on auroit
dans ce cas m — 1 equations ( E ) ; d' ou eliminant les
l85
plus hautes differences de { , on parviendroit a une equa-
tion de cette forme V {-*• X — = JT, (V , X , & T
etant des fonftions de t) laquelle donneroit
-f-.dt riefidt
I = e x (conft. -+-J-jr <^0> done &c.
VIII. Done 1' equation ( A ) fera aufli integrable alge-
briquement , toutes les fois qu'on aura m — 1 valeurs de
y dans le cas de T == o .
IX. Si les valeurs connues de y n' etoient qu'au nom-
bre de m — z , alors il faudroit , pour avoir les m va-
leurs de j , integrer une equation de cette forme
d 8 d*~
Ft ■+• X -^ -h Y ~ = Z , laquelle n' ell integrable
1 , dt dt' n °
que dans quelques cas particuliers ; & ainfi de fuite.
X. Au refte , fi on ne connoiffoit pas d' avance les va-
leurs particuliers de y dans le cas de T = o , il vaudroit
mieux chercher direclement les valeurs de { par la re-
folution de 1' equation ( B ) , laquelle n' eft guere plus
compliquee que 1' equation ( D ).
XI. Soit 1' equation
J dt dt1
pour laquelle on connoit deux valeurs particulieres de y ,
dans le cas de T = o .
On aura d1 abord 1' equation en £ {Art. HI.)
tUM-^y+N^y-^Ny^ con*.
done fuppofant que y'i, & y i foient les deux valeurs de
y qui farisfont a P equation Ly -H M -f- •+• N j-,
= o , on aura
l84
1 u /■// ^ dt J d t J
A , & i? etant deux conftantes arbitraires.
Oa tire de ces deux equations
Ay i — B y i
N(jx —t — yi~dT)
Soit d' abord A = o , on aura
* JV X d y i ^ j>i — T1
^ ^s — J1 —dT
Soit enfuite 5 = o , on aura
A y_x
* ~~ N X /ri »J-yi — {2.
* -* — y1 ~dT
Ayant deux valeurs de £ , favoir £ i , & £ z , on les fub-
Itituera fucceffivement dans 1' equation ( C ) , & Ton aura
d' oil 1" on tire :
z z fTz i dt — 21 fTz idt _,..
y .T/ i.jiT" af-zi * • * * * \*>
C eft la valeur generale , & complete de y qui fatisfait
a 1' equation propolee.
Si on ne connoillbit que la valeur ji, on auroit fim-«
plement 1' equation
* \}M—d7^yi + N-dr} -t* Ny*=A>
laquelle
,8>
laquelle 6tant integree donneroit
fy-w ~~Nir ■*• jut'4'
l = e
X {conft. - A J- ^ dt j,
ou bien
~~J~Ndt
Done , en faifant A = o , on auroit
& en faifant C = o
.M
A y i fN- dt fc
l = --W~e J {yiy dt = V'
Suppofbns que les quantites L , M , N foient conftan-
tes , on aura, comme 1' on fait, pour les deux valeurs de
y qui fatisfont a T equation Ly -+■ M ~ -+• N—=o,
ek ' ' , & e k 2 ' ; k i , & & 2 , drant les racines de 1' equa-
tion L -+- Mk •+- Nk' = o j done y i = dr*",^
B r '— **•
= e*2'j & par confdquent { i = — Tu" x 7 T- \
A e~* * « .
*1=n x*7317jdonc
* ~~ : • N(*i -yfi j
Si on vouloit employer les valeurs de ^ i , & de {■ z
trouvees a la tin de 1' Article precedent , on auiuit
aa
iS
b=s 9; d'ou l'on tire {■ = Fc h " ' = i i , & £ = G ch ! '
= £i,.F, G etant deux conftantes arbitrages , & hi , Ai
les racines de 1'equation L — M h -f- N hz = o ; de
forte qu'on aura A i = — i i , & Ai = — ii',
Recherche des cas d Integration de I' equation
— I -H a y t m = T .
dt' y
XII. On aura ici L = a t>m , M = o , & JV = i i
done 1' equation ( B ) deviendra
«n~ ■+• J= o • ...... (G).
Suppofons d t variable , nous aurons au lieu du terme
i87
J'z ... . d'z dzd1/ , c
-7—, ces deux-ci — --; done faiiant cette fubra-
dt* dt' dt'
tution , 8c divifant toutc 1' equation par fsm, on aura la
transformed
d'z dz d*t
t™df ' "" 7^dT>
a £ = o.
Soit maintenant tm dt = du , e'eft-a-dire u = — . — ;
«-*. i '
on aura, en prenant du pour conftante, — -+- m — = o,
ceft-a-dire , a caufe de dt = r^du, — = — mf~m~~z du
d t
X — ; done , fubftituant ces valeurs dans
/« -+- i «
1' equation prdcedente , &: faifant pour abreger — '— = n>
on aura
dy
& faifant
i — n
A =
B =
i
k
& -4 =S I,
on aura
c =
?
a(a -t- »)
»3(>+')(l i •)
a.34(a^)'X3-?i')(4^-')
&c.
ie figne fuperieur etant pour le premier cas , & le figne
inferieur pour le fecond cas ; d' ou 1' on voit que la ferie
fe terminera toutes les fois que » = a un nombre quel-
conque impair poiitif ou negatif, a 1' exception de -+- i .
Ayant ainri la valeur de x , on aura celle de f , par
la fuppolition de f = xeku, (k comme 1' equation k* -+-
a = o donne deux valeurs de k , favoir k = -4- v' — a ,
on aura audi deux valeurs de f , qu'on nommera , comme
ci-deflus , { i , & { x y & qui etant fubilituees dans la
formule ( /' ) de 1' Article precedent donneront la valeur
de y .
Si a eft une quantite pofitive , les deux valeurs de k
feront imaginaires. Dans ce cas la valeur de x fera de
cettc forme P -±, Q V. — . ij & par confequent on aura
l8S>
j= (/>-*-£/— . i ) £+••«••— r —(en mettant au
lieu de e^»v«V — t fa valeur? cof. u V a -+• fin. « / a
Xv'-i) /» cof. « • a — Q fin. u V a dr. ( P fin. « • a
-4- Q cof. w V a ) V — i .
Soil done , pour abreger
P cof. u • a — Q fin. u V a = i?
/> fin. u y/ a — Q cof. ** v' a = S,
on aura £ -4- .? • — i = { i , & .R — 5 ^ — s
s= j 1 , & la valeur de y deviendra
RfTSdt — SfTRdt
v dt dt
XIII. Si m = 1 , on aura n = 00 , & la valeur de *•
fera exprimee par une fuite infinie } mais en reprenant
1' equation ( G ) , on aura
a« d' z
-7 ■*• 7? = o;
laquelle en faifant { = tr , fe change en
a -+• r (r — i) = o,
d' oil 1' on tire r = -+^ ( a).
2 4
Ainfi 1' on aura les deux valeurs de £ .
XIV. Soit T = o & _y = e -^ ' ' , T equation propo-r
fee fe changera en celle-ci
laquelle eft connue fous le nom d' equation de Riccati j
on trouvera done par la metode precedente 1' integrate de.
cette meme equation .
-190
Integration de I' equation
Ay -4- B (h -h it) J + C(h+ kt)* ^ 4j
D(h-+-kt)'^ -h &c. = T . . . (#)
A , B , C &c. etant des coeficiens conflans.
■ XV. En comparant cette equation avec la fbrmule ge-
nerate ( A ) , on aura
L = A , M =a B ( A -4- Ar) , AT = C ( A -4- kt )»
P = D (A •+- kt)1 &c.
Done les equations (2?) cV ( C) deviendront
, n dAb + tt)z' ■, d' Ab -+- k tYz
At — B — - - h C —T->
1 dt df
d'.(b +ktyz . ,rs
D — - H &C = o . . . . ( i )
dt
T j? , i i ^ „d.{h + ktjz
y
D ti^l^JlL _ &c. •)
df J
-^ C ( A -4- A r ) { — Z> — - — — f H &c. > -+•
^ T Z> ( A -4- k ty i — &c. "V •+■ &c.
= fT{dt (ir")j
Soit maiutenant ^ = ( A -f- /tt )r , & 1' equation (/)
&ant divifee par (A -+- A t )r fe reduira a celle-ci
A — .Bk (r -h i) -+- a!(r+ i)(r+ i) — .
D A} ( r -+- i ) (r -I- *) ( /• H- 3 ) -4- &C. = o . ( Z )
laquelie etant ordonnee par rapport a r montera a un de-
gre , dont l' expofant fera le meme que celui de 1' ordre
de 1' equation propofee ( H ).
Failant la meme lubititurion dans I' equation ( K ) , on
aura , apre's avoir divift par (A -+- kt)r
-*- »
t9l
y (r -4- 2) (r -4- 3 ) — &c.\ -4-
^•{^C— 7? it (r -+-3) -4- S,c. "\(A~f- Ar)-+- •
^ «£ Z> — &c. "V ( A -t- Ar)1 ■+• &c.
= (A -4- kr)~r-\fT (A -f- ftr/H*;
equation qui devra avoir lieu , en mettant pour r chacu-
ne des racines de F equation (-Z).
Soit pour abreger
i? — Ck (r -4- z) -+- Z>A2 (r -4- 1) (r -4- 3 ) — &c. = *
C— Z?*(r-»- 3)4- &c. = |3
Z> — &c. = y
&c.
(A-+- A/)-r- 'fT(k-hktydt = 0,
1' equation dont il s' agit fe reduira a celle-ci
«.v -+• /3 (A -+- A/) ^ -+- y (A -f Af)1 £ -4- &c. = 9 (M).
Suppofons que r 1 , ri, r3 &c. foient les racines de
T equation ( L ) , 6V que cti , * 2 , * 3 &c. /3 1 , (3 2 , 183
&c. ckc. ibient ce que deviennent les quanrites a. , /3 &c,
lorfque /- devient fucceffivement r 1, n, r3 ckc; au lieu
de 1' equation (Af), on aura celles-ci
«'/ + |3i (Uii)^ + }'> ( A + k t y ^
•+• &c. = e 1 (^fo
tc 2 y -4- £ 2 (A + it)/ + )'i (h + kt)1 -^
-+- &c. = e 2 . , . . ( at 2 )
* 3 J ■+■ & 3 ( A -4- A t ) ij-t -4- y 3 (A -4- A O1 %
-4- &c. = 9 3 . , < . ( M3 )
cVc.
dont le nombre fera le meme que celui des quantites in-
19*
connues y , d-j , ~ &c. , comme il eft facile cle s'en af-
. , dy d"y Q
finer . Ainfi en eliminant les quantites — , — &c. , on
aura la valeur de y.
Pour cet effet je multiplie 1' equation (Mi) par Af *
1' equation ( M 1 ) par Jiff', & ainfi de time; ap:es quoi
je le. ajoute enfembje , ) ai
( * 1 Af •+- *'i Af'H- * 3 ^" -+- &c- ) y -*
(|3t M ■+- J82. AT ■+■ /33 M" -+- ckc.) (A -+- A t) ^ -+•
(r.iW' + ^M'; + y3 JIT -+• ckc.) (A -*- *02 ^ + &»
= Ai'6i +Jtf'9i -+- AI'"e$ ■+- &c.
Je fiippofe
|8i Ai' -t- j3 1 AT -i- /3 3 Af " -4- ckc. = o *J
y 1 Ai' -+- y* M' -+■ y 3 Af ' -+- &c. = o > . • (AO
&£ J
j1 aurai
Y — ~ -. — • • • • \ •* /
J M a 1 ■+■ M ct 1 ■+■ M « 3 •+■ &«.
& toute la difficuite fe reduira a determiner les quantites
Ai , Af' , Ai" ckc. , par le moyen des equations (TV).
Or ft on fubltitue dans ces equations , les valeurs de
j3 1 , y 1 , ckc. j3 i , y i &c. &c, & qu'on ordoune les
termes par rapport aux puiffances de r , on verra qu'elles
fe reduifent a celles-ci
M -+- Af ' -+- Ai ' -f- &c -+- Mm — o
Mn -+- M >i -+- M'ry ■+■ &c. ■+■ Mm ( r m ) = o
Af (n)' + Af" (r i)J -+> Af" (r 3)1 -+- &c -+- Af n (r«)' = o
Ai' (n)' + AT (r !)' -4- M ' (r 3;3 -+• &C. -+• Af " (r/7z)J = o
ckc.
^(ri)m-^7Vf"(rz)»-*-i.Af"(r3)"I-1-+&c.4-Af'"M'n-,=o
m etant
i93
m etant l'expofant de l'ordre de l'equation propofee (//),
& la quantite M' a. i H- M '" )
*n -
a]
N"'
1
■ JV"
d
.
■
- — -~
~ —
N
(r/*)
N
a
&c.
d' oil
i r
on tire
N
r
. -v
AT
rrrr
XV
-4- />
(V
{Ojf
a ( /• [X )
M'== -7— v X f) ■+• 3 //(ff* )* ■+• &c,
Soit
A — Bk(r ■+- i ) -+- C it* ( r -4- i ) ( r -+- i ) — &C.
qu r^ ( r -f- i ) ( r -+- 1 ) . . . . ( r -+- m ) = P ,
de forte que 1' equation (Z) ioit representee par P=z=o;
on aura
a +ir + cr! + 6kc. -J- u rm = P ;
doic u = ~t: V Lm, ( le figne fuperieur etant pour le cas
de m impair , 6k 1' inrerieur pour celui de m pair ) ;
d V
& i+ xcr + ?
etant
une quantite evanouitTante , ck coramc P pent etre repre-
iente en general par (r — ri)(r — r 2 ) n , on aura
Q = ~r = (r — ri)U -+- (r-n)n -+- (r-n)
(r — r 2 ) -7- ; done faifar.t fucceffivement r = r 1 , &
= /■ 2 , & fubttituant r 1 -c- a au lieu de r 2 , on aura
Qi = — w n 1 , & Q 1 = w n 1 , Hi etant la valeur
de n, lorfque r = r 1 . Pour trouver cette valeur on
remarquera que, puifque n=n , on a (r — r i)2U = P;
d' oil 1' on tire , en differentia nt deux fois , ill ■+■ 4
cr r ro ^.-rfr-r'^iEr = ~if = R> & Par
confequent , en faifant r = r i , i[l 1 = R 1 , / ( A -*• Ar ) } ;
done negligeant les a* on aura 6i = 0i -+- a (A -+■ Af)~ r ' ~~ *
X [/T (A -+- Ar)" /(A -+■ kt)dt — /(A -*- kt) X
/T ( A ■+■ kt)" Jt], ou bien
62 = 61 — a)(A-+-AO-"-' /t^- fT(/i-hkt)ridti
J b-t-kt J
done raifant ces fubi titrations dans les termes — A -p — —
A -~T ^e ^a va^eur de J i lefquels repondent aux racines
egales r i , r 2 , & effacant ce qui fe detruit , on aura
2j ^ — in — firrJT(MtyJt-
On reibudroit de meme le cas de trois racines egales, en
faiiant r 2 = /• 1 + a, rj^n +n, ai, 11 etant deux
quantites infiniment petites , 6k ayant egard aux quantites
du iecond ordre. De cette maniere on trouvera que les
trois termes — A -=r k -^- — A ~ deviendront
Qj Qj- Qj
— A rr /-; 7-/7 7- jT( h -*• kt)r,dt,
Si J b+-k tJ b-t-k tJ s
jjp
S etant = -j— , & S 1 exprimant la valeur de 5, lorfque
r = r 1 ; & ainfi de fuite.
2.0 Suppoibns maintenant que les deux racines r 1 , & •
; 2 foient imaginaires , enforte que r \ = F -4- Gv' — 1,
6k r i = F — G V — 1 ; il eil facile de voir que les
quantites Q 1 , 6k Q 2 feront de cette forme ^ 1 =s
M+iV/-i,Q: =M — iVV — 1 j de plus les quan-
i99
tites (h -4- kt) — r, — \ 8c (h ■+■ ht)rz dewendront
(h -t- kt)-F~l(k h- kt)-GV~l , & (A 4- /fcrf
X (h -h kt)cV-1. Or foit ( h -+- A r ) ° 'v ~ ' = A
( cof. / — i , done les termes — — fe reduirom a
q\ qx
~~ ^TT7;T ^(•mCoC-St — nHn.gt)fTef-'co£.gtJt
-+■ (mi\n.gt ■+• n cof gt ) fT e?' fm.gt dt ].
Rcfolution de V equation
*
- d' ■ = ~ ( * ;=*[!— £*(r-4- O H- iyi.V -H 0(/* +») —
-L ( r -+- iU/.+ i);(/.+ J ) -+- &*• ] H-
Jkrb%
£ [ i — £ £ ( r -4- i ) H (r -4- i ) ( r -4- i ) —
x
~ (r -H i){r •+- '*)(/■ -+- 3) •+" &C. ]■*-
j/[i — £c (r-Hi)-H (r-4-i)X'"-t-i) —
( r ■+• i) -+- 0 * v/ — *
r -+- i = —— - ?>
i + kb
& l' on aura les differentes valeurs de r , en faifant fuc-
ceflivement » = i, — i > * > — * &c-
Si ~ eft une quantite reelle negative , — -^- fera rd-
elle pofitive , e'eft pourquoi on fuppofera X = — —,* cof «>
J.O +
sc i , fin. a. = o i (Toil at = i » » , & par coniequent
/ — j + kiv' ■ I
Enfin fi ~ efl: une quantite imaginaire de la forme
p -+• ^ v' — i , on aura \ cof. a> = — p , & A, fin. o
= — ^ , d' oil 1' on tire K =:= »/ ( pl ■+• f ) , fin. » =
— Y" , & cof. '-+- i»i, » deno-
tant comme ci-devant un nombre quelconque entier pofitif
ou negatif , d' oil
/ X -+- (a -4- i t t) V — i
. i -*■ x a
i.° Lorfque i -h ii = (i -nia)*, i -t- kc s=
( i -+- jfea)-' &c. ; car en faifant ( i -+- k a ) — r"~" = /? ,
1' equation propolee deviendra * /? -4- @pl -+- y />3 •+• &c.
= o , d' oil T on tirera p par les methodes connues \
apres quoi en trouvera r par la methode precedente.
XIX. Si k = o , & A == i , enforte que 1' equation
a refoudre foit
«(p(x -+* a) -+- & <-+- &c. , &
20J
8c la valeur de y , tfeft-a-dire de <$ t , fera exprimee par
b fuite intinie
_ !± _, i* _ il _ &c.
?i ^i ( t + aV - i ) — •*• (.' — xV — i) = M
M etanr une conftante arbitraire ,. & $ , ^r denotant des
fonftions telles cue — '- — = done 1' equation fera
«P t •*■ t ■+• (
''/ -+• \l t = o &r.
Dans le premier cas on aura 'if (t — x V — i ) ==
3> ( x — xV — i) — M, & 1' equation deviendra
( t -+- jc v' — i) — 4> ( x — x/ — i)=o
de plus on aura
^ = ?(t +aV — t ) + p(t — XV — x) &
j— =
( x — xV — - i ) , d' oil
(t -t- x V — i )-+-*( x — x^ — i) = M-HiV,
& enfuite
p = (r — xV — i)
j-— =
par cette
condition que
4>(x -+- xV — i ) + 4> ( t — a- v/ — i) = H,
x etant donnee en x par la figure des parois du vale, &; H
dtant une quantite conftante.
io8
Suit x = h -+- k t , cc qui eft le cas ou les parois
font ties lignes droites , & 1' equation dont il s' agit fera
reducible a la formule generate de 1' Art. XVIII.
On fera done *=i , |8 = -+-. » , y = o , a = »/ — i ,
b = — V — i, T = H , y = 4> .£ , & Ton aura ,
i." — j = + i , & par confequent X = i , cof. a
r= nP i , fin. u = o; done « = ju w", »• denotant la demie
eirconference , & ft etant un nombre quelconque impair
dans le premier cas , favoir dans le cas ou 1' on prend le
figne fuperieur , & un nombre quelconque pair dans l'au-
tre cas ; par confequent. on aura r -+- i = ** ^ tv'—~ *
,. . , i -+- tang. » . V — i . ,
or on lait que / -. = a u V — i j done,
1 i — tang, u . v — i
prenanr u pour 1' arc dont la tangente eft k , on aura
f -+- i ss — . 2.° On aura , par le meme Article
2* *
Q = — . ( i h» yt vy — i)— '— • / ( i .+.*•—, s
( i — kV — i )— ' — « /( i — kV — i )} or, a caule
de k = — ^, on a ( i ■+■ A v' — i ) -'—■« = cof. ur-*-T
^cof. u -± fin. «• • — i )-r_I = cof. k'"*"1 [cof. (r-+- i)«
"Hr fin. (r -+- x* )" if . V— i ] , & / ( i -±L kV — i ) =s=
cof. a -4- fin. a . • — i . • ' .
/ = - =z -h u v — i — / cof. u -, done
col. u
on aura pour le premier cas Q s= — z cof u ' "•" * [ u fin.
( r -*- \) u — / cof u • cof. (r-t- i ) « .] = (a caufe de
( r -+- i ) a = ^3 ) :+: i tt cof h ' "*" ' , le figne fuperieur
etant pour le cas oil ju fera de la forme 4 v -+- 1 , & le
figne interieur pour le cas ou p. fera de la forme 4K-*- 3 ;
& pour f autre cas <2 = — 1 cof u r * * [ « cof (r *+■ 1) ^
»+- Icof. u - fin. (/• -4- i)w] V — i = ^ i u Cof u r"*- ' • V— r,
Ic figue fuperieiir etant poQr le" cas ou (j. eft de la for-
me 4 v , & le iigne inferieur pour le cas ou y. eft de la
"forme 4* '-+- 1 ; 3.0 On aura, a caufe de T == ://,
fT(h -+- ktydt = — ^- (A -+- A O r * J -t- cohft.j
7 (_>■-*- i)* 1
done "0 ea ; — -+- (A + h) — '— * X conft.
Done on aura en general dans le premier cas
— A -*> = rfc -7 , f ,_- -+-(A-H/tO-r-T )t conft.
Er dans le fecond cas
j H
Ainfi fubftituant au lieu de r + 1 fa valeur — , & met-
taut fucce/livement aq lieu de \x tous les nornbres entiers
podtifs & negatifs , on aura tous les termes qui doivent
entree dans la valeur de y .
11 y a cependant un cas a excepter ; c1 eft celui ou /jt,
5= o , & par confequent r = — 1 ; dans ce cas on aura
fT (A -+■ kt)r dt = — I (A+AO -+• conft., & par confequent
— k -~ = / ( A -+- A r ) -+- conft.
Done faifant pour abreger cof. u zu == p , ( A -t- A r ) 2 "
5= f , & prenant des conftantes arbitraires A , B , C Sec.
"a, b, c Cxic. , on aura poLir 1' equation
* Lr -+- ( A ■+- A t) V— 1 j -+- (f> [ t — (A -+• k 0 •— 1 ] =#,
* r = A 1 -h a 1 — ' -+- £ £ -+- A { — 3 -+- &c. -*- —
dd
fcio
& poor 1' equation
[ , .+. (A _- * 0 v' — i] — O [f— (A -h Jtt) •— i ] = #,
TLJ
•+- &c. -+■ conft.
Or p — — p} -h — f* — &c s= arc. tang, p i &
«r -4- — — &c. = arc col v\ done la fom-
P IP' 5/>
me de ces deux feries fera = — ; par confequent on aura
pour la premiere equation
«J> t = A i -4- a i — x m- 5{,+i{~'-+- &CH .
Connoiflant ainfi la nature de la fon&ion , on trou-
vera par la differentiation la fonftion # , & par confequent
les expreflions des viteffes p & q ; & 1' on determinera
«nfuite les conftantes arbitraires A , a , B , b &c. par les
valeurs connues , & donnees de p & q > lorfque f = o .
XXI. Si A = o , de maniere que le fluide fe meuve
dans un canal reftiligne , & dont la largeur foit par tout
b= z A , on fuppofera & infiniment petite , & 1' on aura
d' abord u = k ; faifant enluite k = * h , «t etant une
w
quantite evanouiffante , on aura (A •+■ A: t ) *" = A "
{i -i- at)*7* =z hrt X eTh ; &[(k-*~kt)=lk(i -t-«tr)
e= /A -t- at; par confequent I (A -+- At) =■
— : 1 7*- — . Uonc fi on fait ? = « , on aura
pour <{> f les mqmes expreifions que dans V Article prece-
Ill
dent , excepte qu'au lieu de — - — / ( h -4- k t ) , il fau-
ztfV-i
dra mettre
ihv -i
XXII. Si on ne vouloit pas que le vafe eut deux par-
ties egales & femblables , alors nommant x les ordonnees
qui repondent a l'une des parois , & x celles qui repon-
"dent a T autre , on aura les deux equations
$it + W-i)-f(l-XV/-i)=:M, &
* ( t -+- x'V — i ) — ■*• ( t — xW — i ) = JV,
par le moyen defquelles on determinera les fon£tions <1>, & "f".
Si les deux parois font des lignes droites, de forte que
x = h •+• k t , & x' = H -t- kt , on en viendra a bout
de la maniere fuivante. On fuppolera h' = h ■+- H , k
= k -+- K , & la feconde equation deviendra, en raifant
ti ■+• Kt = X,
$(£ + xV—i -+- XV— 1) — -*(;■— */— -i— .XV— 1) =JV.
Soit maintenant <{> (t -h x V — 1) =y, & "J* (f — * V — 0
•=-y\ on aura ces deux equations
y — y = AT, &
J d t xd /' v ' 1.3 ^/J N
(Iv^-.)= — &c. = JV.
La premiere donne / = j — Af , ~ = — , -j?
yr &c. ; done la feconde deviendra z -r X V — 1 -*"
d? dt
~ ( XV — 1 V -4- &c. -f- M = JV, ou bien
&c. = JV — Jlf,
equation qui ell dans le cas de la formule (S) de 1' Ar-
ticle XVIII.j & Ton aura ct= i,/3 = — i , ^ = o ,
a = y/ — i, b = — v/— ij h = H, k = K ; done Sec.
On trouvera ainfi la valeur de y en t , apres quoi on
• aura celle de y par 1' equation y' = y — M .
XXIII. Les equations p =z $ (t -i- x )/ — i) -+•
>(*_*•_,), _*_ = 9{t + x / _ ,) _
-f> (f -— ■ W — i ) trouvees dans 1' Art. XX. donnent
F ± ^~l = * P , & () etant des quantitds reelles.
Lorfque la fbn£tion
. *«3 " a-3-4-5
Or je remarque i.° que ces deux feries deviennent di-
vergentes , lorfque x eft fort grande, 2.0 qu'elles deman-
ded qu'on connoifient les differences de la fonction
t-\ m"t H $vt -i - "e
H_ ( , _ tt' __ 2V _ 3V' — &C.) — ^- . ^;
, . »* .+. . . 7+ — . 7*
T1 X If* 1 I« X
-+- to. = o
equation , dont les racines feront *2, 47% 9T1, 1 6-n* to.
a 1' inhi\i ; done comparant cette equation avec l'equation
fin. t £• g* g* - «
'"« "~ ' a-J 1-3-4-5 1.3.4.5.6.7 *
dont les racines font auffi , corarae Ton fait , x\ 4*% 97%
i6t* &c. , on aura
w' 1.3.4.5
r * £. = — iL__ ;
w* a.3.4.5.6.7
&c.
.par oil 1' on connoitra les valeurs des quantites 0 ; mais
pour notre objet il fuffit de remarquer que
i — £ V ^- 13 V — /3 V •*• &c. = — ■ .
» a (1 -)
Car, faifant i.° u1 = — 1, fevoir w = V — 1 , en aura
«, -// «/// « fin. ( «V — -i)
I •+• # -+- |3 «fr 0 -4- &C.
z » ( 1 -4- — m )
er
2.0 Si on fuppofe u = m on trouvera , en differentiant
le numerateur & le denominateur , a caufe que 1' un &
1' autre s' evanouiffent lorfque u = m ,
1 — |(JW -+- |3 «♦ — /T'm6 -t- &c. = =r-Hr ->,
le figne fuperieur &ant pour le cas oil m eft impair , &
le figne interieur pour le cas oil m eft pair ; done on
aura
C T —— f — V
2l6
f'aiui
ou bien , en f'aifahs «
«T —
S-CZ- —
f ( \-a)- a
m% -t- i
i -<*-<* „, 4(1-4)-*
1
4-t- i
"
Y'" — &c. )>
9+1 ^
Or puifque la quantite a eft aYbitraire, on la deterrr.inera
de maniere que la ftrie devienne la plus convergente
-»
Qu'on differentie cette equation en faifant Varier x , &
qu'on 1' integre enfuite en faiiant varier t , on aura
•[9(t + W_,)_f(i_.v V— 0] v^— 1 = ^f — -
X < ; =1 — 1 —
£ / — 1) ■+. ( .r-t- 2 t) •*•
Q ■+• O —
1 4+ 1
2 I i
g>(*-t-0-(pO-<0 __ ip(^i<)-(j)(<-ir) __
i -♦- i 4-1- 1
i , 4*-*-4-/ 4i/ + 4 — a/ „
— -vL o H — — &c. = o
i -i- 1 4 -+• i
i , 4^ + / -^4^-/) 4^+i;)+^-i/
4 (4-+./) ->-4.{a-t) _ 4 (a+u)-*-4(a-rt)
4
Pour fati-iaire a ces quattre conditions, on fuppofera que
Ies fonctions
foient telles que 1' on ait en gene-
ral , quelle que foit la valeur de a,
ce qui fervira a determiner la continuation des deux echel-
les donnees pour les abfcifles negatives & pour les ab-
fcifles plus grandes que a , laquelle devra par coniequent
etre telle que les ordonnees egalement diftantes de part
& d' autre des deux extremites de l' axe a foient egales
& de meme figne dans la courbe des vitefles p , & de
fignes diffe>ens dans la courbe des vitefles q; d'oit il s'en-
fuit que la premiere de ces courbes fera compofee d' une
infiniie de branches egales & femblables, toutes du meme
cote de F axe , & dflpofees alternativement en fens con-
traire, & que Fautre aura de meme une infinite de bran-
ches egales 6k femblables, mais fituees alternativement au
deflus & au deffbus de F axe.
Ayant done decrit ces deux courbes , on aura par les
ftries donnees ci-deflus les valeurs approchees des vitefles
f & q de chaque particule du fluide ; d' oil F on voir,
■que le mouvement d' un fluide qui fe meut dans un canal
droit eft determine" par le mouvement que ce fluide a
xlans une fe&ion quelconque de ce meme canal.
De plus il eft clair par la nature des courbes qui repre-
fentent les tonftions
&c. > &
4 ■+• i
■ _ f — c-* r -i_ , x __ 4O + Q — 4O — ')
4 (a- >+■ i/) -+■ 4 (a- — n)
— scc.y
4 ■+■ i
Or puiique la valeur de p eft nulle lorfque t = o elle le
4era aufli lorlque t = i a, ou = 4 a &c.j ainii le fluide
sura dans ce cas le meme mouvement que s' il etoit ren-
ferme dans un vafe de figure reftangulaire dont la longueur
tut double , ou quadruple &c. de la largeur.
On pourra encore trouver le mouvement du fluide lorf-
que la longueur du vafe fera egale a fa largeur , & en
general toutes les fois que les deux dimenfions du vafe
leront commenfurables entr' elles ; mais il faudra pour lors
que les valeurs donnees de q forment une courbe qui ait
un , ou plufieurs nceuds , de forte que la fon£tion \L x
demeure la meme en augmentant ou en diminuant x d'une
quantite egale a la longueur du vafe. Dans tous les autres
cas, ceft-a-dire , lorlque les dimenfions du vafe feront incom-
menfurables , on ne pourra determiner le mouvement du
fluide par la Uieorie precedente ; & comme cette theorie
eft f'ondee fur la fuppolition que le mouvement du fluide
lit
foit dans un etar conftant, enforte que les particules du
fluicle decrivent des courbes invariables , ce fera une mar-
que que. 1' hypothefe dont, nous parlous if aura point lieu,
fur quoi voyes les Art. XLH. & XLI0. do la Differtmioh
citee ci:deflus.
Solution d' une . queftion relative a la tkeorie
— des cordes vibrantcs.
XXV. La queftion que je vais examiner ici confifte a
favoir fi toutes-ies courbes qui rendent la.folution du pro-
bleme des cordes vibrantes poifible , ("uivanr la theorte de
m. D'Alembert , font renfermees ou non dans 1' equation
y 3= a. (in. — -+- /3 fin. - — -+- y fin. - h &c. ;
a a a
queftion que ce grand Geometre a vivement agitee a\ ec
MM. Bernoulli & Euler dans le premier- Memoire de
fes Opufcules Mathematiques.
Pour pouvoir refoudre cette queftion d'une maniere di-
■re&e & convaincante , je prends 1' equation generale de
la courbe que forme la corde vibrante , laquelle eft com-
me 1' on fait ,
pour que 1' on ait en general quel que foit t , ,
t = — — * &c. , & prenant
des conftantes arbitraires A , B , C &c. , jf , B' t C ,
on aura
^ r = ^ * * -t- yf e * -i-Be ' -t-
B' e ' -+- &c.
equation qui revient a cette forme
— /
e= o , done *' cof. — -+- (8' cof! ~ •+• &c. = o« done
a a
a = o , (£' = o &c. , done
r = * fin. 22 h_ /3 fin. 22- -+- y fin. -12 _h &c.
par confequent l'equation de la figure initiate de la corde,
lbrfqu'elle en a une, ne peut erre que de la forme
v = a fin. — -h Q fin. -22? ^- y fin. *23 .4- &c.
* i * a
Sur /' integration des Equations
Ly + M^-i-N~y + 8cc. -4- ly' + mdi
J dc d C J dc
dV dv'' dV
■+- n ~ -4- &c. ■+■ K y"-4- a -p- -*• » "3T" •+■ &c. = T ,
dt* ' ^dc dc*
LWM'^-+N'^+ &C. -4- K y' -4- m' ^
7 dc dj;' ' dc
dV dv'' dV'
dc' 7 ^ dc dc*
L"v-h M" %- i- n ■■' ? + &u ly i m" fi!
y dc dc» • dc
dt' y ^ dC dC '
&c —
dW lefquelles L , M , N &c. 1 , m , n &c. 8cc.
yo/zr « fonciions quelconques de t .
XXVI. En luivant les memes principes que dans 1' Art. I.
on multipliera la premiere de ces equations par { it , la
feconde par {Vr, la troifieme par i"dt, & ainri de fuite,
{ , { , i &c. etant de nouvelles indeterfninees , & apres
les avoir ajoutees enfemble , on en prendra 1' integrate en
faifant dhparoitre par des integrations par parties, les diffe-
rence's des variables y , y, y" &c. de deffous le figne /;
de cette maniere on aura une equation de la forme fuivante
u -*• fWy -+■ yy ■+- yy -+- &0 *
== /( T { -*- T{ -4- T"{ -+- &c. ) it ,
dans laquelle
l/=y (M{ h &c. -t- MY- — — - -*-&c.
1 / V dt*
d N"r"
-4- M'Y - £-£■- -4- &C. )
114 o
+d-l(Nz — Sec. -+- iVV — &c. H- N'U'; — &c. ) + &c.
< // // " • " z o \
+ m I Tt H &c)
»'-. ■ J
d -,z , , <*• * * ' o
*/' (p { - -T~ J &c. -t- pY - -^ + &c.
,•11 a • t z
V^'tVr — &c. 4- //-&C.-4-VY — &c.)-+-&c.Scc.
dt s *■ <■ l
1 dt d?
_, , d.M'z' rf-.NV - v*
d.W'z" • d>.N"z" 0 0
■ ~*~L * ~~~dT~- + tyP" ~&c*
v = ll J, «r — 7,1 6cc-
d . &'-' dx.ri z' 0
*l I - Wffpo. rt; n&l &c'
rt«! a- -7,— + -7,> &c- &c*
1 dt dt'
^.x { -— -H _ dtX _ etc. Co.
Suppofant done K = 0; T' = o ,- T" = o fcc. oil aura
22J
equation , dans laquelle les plus hautes differences des va-
riables y , j' , y'' Sec. fe trouveront moins elevees d' une
unite que dans les equations differentieiles propofees.
On aura done autant de pareilles integrates, qu'on trouvera
de valeurs particulieres de chacune des quantites { , {' ,
z", &c. par le moyen des equations V = o , V = o ,
r" = o &c. Or lbit m la fomme des expofans des plus
hautes' differences de y , y' , y" &c. dans les equations
propofees , il eft clair que la quantite U contiendra autant
d'inconnues comme y , y , y" Sec. ~, -—, —r- Sec. &c.
*/'*/''/ d t1 d t' dt
qu'il y a d' unites dans le nombre m ; done fi on a aufli
m valeurs particulieres de z , de z' , de z" Sec, on trou-
vera facilement les valeurs generates & completes de y ,
/, y" Sec.
Soient maintenant Y, Y' , Y" Sec. les premiers mem-
bres des equations propofees , on aura
f(Yz -t- Y'z' -+■ Y"(' -+- Sec.) dt == U
■+■ A Vy -f- V'y -+- V"y -+- &c. ) d t . . . (U) i
done faifant V = o , V = o , V" = o &c. , on aura
1' equation
U — f( Y i -+- Y'z1 -+- Y"f Sec.)dt = conft. ,
laquelle aura neceffairement toutes les valeurs de z , z' ,
f" &c. communes avec les equations 7*" = o , V = o ,
V" — o Sec. Or 1' equation (Z7) ell identique , & par
confequent ne depend point des valeurs de y, y', y" Sec.-,
done on peut fuppofer ces valeurs telles que Y = o ,
Y' = o , Y" == o &c. j & ■ 1' on aura par ce moyen
1' Equation U = conft. , dans laquelle on regardera les
quantites y , / , /' &c. ^ > 7; , -j-f &c. &c. com-
me donnees , & les quantites j, {', {" &c. — , — - — ,
Mifcel. Tom. III. f f
ia6
j _'•
— — - &c. &c. comme indeterminees; or il eft aife de voir
dt
que ces indeterminees feront auffi au nombre de m ; ft •
done on a m valeurs particulieres de chacune des quanti-
tes y , y, y" &c. dans les equations Y = o , Y' = o,
]f" = o &c. , on aura auffi , par la ftibftitution fucceffive
de ces valeurs dans Inequation U = conft. , m equations
particulieres, d' oil Ton tirera les valeurs de {, {', ^" &c,
lefquelles contiendront neceffairernent m conftantes arbi-
traires ; de forte qu'en faifant fucceffivement toutes ces
conftantes, hors. une, egales a zero, on aura m valeurs
particulieres de ^ , de ^ , de tf' &c. Done &c.
XXVII. De la refulte ce theoreme.
Les equations propofees feront integrables algebriquement, fi
on peut trouver , dans le cas de T = o , T = o , 7"
= o ckc. , autant de valeurs, particulieres de chacune des
quantites y , y' , y " &c. qu il y a d' unites dans la fomme
des expofans des plus hautes differences de ees variables.
Au refte ce theoreme n' eft qu'une fuite de celui de
1? Art. VL Car il eft clair que les equations propofees
peuvent toujours reduire a ne contenir chacune qu'une
feule variable ; & il eft facile de s' aflurer par le calcul
que les reduites feront neceffairernent de l'ordre m ; done &c.
XXVIII. Les equations V= o, V = o , T"= o &c.
font integrables en general lorfque
L fe= A (A -+■ hty, M — B (A •+- kt)r+%
JV = C (A -t- kt)' + * &c. , Z's/(4+ilO',
M' == B (A -+- kt)' + * &c. &c,
& de me me
/ = a ( A -+- hty, m = b(h -+- kt)*-*-1,
n = c ( A -+- h)'+1&c, /' = a' ( A +/tO',
m' = J'(A + ^)'+' &c. &c. ,
& ainfi des autres.
-i7
On fera dans ce cas
r = R (A -t- kt)r, f = R (A -4- *,)',
£ = R"(h -+- kt)' &c.
i?, i?', /?", &c. ctant ainli que r des conltantcs indeterminees ;
on fubltituera ces valeurs dans les equations dont il s'agir,
& divifant enfuite Ja premiere par (A -+- k t )p **" ' , la
feconde par (A -+-. k t) <• '■ "*" r &c. on aura des equations
fans t, qui donneront les valeurs de r , i? , R , /x' ike.
XXIX. Si les coeikiens X, M, N &c.,_ Z , M\ N' &c.
etoient conftans, on feroit A = o , A=i, &r= -4- , p
etant une quantite finie , & P on auroit (A -+- kt)r ==
el"-; par conlequent i-1 faudroit fuppofer
I — R eP', ( = R ' ee < 7 f" — R< e Pt &c.
Methode generate pour determiner le mouvement dun
fifleme quelconque de corps qui agiffeni les uns
fur les autre s , en fuppofant que ces corps ne
jliffent que des ofc illations infiniment petites autour
de leurs points d equilibre.
XXX. Soit n le nombre des corps qui compofent le fi-
fteme , & nommons y, y", y" &rc. les efpaces inrlnimens
petits que ces corps decrivent dans leus ofcillations pendant
le tems t , on aura, en negligeant les quantites infiniment
petites du lecond ordre & des ordres plus eleves , des
equations de cette forme
tl -+- Ay' -+- B'y" +• Cy'" -*- &C. -+- N'yn= o, "J
~& + A"y' + By + cy ■+■ &c..+ Ny= 0, j
11$
*£L + A"y'+ B'Y-h cy+ &c.+ #;y == o
&c. ^ («)
*£ + ^y .4- #y h- cy " ■+■ &c. Ny = o,
A , B' , C &c. ^ 5", C" &c. &c. etant des conftan-
tes donr.ees par la nature du probleme.
Pour integrer ces equations fuivant la methode expli-
quee ci-deflus , on multipliera la premiere par X' e t" d t ,
la leconde par X" e r" d t , la troifieme par X'"eP'dt, Sc
ainfi de fuite , X' , X", X'" Sec. etant , ainfi que p , des
conffantes indeterminees ; enfuite on les ajoutera enfembfe,
& on en prendra 1' integrale en faifant difparoitre de def-
fous le figne / les differences des variables y\ y'\ y1'' ckc*
apres quoi on fera = o les coefieiens des quantites
J y' e f" d f, fy" ePf dt, fy" el" d t &c.j de cette maniere
on aura d' abord P equation integrale
-4- Sec. -4- X° (-J- — pytt ) y ef" = conft. . . (*)
ck enfuite les equations
fh' -*-AX' + A'X" ■+■ A"X["-4- Sec. -f- ^"X" = o ->
^X" -+- #X' -4- B"X"-i-B'"X'// -+- &c. -+-5"X" =* o
fx"' + a' + cvx" -*- C"x'" h- &c. -+- ex- = 0 y ( c )
&c.
f . V -»- JVV-H iVV-f- N"'X'"+ &c. -4- j\T"X" = oJ ■
lefquelles ferviront a determiner les quantites p, X', X", X"' Sec.
Soil , lorfque t = o , y' = V, y" = Y", y" = Y" Sec.
frUjLyt i£ :tgB y» d_£l = ?•'■' &c, Pequation (/>)
d t at d t
deviendra en divifant par e t '
dt dt at at
_ p ( xy -h xy ^- ^*yr .+. &c. _h x»y )
— [ xT' -+■ K'V" -+- x"T'" -+- &c. ^ x«r-
— p(xT' -+- x'T" -+- x"T" hh &c. -+- x-rn)] ^-/"
Or comme la quantite p ne fe trouve dans les equa-
tions ( c ) que (bus la forme quadratique p* , il s' enfuit
qu'elle peut avoir indifferement le figne -4- & le figne — ;
done on aura auffi
. / dy' .. dy" ,„ dy"' ' dy"
X -f -4- X" -f- -4- X'" -^- -4- &c. -+- hT ~-
dt dt dt dt
■+• p ( *'/ ■+■ * 'V -+■ *Ff •+• &c. -+- xy )
— [ XT' -+- KV'1 -h fc'"ff -+- &c. -4- vr-
-4- p^XT' -4- X'T' -+- K'T" -4- &c. -4- X«r")]tf^»
Done retranchant ces deux equations 1' une de l'autre , &
divifant enfuite par 2 p on aura
(<0 xy -+- xy -*- xy -+- &c. -4- xy
— ( XT' -4- K'Y" -4- X"T "' -+- &c. -*■ K"Y" ) —--SZH.
4- ( XT' -+- x"F ' -4- X"T"' -4- &c. -t- -k-V" ) iHzSZl
Qu'on reprenne maintenant les equations ( c ) , & qu'on
i'ubttitue dans une quelconque de ces equations les valeurs
de -7- , — r , &c. — r en p* tirees de n — 1 autres, valeurs
qui feront toujours donnees , comme V on voit , par des
equations lineaires , on aura une equation qui etant or-
donnee par rapport a px montera au degre n, & aura par
confequent n racines. Done p aura , independamment de
1'ambiguite du figne dont nous avons deja tenu compte , n
valeurs que nous denoterons par p 1 , p 1 , p 3 &c. (p n) ,
enforte que (pi)1, ( p 1 )* , (p3)* foient les racines
de l'cquation dont il s'agit. Done, ii on fait pour abregcr
i}0
G = ( XT' -h XT' -+- K"Y'" % &c. * XT" ) -- e~*
2
e ft - c— ft
( \T' -t- KT 4- x'T"" -4- &c. -4- XT" )
&c.
-*-
X"
i-y
=
81
&c.
-H
X"
zy"
=
Qz
&c.
-+-
X'
w"
=
e5
& qu'on deligne par X'i , X'i , X'3 &c. (\'n),\"i, \"i,
X 2 , X '3 &c. ( \"n ) &c. les valeurs de X', X" &c. qui
refultent de la iiibftitution de p 1 , p 1 , p 3 &c. ( p n ) au
lieu de p , & que de meme -6 1 , 62, 63 &c. ( 9 « )
fbient les valeurs correipondantes de 6 , on aura lieu de
1' Equation ( d ) les n fuivantes
<» / mJ ~~. -y " II , '.HI III
X ly -+- X \y -4- X \y
2jy -+- X xy -+- X 2jv
^'3/ ■+■ ^3-y ■+• Wyy*-
&c.
( X'/i )/ -+- (X^)j" * (X'^/z)/" H- &c. -+- (X"n).y" = (9 «)
par lefquelles il faudra determiner les n inconnues y\ y",
y'" &c. .y" ; c eft a quoi le reduit maintenant toute la
difficulte du probleme.
Pour en venir a bout , je multiplie la premiere de ces
Equations par p, la feconde par a", la troifieme par p",
& ainTi de luite , [/, /j.'\ y!" &c. etant des coehciens in-
determines, puis je les ajoute enfemble, ce qui me donne,
en ordonnant les terraes par rapport a y', y", y'" &c.
[juX'i -+- fj."\'z -4- ^"V3 -+- Sec. -+- jLt"(X«)]y
tf-[^Vi -4- p'V'i H- ^'V'3 -+■ &c. -H ji*" (X"/z) ] /
-+- [/aflSf 1 -4- ^'x'^x -+- p6"W">i -+- &c. H- n*" (X' "n) ]y"
&c.
•+- [/*Vi -+- ft'Vi -+- ft^Vj -+- &C. -4- ji«"(X"n) ]y
== p'tii -4- ^"6 2 -4- ^"03 -+- &c. -+- /J." ( 9 n) i
d' oil 1' on tirera aifement la valeur d' une y quelconque ,
comme y* , en cgalant a zero chacun des coerkiens des
autres y ; ainu" 1' on aura
, __ ^'?i +(t"Jq + ni1" 9 3 -f- 6-c. ■+■ f»> ( Bn ) , v
* ~~ H K> I -4- /*'X'a +. i^"K' 3 -»- 6-C-4-M" (X'n) * ' "
& enfuite ces equations de condition
/a'K'i -+- fj!'K'x -+- p*Vj -4- &c. -4- /U," ( K'n ) = o-V
tt'X'i -+■ pVi ■+- /" &c.
& ajoutees enfemble donnent
C pV -+- ^V -+- £V -1- Cf -H &c. -*- iW ) X'
-+- (pV -4- yfV -+- £V -+- CY' -+- &c. -+- iVV)X"
-+- ( pV" ■+■ ^"V -h £'V -H CV -t- &c. -k JV" V ) X'"
&c.
-+- ( pv -+- Anv' -+- ,5v -h cv ■+. &c. •+■ jvv ) X"
= 0 . . . > . . • . ( * )
431
Done fi on fuppofe que les quantites >', v", v'" &rc. v", ou
plutot leurs rapports ibient tels que les coeficiens de X' ,
K", X'" . (*)
Sec.
pV ■+• ^V -+- #V' -+- Cv" -+- &C. -4- i\TV = o J
Et il eft bon de remarquer, qu'en eliminant de ces equations
les quantites /, »", »'" &c. on aura une equation finale en p2
qui fera n^ceffairement la meme que celle qui refulte des
equations ( c ) par 1' evanouiflement des quantites X' , X" ,
X " &c. ; ce qui peut fe voir aifement a priori.
Faifons maiotenant p == ( p m) , nous aurons
^'/ -+- £ V -+- Cv" -4- &c. -H iVV = — (fm)1.'
^'V -+• B"i' *• CV" -i- &c. -+- jVV = — (p/7z)V
^'V -+• £"V -+- C'V" -*- Sec. -+- N"Y =—(pmy v"
&c.
A*i •+■ B"v" -+- CV". -+■ Sec. -+- JW = — (pmy»'i
& 1' equation ( i ) deviendra
[ f2 — ( P « Y ]X[ *X' -+- /V -4- **'*# f*- &c -+- W] — o,
laquelle devant £tre vraie pour toutes les valeurs de p qui
fatisfont aux equations (e) d'ou ,celle-ci eft tiree , on aura
en general
vV .+- fx" -+- fX'fi -4- &c. + >"r = o
lorfque p = pi, pi, p3 &c. (p/»), excepte (p/7z) ,
auquel cas 1' equation fe verifie d' elle meme , a cauie da
facteur p* — (pm)z.
D'oii Ton voit que les valeurs de v' , >", v'" &c. v" qui
fati font a la condition (A) font lps memes que celles qui
reTaltent des iquatjons ( k ) , en y faifant p ps ( p /w ) .
Done
Doac fi on denote ces valeurs par (p'ot), (»"/»),. (v"m) &c,
& qu'on les fubftitue dans fequation (g) on aura
m _ (t'm) A' ■+• (t"m) A'' ■+• ("'"m) A"' -t- 6-c. ■+- (»' m) A">
" ('bi)(k'bi)+ (»"m)(\ m) ■+■ (»' m)(^ "m) -I- 6-c. ■+- (»•< m) (v m) "
Mais les equations (f) demandent que les quantites A',
A", A" &c. A" lbient toutes nulles a i' exception de AJ,
done fi on fait pour abreger
v'X' -+■■ v\" -h v'"K'' -+- &c. ~h v"Kn = Q
cV qu'on denote en general par ( Q m ) , la valeur de Q
lorfque p = (p m) , on aura pour norre cas
„m ' ("«) A'
* r&n~r>
& par confequent
, _ (,» i) A' „ _ (,.a) A- &
Done enfin fubftituant ces valeurs dans la formule ( e ) ,
& faifant attention que
A' = p'Ki -+- fj.K'i -+- jtfV] -+- &C. -4- jua ( X' /2 )
on aura
f = £ e' + £ 6l +% e' + &c- ■•■ t<& -
Ainfi le probleme ne depend plus que de la refolution des
equations (c) & (k).
XXXI. Nous avons trouve" que la quantite ( v'm ) X' ■+■
( v"m ) X" -+- ( v'"/7z )X" -+- &c. ■+■ ( v'm ) X" eft nulle lorf-
que p = p i , p i , p 3 &;c. ( p « ) , excepte ( pm ) ; or il
eft facile de voir que les valeurs de — , -rr &c. -r tirees
des equations ( c ) feront exprimees par des fractions tel-
les que -V , ^ &c. -V , les quantites q , y" , q" &c.
etant de la forme a -t- Z> p1 -+- c p4 -+- &c. -t-Ap2(n~'^
de forte que fi on fait , ce qui eft permis , X' = q , om
Mifcd. Tom. III. g g
M4
aura \" = q" , X'" s= f &c. , & par confequent la
quantite ( vm ) X' -+- ( v"m ) X" -+- ( i/"m ) X" -4- &c. -H
(v"/tz) X" deviendra de la forme ot -+- /3px — *— yf -+• &c.
-+- ^ p: ( " — ' ) ; done on aura
{ im) K' •+■ ( fm ) X" •+- ( ^'m ) X'" -4- &c. -+- ( »"OT ) X*
= *c.~r^)<.— ifbr) ■/.-<•- w>-
en prenanr tous les fa£teurs depuis i .p jufqu'a
i ^-r- , hormis i ■/ , j & le coeftcient v etant
egal a la valeur de ( / m ) X' -+- ( 9" m ) X" -4- &c. -+■
( v" m ) X" lorfque on fait p = o dans les quantites X' ,
X" , X" &c.
Or fbit P — o l'equation en p* tiree des equations (c),
ou ( A: ) , on aura , en fuppofant que le terme tout con-
liu de P foit i ,
done
% P = [ <»',») X' -*- (»"/n) X" -*- (t'"m) X'" -+■ &c. -+- (f-fflj X"]
Prenons les differences de part & d'autre , en faifant va-
rier p, & fuppofbns enfuite f ess (pm), ce qui changera
les quantites X', X", X'" &c. en (X m), (X"/n), (X'"/«) &c.
nous aurons
% 77 = - (£) [(^)(x'y> -4- (/'m)(XV> + (•'"«) t — e—rt
qui reduira les exponentieiles &
a cette forme cof. r t , & — ■ — ; d' ou il s' enfuit que
fi toutes les racines de 1' equation P = o etoient reelles
negatives & inegales , les valeurs de y , y" , y" &c. ne
contiendroient que des (inus & des cofinus ; nous verrons
plus bas que ce cas ell le feul ou la folution foit bonne
en general relativement a la queftion mecanique.
PaiTons au cas des racines egales , & fuppofons p % =
p i , il eft facile de voir par les formules de 1' Art. prec.
que les valeurs de Q i & de Q z deviendront = o; de
lone que les deux premiers termes de la valeur de y* fem-
blent devoir etre infinis. Pour obvier a cet inconvenient^
on fuppofera p i = p i •+• u , u etant une quantite eva-
d P
noviflante , & a caufe de Q = — % p — = — ■—
(i . p . - ) , 1' on aura
Q1=rv(i- (fI> )(i — ^^ ) ( i — (/")j ^
xj (5
& de meme
Done fi on fair ~ = R , 8c qu'on denote par R i ce
que devient i? lorfque p devient pi, on aura Q i =
Rt,&Q^=T^R
I
(M)"* ' V (Pi)1
Or , en faifant p 2 = p i -+- « , on a v'i 0 2. = t'i 0 i
-+- 2 — a ; done
apt
(Pi> v R.(''Ki) ' „ _ (/.i)* 4. (-"iSi)
-+- — - — x -, & — — 5 X 7 .
o> R 1 i/j 1 /J 1 dpi
On refoudra de meme le cas de trois racines egales, &
ainfi des autres. Au refte il eil evident que les termes de
la valeur de y' qui repondent aux racines egales contien-
dront toujours Tangle t, 6k de plus des exponentielles or-
dinaires , fi ces racines font pofitives ,. 6k des Jinus 6k des
cojinus fi elles font negatives.
Enfin s' il fe trouvoit des racines imaginaires , on les
reduiroit d'abord deux a deux a la forme a -+• b V — 1 ,
& a — bV — 1 , a 6k £ etant des quantites reelles , de
forte que (p 1 )2 = a -+- b )/ — 1 , (/n): = a — b V — 1,
& ainfi de fuitei ce qui donneroit p 1 = f -*- g ^ — 1,
pi = f — gy/ — 1 , & par confequent e~Plt = e- f*
Xe-5'^- = e±f (coCgt -± fin. g t X • — 1 ) , &
de meme e^rf1' = c—f' ( cof g t -+• fin. g t X V — 1).'
On rameneroit de meme a la forme p -+- q V — 1 , 6k
p — J ^ — 1 les valeurs des quantites p , v , & Q re^'
pondantes a p 1 6k p 2 , 6k on trouveroit apres les fublti-
*?7
tutions & les reductions, qtte les imaginaires fe detruiroienr
dans les deux tcrmes -^- 6 i + •— - B z * leiquels con-
tiendroient alors des Jlnus & des cojinus multiplies par des
exponentielles ordinaires.
XXXIII. Au rerte quand on veut appliquer la folu-
tion precedente au mouvement d' urt fifteme quelconque
de corps , on doit fuppofer , comme nous F avons fait ,
que les quant ites y' , y" , ym &c foient afses petites pour
qu'on puifTe negliger, fans erreur fenfible, dans les expref-
fions des forces acceleratrices des corps , les termes qui
contiendroicnt les produits y% y' y" &c. Ainu" il faudra
pour que la fblution foit bonne mecaniquement r.° que les
valeurs initiales Y , Y" , Y" &c. V , V , V" &c. foient
innniment petites. z.° que les expreffions dey, y", y'" &c
ne contiennent aucun terme qui augmente a 1' infini avec
le terns t ; par confequent il faudra que les racines de
1' equation P = o foient routes reelles negatives & ine-
gales , auquel cas la valeur de y' ne conriendra que des
finus & des cojinus ( Art. free. ) , ou au moins que les
termes qui renfermeroient Fare t dirparoiflent d'eux memes.
Done i .° ft (pi)* eft une quantite pofitive y il faudra
que 1' on ait
KiY-h X"i Y" -+- K'"i Y" + &c. + Vir's=o \ ,,.
X'x V -+- X"i P -+- V i V"' + &c, + X".^ = o / ' (L}
ce qui fera evanouir le premier terme ~ 6 i de la va-
leur de y' .
De merae fi (p i )z & ( /) i )2 etoient toutes deux po-
fitives , mais inegales , on auroit , outre les deux condi-
tions precedentes , encore ces deux-ci
X'zY -+• VxP -+- K'"zY" -H &c. -4- XnzY- = o
KzV -+• iftf?. ■+- K'zV':\ ■+■ &C. -H WiF? = p,
238
& il huidroit effacer les deux premiers termes de y' ; &
ainli de flute.
i.° Si (pi)1 & (pi)! font egales & negatives , on
aura les memes conditions ( / ) , & les deux termes
7c— 6 i -+- -^ 6 i deviendroiit, en faifant a i = /• i V — i ,
<2i Qa r '
rI v <'•'" i (^'iK -+■ \°iy •*■ *."iV "'•+■&€. -+- v i K" ) /-
— r- — X ; col. r I t
a R i <* r i
)
T TrT X dr\— fm-r lt'
Mais fi (j)i)' & ( p i )* etoient egales 6k pofitives, alors
oi] auroit encore deux autres conditions a remplir , favoir
dpi
d . — (>.'ir-t-\"iK'^-\'"ir'-*-6-c.-f-x«ir*)
_ _ 0y
& ainfi du refte.
Mais il y a ici une remarque importante a faire ; e'eft
que les equations ( a ) n' etant qu'approchees , 1' equation
P = o doit aulli etre regardee comme telle , de forte
que lorlque on trouve des racines egales, on n'eft pas en
droit d'en conclure que les valeurs de p font egales, mais
feulement qu'elles ne different que par des quantites infini-
ment petites ; d' oil il s' enfuit qu'a la rigueur , 1' egalite
des racines de 1' equation P = o , ne fuffit pas pour in-
troduire des arcs de cercle dans les valeurs dey, y'\ y'" &c.
en tant que ces quantites reprefentent les elpaces parcourus
dans les ofcillations des corps. Cependant comme la fuppo-
fition de" p 2 = p i -+- u , co etant une quantite tres-petite,
rend auffi les quantites Q i & Q 2 tres-petites du meme
ordre , comme on peut s' en afsurer par ce qui a ete dit
a39
dans 1'Art. prec. fur le cas des racines egales , il ell: clair
que les quantites yr- 6c jr- contiendront des termes fi-
nis , & qu'ainfi il faudra , pour que les valeurs de y , y \
y'" &c. foient roujours tres-petites , que les termes dont il
s' agit dilparoiflent entierement de 1' exprefiion de y' ; ce
qui donnera , en negligeant les quantites infiniment peti-
tes du fecond ordre , les memes conditions & les me-
mes refultats que ci-delTus. II eit clair que ce que nous
venons de dire des racines egales, doit avoir lieu de me-
me , lorfque elles ne different que. par des quantites tres-
petites.
3.0 Si (p 1 )z & (pi)* etoient imaginaires , alors re-
duifant les quantites Vi , K"x , K'"i &c. , &: Ki , >/ 'a ,
V"i &c. a la forme p' -+- q V — 1 , p " -+- q' V — 1 ,
f .+. q<" V — 1 &c. , & p' — q'V — 1 , p " — q V — 1 ,
p'" — q"' V — 1 &c. on auroit les conditions fuivantes
p'Y' -+- fY" -4- f'Y" -h &c. n- prV = o ,
pV -+- p'V" -4- f'F" -h &c. •+- pnVn = o ,
• q'Y' -4- q"Y" -4- fY" -4- &C. -h qnYn = o , &
qF -4- q'V" -4- q"V" ■+- &C. -f- fFm = o .
On aura de pareilles conditions pour chaque paire de ra-
cines lmacnnaires.
XXXIV. De la on tire une methode generale pour voir
fi F etat d' equilibre d' un fifteme quelconque donne de
corps ell flabte , e'eft-a-dire , fi les corps etant infiniment
peu deranges de cet etat , ils y renviendront d'eux memes,
ou au moins tendront a y revenir.
On fuppofera le fiiteme dans utr etat infiniment proche
de eclui d' equilibre , & on cherchera les expre/fions des
forces acceleratrices des corps pour fe remettre a cette
etat , lefquelles feront, aux infinimens petits du fecond or-
240
dre Sc des fuivans pres , de cette forme A y' -+- By" -4-
Cy" -+- &c, comrae nous V avor.s fuppofe dans les equa-
tions ( a ) . On formera enfuite des equations telles que
les equations (c) , & on en tirera 1' equation P = o,
dont p* fera 1' inconnue , & qui fera neceffairement d1 un
degre egal a 1' expofant du nombre des corps. Cela pofe
i.° Si toutes les racines de cette equation font reelles
negati\res & iuegales , 1' etat d' equilibre fera JlabU en ge-
neral quel que foit le derangement initial du filleme.
i.° Si ces racines font toutes reelles pofitives ou toutes
imaginaires , ou en partie reelles pofitives , &r en partie
imaginaires , 1' etat d' equilibre n1 aura aucune Jlabilite , 6c
le lilleme une fois derange de cet etat ne pourra le
reprendre.
3.0 Enfin fl les racines font en partie reelles negatives
&: inegales , & en partie reelles negatives & egales , ou
reelles & pofitives , ou imaginaires , l'etat d'equilibre aura
feulement une Jlabilite relative & conditionelle , c'ell-a-dire ,
que cet etat ne fe retablira , ou ne tendra a fe retablir ,
que lorfque il y aura, entre les diftances 6k les vitefTes ini-
tielles , les conditions marquees dans 1' Art. prec. ; dans
tous les autres cas il fera impoffible que le liiteme revien-
ne de lui meme a fon premier etat.
XXXV. Lorfque toutes les racines de l'equation P = o
font reelles inegales & negatives , il eft clair , qu'en faifant
pz = — r1 , chaque terme de la valeur de y' fe reduira
a la forme * cof. r t -H (3 fin. r t , laquelle reprefente ,
comme 1' on fait , le mouvement d' un pendule iimple de
longueur — ; d' ou il eft aife de conclure que le mou-
vement de chaque corps fera compofe de n mouvemens
pareils a ceux de n pendules dont les longueurs feroient
1
(M)
. >
241
; — r- , ; — r- , ; — r &c. 5 — — • C eft le thdoreme que
M. Daniel Bernoulli a d^duit, par induction, de la confede-
ration du mouvement d' line corde chargee de plufieurs
poids.
Si on veut que les ofcillations des corps deviennent flm-
ples & ifochrones , on fuppofcra que 1' etat initial du fi-
fteme foit tel que 1' on ait
y.V' -h X"Y" H- \"'T" -+- &c. -t- VF" = o &\ , .
W -+- -k"V" -+- \'"KM -+- &c. -+- K"F" = o / W
pour toutes les valeurs de p2 , hors une quelconque a vo-
lonte comme (pm)z; car alors les quantites 6 i, 6 i, 63 &c.
feront nulles, a l'exception de ( 6 m ) ; & par consequent
( s m \
la valeur de y' fe reduira a t??—, ( 6 m ). Mais les equa-
tions ( »2 ) etant abfolument iemblables a 1' equation ( h )
de P Art. XXX. , il eft clair qu'on aura pour la determi-
nation des quantites Y' , Y", Y'" &c. V , V", V" &c.
des equations analogues aux equations ( k ) ; d' oil il s'en-
iuit que ces quantite's feront en raifon conftante avec les
quantites ( v'm ) , ( v"m ) , ( v'"m ) &c. ( v"m ) j de fortQ
qu'on aura
( K'm ) T -.- ( ^w ) 1*' -i- ( K'"m ) T" -*-&c. + ( Knm ) f
T
(K'm)V' + ( x"m )V" + ( <"m) V" ■+■ &t. h- ( x'm) V
~~ V
(k'ji) (>' m)
. iy. /- . v T»- fin. (tot-)/
y = Y' cof. ( /■ m ) t -h T1 — r — •
Ainfi le mouvement des corps fcra le meme , dans ce
cas , que s' ils dtoient pefans , & qu'ils fuftent fuipendus
Mifcel. Tom. III. h h
242.
chacun a urt fil de longueur — — — , la gravite etant prife
pour 1' unite des forces acceleratnces ; d'ou 1' on voit que
le filleme ell fufceptible d' autant de diiFerens mouvemens
ifoehrones que 1' equation P = o a des racines reelles
negatives & inegales.
Des ofc'dlatltns cT un fil fixe par une de fes
extrcmitcs , & charge d' un nombre
quelconque de polds.
XXXVI. Soit n le nombre des poids que nous fuppo-
ferons , pour plus de rimplicite , egaux entr'eux & ega-
lement eloignes les uns des autres ; imaginons que le fil
ne ralle que des ofcillations infiniment petites & dans le
meme plan ; & foient nominees jy', y'\ y" &c. y" les di-
ftances des corps a la verticale a commencer par le plus
bas, & a la diitance d'u-n corps a l'autre , on aura, com-
me il ell tres-aiie de le voir par les principes de la Di-
namique , & comme on peut le deduire des formules ge-
nerates que j'ai donnees a la page 2.17. du Vol. prec. ,
-f- -+- 7 — =
dr a
0
J>y>, y" —y>»
di* a
y' — \y" -i-y'"
a
- dy'" y'" — yw
-f- . _
dr a
- 2
a
dl* a
- 3
&C.
d'v" v"
dtx a s
y f — ■ 1 iy'
c'eft-a-dire
= o.
m;
d>y"
~d7~*~
dW''
_— -4-
dl*
&c.
= 0
— 3/" + 7/v — 4>
a
— — ~j-
— ■ (» — i)y"~ ' -*-(i» — Oy
*/■ • * - ° •
Comparant ces equations avec les equations ( a ) de l'Art.
XXX. , on trouvera que les equations ( c ) du meme Ar-
ticle deviennent celles-ci
a
— \ -+• 3 k — u'1
p'X'
P A ■+• = O
-«w —3* -+-7* —4^
&C.
fA + — ■ 0 ,
d' oil F on tire
X" = ( i -♦- « p» ) x/
— k' + ( 3 * W
*V
2
s= ( i -J- i flp» •+- - - ) X'
a
X := (i -+-3aplH -f. — -)\.
*44
v r i z-3 1.3.4
& ainfi de fuite ; de forte que 1' on aura en general
( M I ") ( /» — 1 )
r = [1 -4- (m — 1 ) ap* ■+• — ax p*
^ (,_ ,)(,,-»)(„-,) ~ ± &c K, ^
4.9
Or il eft vifible que, pour fatisfaire a la derniere £qua-
— (»— l)x"-' -+- ( 2 » — l)x"
tion p1 K" -+- ■ = o ,
a
il faut fuppofer V + ' = o ; ce qui donne
1 -+- nap1 -+- — ^ — fi4 -+- — - — p6-+- Sec. =a o
4,. ... 4-9
equation , d'ou Ton tirera n valeurs de p\ qu'on defignera
par ( p 1 Y , (fi)1, ( /> 3 )2 &c. (/>«)% & qu'on fubfti-
tuera fucceflivement dans T exprellion de Xm pour avoir
les valeurs de X"'i , Xmi , V3 &c.
A l'egard des quantity v , on les trouvera de la meme
maniere par le moyen des equations (/t), lefquelles devien-
nent dans le cas prefent
a1* ■+■ = o
a
fll -+- = 0
r a
„ II . e HI « V
&c.
d' oil 1' on tire comme ci-deffus
r « (* + (wli , W* S (»-'HrLZli>fly
4.9 r
145
ou bien , en fuppofant pour plus de fimplicite K' = t'
= i , v" = X"} & par confequent \>mi = Vi , vmz =s
Xraz &c.
On aura done
() = (\y -+- (\")J -+• (*-'")1 -+- &C. ■+• (*■")*
= i ■+■ ( i + ap')' + (i ■+• ^af H />+ )* ~t- &C.
-+- [i+B-iJai1 -4- i - — p4 -+- &C. ]■ .
4
Mais on peut trouver une expreffion plus fimple de cette
quantite par la methode de 1' Article XXXI. Car , on a
d' abord
P = i -4- n a pl H — p* -t- -i - — 0s -+- &C.
4 4-?
a oil 1' on tire
Or en faifant p = o, on a X' = 1 , X" = 1, K'" = 1 &c.
done
% = *' ■+- t" ■+• >'" -+- &c. -+- v*
,*■*- 1 -+- a p2
r 2 r
3 <»» ^'
H- 1 •+• 3ap:+ — f4 4 p*
2 r 2,3 r
&c.
4 4-9
■+■ &c.
e= „ I*. "("- ')* f + «(»- 1) (»- 2)*' ^
»(.-»H»--»(»-3)«' . 2 &*
4-9-4 r
i^s
jp
Done £> = — XP ^ = — ap* (« -+-
»(j»— 0
»(«-!) (»-l)
ay
— a3/)4
&c. )\
4-3 ' 4-9-4
Ces deux expreffions dc <2 ne font pas a la verite inden-
tiques ; mais elles deviennent egales lorfque p = ^ 1 , pzt
p 3 &c. ; ce qui fuffit pour notre objet.
Faifant done ces fubftitutions dans la derniere formule
de l'Art. XXX., on aura l'expreffion generate des quantites
j, 6c le problcme. fera refolu.
Au refte quoique il foit difficile, peut &tre impoffible,
de determiner en. general les racines de Fequation P= o,
ton peut cependant s'afsurer , par la nature meme du pro-
bleme , que ces racines font neceflairement toutes reelles
inegales & negatives ; car fans cela les valeurs de y , y'\
y" &c. pourroient croitre a Tinfini, ce qui feroit abfurde.
XXXvII. Si on cherche quelles doivent etre les diftan-
ces & les viteffes initiales des corps pour que chacun d'eux
ne faffe que des vibrations ifochrones & analogues a celles
d' un pendule fimple , en trouvera {Art. XXXV.) en
prenant / pour la longueur de ce pendule ,
(r-O* (f-Q(.r-i>' _ (j-Q(j-z)(.r-3>' . ^.p
Ci-fe^f
4/1
4.9 '!
(/-l)(/-2)(/-3>'
/ A I1 4-9/'
& la valeur de / devra fe determiner par I equation
»j* n ( n - 1 ) a* n ( n - 1) (» -.»)
/ A*' — 4^/»
&c.)f?
I — ' -r
4- &C. = 0 J
,
, M7
Des vibrations d' une corde tendue & chargce
dun nombre qudconquc de -poids.
XXXVIII. Quoique j' aie deja refolu ce probleme dans-
mes Rechcrches fur le Son irnprimees dans le premier Vo-
lume de ces Memoires , je crois pouvoir le redonner ici ,
non feulement pour faire voir comment ma methode ge-
nerale s' y applique, mais encore parce qu' il me donnera
lieu de raire de nouvelles reflexions fur les vibrations des
cordes fonores , qui pourront etre utiles a reclairciffement
de cecte matiere epineufe & delicate.
Suppoibns une corde charges de n poids egaux qui
la divifent en n -+- i parties egales que nous ferons cha-
cune = a, & tendue par un poid qui ibit a la Ibmme de
ceux dont la corde eft chargee comme cz : i ; nommant
y i }'"■> j' &-'c- J" ^es diftances des poids a 1' axe de la
corde, & faifant pour abreger — = k1 , on aura
d'v'
— t (— ij -h y ) — o
at
-h — K (y — *y -*- y ) — ©
cVc.
-£-^ (y-< - *y) = o.
Done, en comparant ces equations avec les equations gd-
nerales de 1'Art. XXX. oa aura les equations lurvantes en
A", X', X'" &c. ■
?X" — k* (X' — i X" -t- X"') *= o
pzX'" — k* ( X" — i X'" -H K-' ) = o
&c.
14$
p-\* — k* ( X •— ' — 2 X" ) = o ;
d' ou 1' on tire , en fuppofant i ■+■ ~ = cof. p , X" aas
Z AT
fin. 2 i, , • j_ fin. (w-f-i-)©
la quantite /), on aura 1 equation X" "*" ' = — ? — X =o j
laquelle do^ine p = , t expriraant Tangle de 180
degres , & m un nombre quelconque entier depuis o juf-
qua « inclufivement. De forte qu'on aura p=kv' (2 cof.
= -J ■ - < —n ( cof. 2 ■+- cof. 6 ip
fin. (p |_ 2 2 T
-f- &C. -t- cof 2rt)\
rV /" 1 1 cof. 2«ip-cof. i(«-t-0
— — ■ v X , a caufe de
+• i )
= o , V — fr^OA"-"* - ;
Af
= fin.
7 -4- &rc.
en faifant «== — ,/3=— , y = £1 R &cc. ; done
fin.
7 — &a; done,
fuppofant
•+• z (3 /t t xs ■+■ &c. ) = uhx! +
a(34rxJ -t- xyhx' -h (1 * A » — £££ ) *» *■ &c.
251
De plus -7 = x •+• - xl -i x* H £-£ x' &c, &
r \^(l AT*) 2 2.4 2.4.6
par confequent ( 1 ^ x* -+■ ■ — x* -+• &c.) V (1 —a:1)
2 2.4
:= 1 ; done on aura auffi
fm. (uhx1 -+- z (Zkt xf ■+■ Sec.) = < 2 ce £ r x' -+•
v_
(* -+- i|3)h^+ (J— -f- |8 4- iv)lu'+ [(-^
4 ' 4-6 .
-4- — -4-^-4-2 S)fo — -i^*'*'] X8-+- &C.\x^(i -X%
oil l' on remarquera que x V ( 1 — x*) == fin. mx- x
cofi — j — - = — fin.
2(n ■+- 1) 2 n -4- I
Maintenant ( F m ) — Y fin. -^j_ + ry fin.
71 -+- I
-t- F ■' fin. -iiLL -h &c. -4- T" fin. -m- ( ^mV. p«c. ) 5
done fi on multiplie cette quantite par x% e'eft-a-dire par
( fin. l2*_ y = I ( 1 _ col". -^- ), & qu'on develop-
* a(n-t-l)' 1 v n -t- 1 " n r
pe les produits des Jinus & des cojinus , on aura
( r™ ) x* = - *■ «' A« -p _ 2±SJ^L. A8 P -4- &c. = P' ,
2« 3T»
H- xy) — AT' -+- &c. == Q',
&: de plus
i>' f,n. _J^_ -h P" fin. -i22_ -+- P'"fin. -1^- H- &c.
-4- />• fi„. _JL_mJL = ( P m ),
n' fin. JZL~ h- 0" fin. -^-L -h C ' fin. -*^- -+• &c.
*- n -H I *■ n-t-l *- n-»-l
+ Q- fin. _Ii^- = (Qm),
on aura
r m st
2 tin.
— — ( Ym) cof. ( i t k fin. "*" . )
Cm- ■ mkt
ZZ1 [(Ym) + (/>*)] cof ^-11 »
1 »-*-!
z fin
HIT
(Qffl) fin. .:**. X fm. "''
» -t- 1 n-»- i n-t- 1
(Ttn) +(Pm) rr m{s + At) . m(s-ki) ,
■ I hn. j -h fin. it\
MS
«+• ■> -- [ fin. •— T — fin. — - i r
i ( » -i- 1 ) » -+- i ' n-hi
— fin. r-: - v -4- fin. — 1 t ] .
n -+- i » ■+■ i
Done fi on fait fucceflivement m = i , 1,3 &c. /z , 8c
qu'on fuppofe en general
ri+Pi . ri+Pi .
* .v = 1 fin. x t ■+■ i fin. a XT
n -+■ 1 » -h 1
T3+P3 r c (T») -(P»)r
•+■ z fin. 3XT-4-0CC. -+- 1 fin. nxir,
n -+-I » -t- 1
\Lx = i — 5=^- lin. xi+i -r=«— hn. ixj+ z -=s=^- fin. x xr
-1- &c. -+- 1 ^- ■ fin. nxr ,
»-+■ 1
$ , & -Jy denotant des fonftions , on aura ( Art. prcc. )
1. s •+ kt s - kt .
y' = — ( * ■ h 3 &c. (/>«), & Qi , Qa, <^3 &c. (Q«),
& fuppofan't en general
•^ (m, x) = fin-, u w X fin. xir -4- fin. 2 a t X fin. ixt
-4- fin. 3 u it X fin. 3XT + &c. -t- fin. « u n X fin. axt,
nous aurons
q>x = i Y ( , x) -+- 2 ■ v ( , x )
-+~ 2 y ( , x) -+- ixc.
7- + P" »
•J/ AT = 2 -n>T V ( — — , X ) -J- 2 — ^=- V ( , X \
Q'" 3
»-(- 1 * v W -I- 1 ' '
Or 2 cof. uTXx(«,x) = a cof. a T X fin. u V
X fin. xv -+■ 2 cof i;ir X fin. iutt X fin. ui+i cof ay
X fin. juiX fin. 3.VT -4- &c. -4- 2 cof uit X fin. war
X fin. n x it
= fin. net X fin. xt -+■ (fin. ut -4- fin. iun) fin. uy
-+■ ( fin. 211J + fin. 4 u it ) fin. 3x1 + &c.
■4- [ fin. (n — 1 ) a »■ •+- fin. ( n -+■ 1 ) w it ] fin. hxt
== fin. ixit X fin. mt ~r- (fin. xir -4- fin. 3x*)fin. 2WT
■4- ( fin. 2 x it -t- fin. 4 x t ) fin. 3 « t -4- &c.
•4- [ fin. ( n — 1 ) x it -4- fin. ( n -4- 1 ) x t ] fin. nun
»■»- fin. ( n -4- 1 ) m t X fin. n x t — fin. ( n -+- 1 ) x t
X fin. n u it
cs= 2 cof. xt X X (w, x) -4- fin. (rc -4- i)i(j)(k nxr
— fin. ( n -4- 1 ) x t X fin. n u t . Done
*17
t k ___ fin. (fl ■+■ i) u v . fin, nx v — fin. (n + i)xt. fin. n uir
X V"> X) " 2 (cof.ur — cof.xw) *
Soit « = , & x = , m & s etant des nom-
n -+- i » h- i
bres entiers , on aura fin. (n -+• i ) uv = fin. m it = o^
& fin. ( n -+- i ) x it = iin. jj = oj par confequenr.
m s
* (^rr'TT7):=0-
11 en faut excepter le cas ou s = m; car alors Ie nu-
merates & le denominateur de la formule deviennent
egaux chacun a zero. Pour trouver la valeur de ^ («, x)
dans ce cas , on fera x = u -+- a , a etant une quantite
^vanouiflante , & 1' on aura en effagant ce qui fe detruit ,
» fin. ( n ■+■ j ) u » X cof. » u t
y ( w , X ) = ? >
* v ' ' x fin. «»
( n -t- i ) cof. (»-+• i ) « t X fin- » » »
a fin. ur
Dene , faifant u = x = ,
s -t> i
(rc-H i)cofimir Xfin. -^_
. tn m " »-♦-»
* II+l S+i .. mv '
i fin.
n+l
Or %, r nm l r in-+i i
r cof. m it X fin. * = — fin. m *
» -t- I 2 »■+•! 2
a- , tx lin. ■ wis: iin. ( i m — j 5r
= (a caufe que m eft un nombre entier) — fin. it;
n •+• i
fin.
•lone cof. m it X fin. . v = — fin. it : & par
conf^quent
, tn m n •*- i
itf»/«/. Tom. III. k k
On aura done
, & ^ _!_ — Q< ;
» -I- I »-H I V"
e'eft-a-dire que les deux courbes qui reprefentent les fon-
fitions
i
nm*
&C. -+■ Y" fin
n ■+■ 1 '
& par ce que j' ai demontre dans 1'Art. XXXIX. j'aurai,
lorfque x = , y = Y'.
Soit maintenant n -H i = tb- & ssr X, on aura
( Ft* ) = fV fin. mix = (* + i) /K fin.^XTiX,
cette integrate etant prife depuis X=o jufqu'a X = i ,
par confequent
^ == i/r fin. Xr dX X fin. n -h z/Y fin. 2 Ii dX
X fin. 2 x t -»- 2/K fin. 3 Xit d X X fin. 3 xt -+■ &c.
■4- 2 /J7" fin. n Xit d X X fin. rc x t ,
de forte que , lorfque x = X, on aura j=sK, K etant
1' ordonn<£e qui repond a 1' abfcifle X .
Or (bit Z une fon&ion quelconque de X ■, & 1 une
pareille fon£tion de x, il eft clair qu'en mettant clans
1' equation precedente Y Z au lieu de Y & y % au lieu
de y , on aura auffi , lorfque X = .v , ,y { = FZ, c'eft
a dire, a caufe de { = Z dans ce cas, y = Y. D' oil il
s' enfuit que fi Ton a une courbe quelconque rapportee a
un axe = 1 , & dont les coordonn^es lbient X & Y, 6v
qu'on decrive fur le meme axe Une autre courbe dont
l'equation , en prenant x & y pour les coordonnees , ibit
- fZY fin. XitdX -+■ — /ZfkiXT^
7 =
z
-4- i- /Z Y fin. 3 Ij J X -f- &c.
L*- ~ [ZY fin. nXirdX,
ces deux courbes coincideront dans tous les points qui re-
pondent aux abfciftes x = X = , .$ & n etant
des nombres entiers , quelle que (bit d' ailleurs la fon£Uon
Z i or on peut rendre n &c s fi grands que les points de
coincidance foient audi pres les uns des autres qu'on voudra.
Au refte il ne faut pas manquer d'obferver que la con-
ftruclion donnee ci-deflus , pour reprelenter le mouvement
de la corde vibrante, n'eft exafte qu'jjutant qu'il eft permis
i6t
de negliger les quantitcs P &z Q comme nous 1' avons
fait ( Art. XL. ). Or il elt clair que ces quantites feront
toujours nulles d' dies- memes , fi — ne fait de faut nulle
part dans la courbe initiale , ni dans les branches alterna-
tives ; ainli pourvu que cette condition foit obfervee , on
pourra toujours determiner le mouvement de la corde
quelle que foit d' ailleurs la nature de la courbe initiale.
Nouvclle manure d integrer par approximation m
l' equation
^ -+-K!y + L + iMy! + i*Ny5 -f- &c. = o (A)
dans laquelle K , L , M , N &c. font des conjl antes
quelconques , & 1 marque un coeficient
tres-petit.
XLII. On fait que 1' integrate de 1' equation
~ -+- Kzy -+- L •+■ a cof a t -+- b cof (it -+- &c. = o , efl:
y ■*= f cof. Kt -+- -^ fin. Kt -+- ^ ( cof. Kt — i )
— (cof. Kt — cof cc t ) -t- _ (cof. Kt-co{. |8r)
a"»-
-4- &C
f Sc g etant deux conftantes arbitraires, dont l'une expri-
me la valeur de y , & 1' autre celle de -~-9 lorfque t = o.
Si a = AT on trouvera ( en faifant ct = K -+- u , &
regardant a comme une quantite evanouiflante ) que le$
termes — - — (cof. Kt — cof * t ) fe reduifent a celui-
ci % t fin. Kt ,
26j
XLIII. Cela pofe , pour integrer 1' equation ( A ) , fui-
vant la methode ordinaire d' approximation , on negligera
d'abord Les termes affe&es de i , & Ton aura pour premie-
re equation approchee -j- -h K2y -+- L = o , &: par con-
sequent
y = f cot. Kt -H -| fin. Xr -4- ^ ( cof. iTr — i ) .
On fubftituera enfuite cette premiere valeur de y dans
le terme iMy*, en negligeant le terme fuivant izNy*, &
faifant pour plus de fimplicite g = o 8t f -i- — = F,
on aura la nouvelle equation
-2L + K>y + L + tM(-+^) - x: -^ col. ht
•+• i cof. i .ATr = o,
z
dont 1' integrate fera , en fuppofant g = o & Z -+• i M
F» is
t fin. A't
— i — -- ( cof. K t — cof. i K t ).
1.3K?
XLIII. Mais voici une difficulte. V expreflion de y
qu'on vient de trouver renferme un terme multiplie par t ,
&: ft on continuoit le calcul de la meme maniere on
trouveroit encore des termes multiplies par t* , t3 Sec. i
cependant il eft certain que la valeur de y ne doit point
contenir de pareils termes. Pour le demontrer je reprends
1' equation ( A ) , & j' en tire , en multipliant par 1 dy ,
& integrant
4L + KY+iLy + H-h--y> -*- ^V&c. = 0 (B)
a<>4
H £tant une conftante qu'on determinera par les valeurs
donnees de y & de -j- lorfque t = o ; de forte qu'on
aura en general
# = -L^-^/.- i £/- ^-/' - ^/< &c.
Je fais -f sss x » j'ai
a / Af /* NT
«* -4- K*y*-+- iZj -h H-i jJ H — _y4 &c. = o ,
3 a
equation qui peut etre rega'rdee comme appartenant a une
courbe dont x & y foient les coordonnees. Or puifque i
eft \xm. quantite tres-petite , il eft clair qu'on aura a peu
pies xz -+- Ky2 -+• i L y -+■ H = o , d' ou 1' on tire
y = -^ ~ '
Ces deux racines donnent comme 1' on voit une ovale
dans laquelle la valeur de y eft contenue entre ces deux
Jimites
y = - &cy= ^
Pour trouver les autres racines on fuppofera y = — ,
& apres avoir fait difparoitre les puiflances de : qui fe
trouveront au denominateur , on cherchera les valeurs de
^ par les regies ordinaires d' approximation. De cette ma-
niere on aura en ne confiderant d' abord que 1' equation
x1 -+■ Ky1 -+- 2 Ly ■+■ H •+■ ^— y* = o , & pou£
X K* 1 i I,
lant la precifion jufqu'aux j'% { = — — r» ■+■ -j>— —
— p-. ^ 19 & par confequent
*$5
5*1 1^ 8iT.'M *iAf(H-+-**)
y — ~~ 2,M "*" K« "T^6 3 J(«
ce qui donae une branche parabolique infirument eloignee
«-' ■+■ 4 Ai« -<- 2 AT' ) g» + 4Z(? +aC
4Ar«> -+• 4Af«* -»- 4AT»«
4JV«> -4- 4 A/** ■+■ qK'a
ce qui donnera , a caufe de 1' ambiguite du radical
71/7 ■*
v' ( — *Kz)y deux branches paraboliques eloignees
a T infini de 1' axe ; & airrfi de fuite.
De la il eft aile de rondure que la valeur de y ne peut
Jamais paffer du fini a l'infini. Done puifque t peut devenir
infinie , ce qui eft evident par la nature meme de 1' equa-
tion (A) , il s'enfuit que la valeur de y en t ne doit point
contenir de termes qui croiffent avec t ; done &c.
XLV. Voyons done comment on pourroit faire diipa-
roitre de 1' expreffion de y les termes qui contiendroient
des puiflances de t , & qui rendroient cette expreffion
trei-tautive.
Qu'on fuppofe, dans l'equation (A), y = y1 -+■ X -f- i (a
■+- ilt ■+■ &c, X, ju, v &c. etant des conltantes indeterminees
& y une nouvelle variable , & n^gligeant les termes qui
Mifcel. Tom. Ill 11
i66
feroient affeftcs de i1 &c. on aura une equation de cette
tonne
d-J— -t- Ry' + A~*-i(B-±- My"-) % i\C -h 3iV^y^^-iVy/3)
■+■ &c. = o , (C)
dans laquelle Rl = Kz -+- riMX -+■ iz (z M p ■+- 3 iVV),
A ==L-*-K1-K, B=K-y. -hM\% & C—K'v+iMpX+Nh'i
d'r'
ce qui donnera pour premiere equation approchee —77-
-+- Ry' •+• A = o; d' oil , en fuppofant y =f fk-r- =0
lorfque r = o , on aura
y = /' cof. i?f -+- ~ (cof i2* — 1).
Subftituant enfuite cette premiere valeur de y dans le
terme i My'1 de 1' equation ( C ) , & negligeant les ter-
mes affectis de i1 on aura
-^L + Ry'+A + iiB + M^^-if-r^)^
- *£M-|? (/*-♦- ^>cof.2fc-i-i §(/!.* ^coCiA=o:
On fera y4 = o , moyennant quoi le terme qui contient
col" R t difparoitra , & 1' equation fe reduira a celle-ci
~ H- i?*/ -+• J (2? -t — ) -V I — — Cof 2.i?f=0,
dont 1' integrate fera
y =/; cof. i?. -4- i (|: h- ^')(coi: *r - o
— 1 --^ ( cof. R t — cof a R t ).
Si on veut fe contenter de cette approximation on ne-
gligera dans la valeur de R les termes de 1' ordre de i%
ik 1' on aura R* = K1 -h z i Mh. ; or la fuppofitioh dc
zt>7
JT.
A = o donne X = — ~ , done on aura Rz — K- —
-ft1
7" AT
z/— --. A 1' eg'ard de la quantite fx qui entre dans la
.valeur de B , on pourra la fuppofer, = © , de forte qu'on
L*M
aura B = M\l = -j.— .. Ainfi la valeur de ^y (era, auk
quantite de 1' ordre de" r pres, — -^ -+• y .
Mais fi on vouloit pouffer le calcul plus loin il faudroit
fubltituer V expreilion precedente de y dans les termes
iMy":, jilN\y'1 & hlty* de 1' equation (C), en
negligeant les quantites qui fe trouveroient affe6tes de U ,
& faire dilparoitre enfuite le terrne" qui contiendroit cof.
Re, en fuppofant e>al a ze>o fon coeilcient r [ — 2 Mf ( -=;
Mf\ M*f 3Nf-, , D
•+> — — ) H st -4- J — — 1, ce qui donneroit B =
iK' .' 2.3 R* 4
5M/"' 3 NR'/-" _
-1 3-77 — . De cette maniere on auroit une
1 j. 8 M
nouvelle valeur de y qui ne contiendroit , comrne la pre-
cedente , que des cojinus d' angles ; & ainfi de fuite.
La valeur de B qu'on vient de trouver donnera , a
caufe de B m *> - M V, ^ = ( -g^ *M ) y» cU
.MX'
— p— = [ en mettant au lieu de R1 fa valeur approchee
K'l (Tm -TT^^/ ~l-idoulonaura
i2* = K1 -+- 1 il\ -4-^(2 Mfx. ■+■ 3 JVx1 )
« *. _ 2,^ + ^ [ri»ii*:i 2? * i-^-^l'i-
,-a " x. ■+■' LC — - 6KJ/ * j^ ^r->
c' eft la valeur de Rx aux quantites de l'ordre de i} pres.
i68
XLVI. Je vais prefentement donner une methode parti-
culiere pour integrer ces fortes d' Equations duferentiedes
audi exa&ement qu'on voudra par approximation , methcde
qui aura fur la prec^dente I'avantage de donner direclement,
& fans aucune fuppofition precaire la vraie forme de 1' in-
tegrate.
Je fuppoferai ici pour plus de fimplicite qu'on ne veuille
avoir egard qu'aux quantites de l' ordre de i & de i* ;
mais on verra aifement que la methode aura lieu quelque
loin qu'on veuille pouffer 1' approximation.
Soit yl = u , & yl = v \ I* equation propofte ( A )
deviendra
~~- -+- K'y -+- L ■+- iMu ■+- rNv = o . . (D)
_ Alu *yA*y rdy% . r .. rj„ , ,
Or r%? ss rr' "+" ~j > ^onc " on multiple 1 equa*
tion (A) par ajjt, & T equation ( B ) de F Art. XLIY.
par 2 , & qu'enfuite on les ajoute enfemble on aura
A'n r. , rr ■ io'/M . -j
-JT--+- 4-Ky -+* ^Zjv-H z# -t- jv3-t-• • • C*y
;= X JV H {i M -h if -+- 9 » *2 = Q !
par le moyen defquelles je determine les quantity X , p ,
9, & p.
De cette maniere j' ai
{dy du ' dv .
dt r dt at v J r
hkk&l ye>' = conft. ■. ..... (G)
Or pour peu qu'on examine les equations ( F ) , il eft
aire ' de reconnoitre que la quantite ,u doit etre de l' or-
dre de i J & celle de v de P ordre de i\
Soit die ft = I X a & V = z'2 X (8 , on aura , en di-
viianr la premiere liquation :pa,r X, la feconde par j'A, &
la troiiieme .par r.h. , les trois fuivantes_
f- ■+- 'A'2 -t- <5 i a L -h 6 i2 (8 A/ = o
Af ■+• * ( /r -+- 4 X& ) -+- 1 5 i H L = o . f ,,
AT4-.-,'M+ |3(p' 4- 9^) = o.
"Con. s
La premiere donne f ;= — A1 — 6iu.L — 6r$IIy
& mertarst cette valeur de />: dans .les deux autres on aura
Af -+- * ( 3 K- — 6 \ * L — 6r(2H) -t-, 1 5 i |3 L = o
JV.+. 1? rtM -4- 5(8 A2 — 6UL — 6r/3#) = o.
Negligeons d' abord les termes affecjes de z\, & -nous
aurons Af -+- 3 * A2 = 0 , 6c N -+- — * M -+- 8 /3 A'-
Af N
= 0 , d' ou 1' on tire * =y — . —^T & P ■ — '.*~ ^jf ~"
3. 8 A' *A' "** 5.8A<4
Subftituant enfuite ces valeurs dans les termes de 1' or-
dre de i, & ncgligeant ceux de V ordre de r , on aura
. t , M v, ■ r / N ioM» .
io», „ ,, . , , M*. N 10 Ai* „
d' oil 1' on tirera de nouvelles valeurs plus exattes de *
o J n i r it /• w 6#I * M .
& de |3 , leiquelles leront * = 57; ■+• — -p- (-p-)-
^ ' n 3 A* ■ 3 A1 v 3A1
15/J. N ioM" N ioAf*
9.8 A^~ $ -jJP * •""*( ^ JO . > ~~ 8 A'"'" J&JS* ^ "t? T A7"
M N" 1 o M*
C— rK^xi— %%i ■+■ ^8««P3 & ™ de ruitei mais
comme ju = /' X * & n = r X /3 , il eft clair que pour
notre objet il fuffira d' avoir la valeur de a aux quantites
de l'ordre de ? pres , & celle de (Z aux quantites de l'or-
dre de i pres j de forte qu'on pourra l'e contenter de
prendre
* ~ "" fK» "*" X"* Q 1 36 A>; ^
^ s"a> "t pi? '
Ayant trouve les valeurs de et & de (i , on les flibltt-
tuera dans 1' equation p\= — Kz — 6 i * Z — 6r/3#,
& Ton aura, en ordonnant les termes par rapport u r,
3 N 5 Af«
~4~ 6"A*'* ^
Soit p s=. RV — 1 , enforte que f = — R- , fk l'oa
aura
j N 5 M\ ,i ,
, 3_W _ Mil' ,
<• 8 nAJ"
Reprenons maintenant 1' equation ( G ) , & fubftituons-y
R / — ■ i au lieu de p , i X * an lieu de p , /* X jS au
lieu de » , y- au lieu de «, & jyJ au lieu de v , nous
aurons , en prenant C pour la conitante ,
■he*'V-1 -£( i -4-iz*y-t-3r/3y) ^ — (y -h Uf-
ty?f*+ L~l!*n)R •-.}:=:£■
Or foit , lorfque t = o,y=fSc-^- = g, on
C = X ( i -4- i i */ -4- 3 £ £/" ) g ■— X (/ -J- * */*
«* /3/3 -4- — —ST— )jy-i. Pone fi on fait
& qu'on diviie toute l'equation par K e ,v ~*
(i^ji.tj + 3 ? fry1 ) ^r — ( J -*■ * «jj* •+■ ?&'
aura
L —
plL)RS-l ^{G-FRV-i)e-R'V-^
= G cof. J?r — FR fin. iZt — (FR cof. Rt ■+■ G fin. Rt) V-i -,
& prenant le radical V — i en — ,
< i -+- i i«y + 3 i1 0 y"') -— -+■ (74- / */- •+- i2 /3 jr»
■4*
173
**L) £•— i = G cof Rt — FRfm.Rj
R'
-t- ( FR cofi R t -+- G fin. fli')Y-^,i)
done retranchanc la premiere de ces equations de la fecon-
de , & divifant enfuite par i i? V — i , on aura
y -+- ia.yz -4- j1 tfj' -+- ■ ^
s= / cofi R t -+- ^ fin. Rt . .....(H)
C eft 1' integrate de l'equation ( A ) , en n' ayant dgard
qu'aux quantites de 1' ordre de i & de i1.
Si 1' on veut avoir la valeur de y , on n'aura qu'a re-
foudre 1' equation ( H ) par approximation , en obfervant
de negliger dans cette operation les quantites qui fe trou-
veroient multiplies par des puiffances de i plus hautes que
la feconde.
Pour y parvenir plus aifement on fera y = T -4- iT
■4- ixT', & fubftituant cette valeur dans 1' equation ( H )
on ^galera a zero les termes homogenes , c' eft-a-dire
ceux qui font affects de la meme puiffance de i; ce qui
donnera T = F cof! R t -4- ~ fin. R t — ' =^ ,
T = — « T> , T" = — a * TT — /3 T> ; d' ou il eft
clair que la valeur de y ne contiendra que des Jinus &
des cojitws d' angles multiples de t .
En fuppofant g = o on verra que la valeur de Rx
xrouvee ci-deflus s'accorde enticement avec celle de l'Artr--
XLV. j il n' y aura , pour s' en convaincre , qu'a mettre,
au lieu de H & de f\ leurs valeurs approchees — (•£*/
-*• *Lf) &/ + |lj (Am. XLIV. & XLF.),
Mifcel. Tom. III. m m
*74
Du mouvement d un corps qui dlcrit une orbite
a peu pres circulalre , en vertu d' une force
centrale proportionelle a une fonclion
quelconque de la dlftance.
XLVII. Soit r le rayon ve&eur de 1' orbite , t Ie tems
ecouie depuis le commencement du mouvement,- C' + 'jO' *"
m -
275
(en fuppofant — ~ = AV , , " = A"r&c.)Aa -4-
1 * ar ar
■ a> •" '' ' . ., A ^ , .. A "a , 0 i. "i
i A ay -hj** — y -+■ t3 — — y} -+- &c; done la premiere
. • i • i .£$ <*fin. (>' . y .J'1
equation deviendra i -. — ( i — 3 1 — -+• 6 z1 —
1 df a ^ ' a a*
— io;'^- -+- &c. ) -+- A. a -+- i&ay -4- i* J2 -4-
i* y' -+- &C = o; d'ou Ton voit que A a
2.3 *^ « ^
doit etre neceffairement une quantite tres-petite de l'ordre
de i ; de forte qu'on peut fuppofer A a — I — — *Z,
moyennant quoi fequation fera divifible par i, & devien-
dra apres la divifion
., , A'"a io(' fin. ^
•+• t1 ( J ) y5- -+- &c, = o ,
2.3 a* J
equation qui fe reduit a la formule ( A ) de l'Art. XLII. ,
-H r ., 3f' fin. b* _ A * 6 <* fin. ^*
en fuppofant A a •+■ - — = A1, — — <
rf a1 z a'
,. &!"* io^fin.4" __ _
= Af , H = N &C j
1.3 *«
Ainfi 1' on aura la valeur de y , & par confequent celle
de r en t j il faudra feulement obferver que , quand t
= o , r = a & -j- = — c cof. b, e'eft-a-dire j = o
$c i ~ = — c cof. £ , par confequent / = o & i ' g —
— c cof. b; d'ou Ton voit que cof. b doit etre tres-petit,
& par confequent P angle de projection b prefque droit ;
%1*
ce qui eft d*ailleurs evident, a caufe que I' orbite eft fup-
pofee peu differente d' un cercle.
L'autre equation donnera , apres la fubftitution de a -H iy
au lieu de r,
fin.*
XI
\y-3^
c fin. b
c fin. b
y-*-Ai^-~y*
dip c fin. b
Tt i~*
— &c. = o .
Je fubftitue dans cette equation u au lieu de y'~ Sc v
au lieu de y* , enfuite j' y ajoute les trois equations ( E )
de l'Art. XLVI. multiplies la premiere par X , la fecon-
de par ju , la troifierae par t ( X , /l& , v etant des coefi-
ciens indetermines ) , ce qui me donne , en ordonnant les
termes ,
dx u d*v cCin.b ,. _-
[A-rz «+-» -t-t h XZ -+- luff
^ df d t% a r
, i/cGn.b . _, , __, ■ */* f fin. f
( ; ♦-X^*-»-6fAZ-4-6vi/)' e fin. *
■+- ixM ■+■ 4pKl ■+- 1 5 vZ) « -+• (
<*4
h ? K iV ■+■
J- 9 » .£*) v = o .
Je fiippole a prefent
i/^fin. ^ __ , __
— — H XiT* -*- 6^Z -*- 6vH = o
3 /"'<: fin. £
4<' f fin. b
[\M
4H-
K*
*5
tL
-hl'KN-i — H QVK* 5S= O
^r j ' J
ce qui reduit I' equation precedente a
> • • CD
4,
//•«
//•t/
dont 1' integrale eft
. dy du idv ^ c fin. * , „,
= conft.
*77
c'eft-a-dire, en remettant y' au lieu de u, y* au lieu de yt
& faifant attention que lorfque t = o , on a ce qui donnera , en faifant — = s & prenanr
, A-i-
<*<> conftant , -1' + g — , ! „ = c, & d'in-
*79
tegrer enfuite cette derniere Equation par la methode de
l'Art. XLVI.
En effet puifque r eft a peu pres egale a a ( hyp. ) s
fera a peu pres egalc a — , & par eonfequent on pourra
fuppofer s = — -4- iy , ce qui donnera , en faifant
A^-
o. » ^ i. r « r
= r*, & r - =l, i — r-
= k\- - r - = m, — - r- - = AT &c,
2 a z.y a
d* y
~ -+- K'-y -+- H -+- ;Mjr -+- ^JVy -4- Sec. = o,
' = ^ H F cof. i? p.
Ainfi 1' on aura j en (pi il faudra feulement obferver
que la quantite g n exprimera plus ici la valeur de ~
lorfque t — o , mais celle de ~ c' eft-a-dire -r-rr", de
forte qu'on aura i g = — cor. b .
Le coefficient R donnera la diftance d'une apfide a 1'au-
i8o°
tre de -^— , & Ton verra, apres en avoir fait - le calcul,
que cette valeur s'accorde avec celle que nous avons trou-
vee ci-deffus. ■'
• Soit A, = Ar "-:, on aura Y s = - --— s~m,
doner- a^'", r^a-/'"',^
a ;* fin. 4> ' * *» lin. ^» ' a
ISO
= m(m+ 0^|v r"y = — «(« -f- i )(«-+- i)
-—.-. — .— ike. j on aura done -7 — .— = 1 L ,
c* fin. ** * (* fin. ** '
yf a"'—' _ m(f»+i) Aam
1 -4- m —r—,,- = ^% - ' X -77— 7; = A/ ,
f1 fin. ** 2 <* fin. b*
— — - X —. — i— = N Sec; done, piufque
a. 3 r fin. #*
^4^" — * 1 . r
— - — ,- = — — 1 L, on aura
<•* fin. b* a
A1 = 1 -4- m ( 1 — laL) , M = (1 —iaL\
jv = — - — - — ( 1 — 1 a L ) &c. ;
faifant done ces fubftitutions dans la valeur de R1 de l'Art.
XLVI., & rejettant tous les termes qui contiendroient des
puiiTances de i plus hautes que la feconde , on aura
R2 = 1 -4- m (1 — iaL) -i- i m (m-+- 1 ) a L — ~r-
1 -+.«(i-/<*L)
i1 * f .* 5 /» ( w -4- 1 ) ( rn ■+■ 2 ) 17«'(»i+i)
., . ~Tmf ^ 8 M '
P a* H m (m h- i)(m -*■ %} 3 m* (m-t-i)
1 ■+-/« 8 24
= i -+- m -+- ^ ^— [ Za — ( i -+• w) HI ,
d' ou 1' on tire
14(1 -*■«>) »
ce qui donnera pour la diftance d' une apfide a 1' autre
f l *' m (3 -f»)a% r r, , » rrn") . _
\^T^) - / ^ «>-* -t-)#]}^
y 14(1 +»») » "
XLIX.
i8i
XLIX. Suppofons maintenant que 1' on ait a integrer
T equation
p i K*y + z + S(Wy + M' g) h- £+iMf%Jy)==o.
°r f£ dy — y %> ~~ xfydy J = ( en mettant au
lieu de -j-% & de -^ leurs valeurs approchees — fr y*
- zLy - H, & - fry - ifpL'Ej - f.y
— Hy ; done on aura
dL -h {fr — a iZAf^y -+- (i Z — a iHM')y
■+• H -+■ i ( ) y3 = o .
Subftituant done cette valeur de ~ dans l'equation pro-
pofee , elle deviendra
3+[X!-1i£M' + ?H\rM'* — N')1y *-
L — iHM -+• i(M — frM' ■+■ xiLM'l)y* +>
r (N — frN' 1 )y3 = o ,
3 3 +- Ky -+- K' £ -4y Z +■ i ( My'- -+- M' y ^ -4-
M^ + nNyUN'fl + N-y^N^
-+■ &c. = o .
On fera — = r , & Ton aura
g -t- Ky rh ■'£' i -+• 1 '4^ {My1 -+- M'yi -+■ M"f)
-+• i1 (Ny* ■+■ N'y*\ -t- N'yi1 4-CiV'"^ ■+> &c. = o.
On differentiera cette equation , & T on y fubftituera
enfuite , au lieu de^ t* —', au lieu ■£ , g , & a lieu de
~ , 7-^ , ou plutot fa valeur en _y & ^ ; de cette ma-
niere en aura une nouvelle equation en £ de la forme
fuivante
~r\ *+* k f -fc £'/ «+-/■+• i ( /n_y: -H-* m'^y £ •+- ot' {' )
•+-i»(ny« -+- n'y!| ■+- r'^i* .+- B'V) -+~ &c. = o ,
Toute la difficulte fe reduira done a integrer ces deux
equations ; fur quoi voyes ci-apres 1' Art. LII.
LI. Si 1' equation propofee droit du quatrieme ordre ,
on la reduiroit a deux du fecond , en faifant -~- — z
= o , & fubftituant enfuite ? au lieu de -~ , — au lieu
1 de' ' d t
, d'y d*z i. j fy
de -7- , & — au lieu de -£ .
Mais fi la propofee etoit du troifieme ordre , alors il
faudroit la reduire d' abord au quatrieme par la differen-
tiation , & enfuite a deux du Fecond par la fuppofition
d*V
de -j- — t = o ; & ainfi du refte.
at *•
-
De I' integration des iquations.
-? -+- F •+■ Gy ■+• Hi •+• i(Kyx -h Lyi -+- Aff ) -+-
? ( Nyl -+■ Pyzi ■+■ Qy ? ■+■ ^{') -+- &c. = o . . (L)
d'z
&-*• f+ gy -+■ hi -*- '(ty* •+• h i ■+• m \ ) -+■
iz (ny,~*-?yzl ■+- ?.y {1_,_/' {')-•- &:c- == ° • • • (M)
LII. Nous commencerons par chercher la valeur des
quantites -^ , — — , & ^ - qui entrent dans les differen-
tielles fecondes de yz , ^ , y 7 &e.; or, comme nous nous
propofons feulement de poufler 1' approximation jufqu'aux
quantites de 1' ordre de IS* , il fuffira d' avoir egard , dans
les valeurs dont il s'agit, aux termes de l'ordre de i, parce-
que les quantites yz , {* , y { ckc. font ddja elles memes
multipliers par i dans les equations propofees.
Je multiplie d' abord Y equation (L) par i dy, & j'en
prends l'integrale} j'ai en negligeant les termes affettes de r,
184
-h xLfyidy -+- iMffdy) = o . . . . (N)
Je multiplie de meme 1' equation ( M ) par i { &
j' ai , aprds 1' integration ,
ou
bien , en mettant y ^ — f{dy au lieu de fy d { ,
/.p dy au lieu de /jy id 1
_ -h £ h_ x/? -h 2g-Jr .+. A{' — igf{dy ■+•
'(^/{ + h- t ■+■ -7- {' — 4 */> { dy'— Iffdy)
= o (O)
Enfin multipliant 1' equation ( L ) par d { & Y equation
(M) par dy , les ajoutant enfemble, & integrant on aura
( h — G ) fi dy + i(jyi-+-Ky2{-ir—y{i'+-
M L
{J ^ (/_ iK) fyKdy + (« - -)f?dy)
i z
= o • • • • • • (P)
Pour determiner les conftantes A, B, C, on fuppoiera
que , quand t = o, on ait y = y , 1 = &, ^ === £ , ^
= », f{dy c= T , fy {dy = &, ik ffdy = A,
& 1' on aura
-4- zjtfAJ,
It,
B = — n* — • x fl — i g y I — h I1 -4- i g- r — i ( x k y*§
-4- / y 81 -+■ — 5! — 4 * A — / A ) , &
C = — en —fy — Fl — ^y* ~ Gyl — — S2 —
(A — G) r— ^^-y^^M* ~yl1-*- ~ll ■*-
T
(/— i JC ) A -*- ( m — ~ ) ^ ] .
Cela pofe , je fais
?* = "■> J { = u t > {*=*"*»/{ ifidy = ^7 ;
j' auiai, au lieu des equations (L) & (M), ces deux-ci
~ r+< F -+- Gy -+-Hi-hi(Ku-hLui-hMux)-h
iz(Nv-*-Pv i -4-Qv x -+-i?v3 ) = o . . '. (i)
d* z
~-r\ -+-/-*- gy •+" h I ■+■ * ( £ " -+- lu l -i- mu x) -+•
i' ( /j v + p v i + j v i + r v } ) = o . . . ( 2 )
d* u d,y dv"1
Maintenant on a i.° -r— = iy ■/ + J ri done
i_y ( L ) -4- a (N) donnera , en negligeanr les termes de
T ordre de i ,
d' u
-j~y ~h x A -+- 6 F y •+- 4 G^y2 -+- i ify { -+- 4 #/{ dy
-4-/( j5 -J- xLy'i -+■ 2 Mjy {2 -+- 4 Lfy\iy -+-
*Mfi-dy) = o, .
tv en taifant les fubftitutions precedentes ,
j— ; "+" 2^-4-6 rj' -t-- 4 O k -+- 2 H u 1 -+- 4 if w 3
■4- / ( v -+- 2 Zv 1 -+- 2 Mv 2 -4- 4 Zi' 4 -H4 Mv 5 )
- o ! ( 3 )
i86
a.„ *** ar^+/^+;1 dl/1. donc l (L) *> (M)
-+- 2 (P) donnera
-+• iC ■+■ 3/j ■+■ 3 -F{ -+■ 15 « + {jG +A)u 1
1
-+- 1 H u a -+- a (A — G) * J •+■ » •< — v ■*-(} K-i-Q vi
+ ( 1 Z + ffl) v 1 + * — v 3 -+- ( a / — 4-£ ) v 4 ■+•
(aw — Z)v5~^ = o . (4)
3-°^ = 2*77"*" z"57' donc ^ (M) "*" * (0)
donnera
— — -4- x B -4- 6 / £ -h.6gui-4r4h.uz — 4 g u 1 -t-
i'(6bi + 4^vi H v 3 — 8 £ v 4 — a / v 5. )
3
— — + C+/y4-2f7+ — ii+xGid -+- u a -+-
«/* a a
r >f __ 3 L 4M
(A — G)M3-+-i-< — v-+- a A v 1 H va h V3
13 a 3
►+- ( / — il)v4 + (m )v5 >=o . . (6)
5.^ = 3yg-+-6J|;, done »> (L) -4- 6y (N)
donnera , en rejettant les termes afte&es de i , a caufe
que la variable v ell deja elle meme multipliee par i1 dans
les Equations ( 1 ) & ( a ) ,
1- 6 A Y -+- 1 S /*" a ■+• fi'Gv -t- 3 Hv 1 -f- iiHvG
« o > . (7)
d%v I d'y , d' z dp dydz
6.° — — = 2 Y ? -}- ■+- y~ -, H i? -1\ ■+• 4Y —,— i
dr J x dr J dr x d? ^J ds '
done ijy{ (L) -+•• yl (M) -+- if(N) -4- 4 y (P) .don-
nera, en negligeant par la meme rajfon que ci-devant les
tcrmes de 1' ordre de / ,
— -— -+- 4 C y -+- x A^ -+■ 5 / k -f- lorai + j^v +
(8G + A)v 1 -+■ 4//V2 -+■ 4 (A — G) v6 -+- aHvj
= o (8)
i <^y /a'**: */£* dydz
7-° IF = £ 5? "+" *** # ■*- ^ 7? - 4? ^7-'
done j2 (L) -+- iyi (M) -+- 2 jy (O) ■+■ 4 j ( P) donnera
d*vx n r r
' . -,- ~*~ ■*■ -B y ■+■ 41.J •+■ iofiii + jfai-t' 8g-v 1
-+- ( ; G + 4 /t ) v i 4- 3 i/v 3 — 4gv6 -+- 4 (A — G) V7
= 0 • ( 9 )
8'° T? =H2S + 6l ^,done3r(M) + 6{(0)
donnera
— -,- 1- 6 B l H- IJ /" W 2-4- 15 £ V 2 -4" g A V 3 I 2 g" V 7
= ° ( I0 )
„ dxv a d'y dy* dydz . . ,T .
9-° rar = ji ^ ■+■ i Tf -ry. ^- > a™ ^ cd *
{ ( N ) -+- j ( P ) donnera
4^*1/4 £
~~,— -*- Cy -*- A i -i- fu ■+■ 4 F u ih v -4- 1 G v 1 -+■
3H
— ' v2-j-(/z — G)v6 + ii/17 = o . . (n)
donnera
3*'v 5
— ,— »+- lC{ + * /" J -+■ $ F U Z +JVI ■+■ J.(?V«|
-4-ii/v3-t-2(/i — G ) v 7 = 0 . . . . (12)
i88
done (j j -+- /{ ij')X(L) -+• 2^(N) -+- y (P) donnera
d1 v 6 g
~~,— •+* C y -H zj4^-*-fu-t~6Fui~t- Fu 3-1 v
3 H
-+■ 4 G v i -+- v x -+- /iv6 -+-5 i/v 7 =0 . (13)
. d'vy dy d'z . . dy d z ,
I2- ~d?~ ^X.J? + 77- ft/jf ■*■ H ~^-> done
{: ( L ) -+- ( M ) fi dy -+- 3 ^ ( P ) donnera
*P7 r c v . f 3£
___ ^. 3 c ^ -1- 3 / w 1 -+-4ruz-+-ju-$-t- — v 1
-+•• 4 G V 2 H vy -*~ gv6 -+• (4k. — 3 7 ) = o
a:
/tx
«
( p -*• 4 G ) u 4- 1 5- u 1 -f- —— u 3
2
j ( i 5 Fv -4- 5/v 1 +/?4 4-/j6) = o
£ -4- / X -4- 2 .// |U -t" ( p* -H 3 G -»- A ) ft I H- 6 gpz
-4- z G (A. } ■+• i( iofn -t- ioJvz ■+• 4 /V 4 -+- 2^1/ 5
-4- 6Fv6 -+- 3 / v 7 ) = o
M + mX + i #u 1 -4- ( pa -+- 4 A ) it 2 -+-- — a 3 >+-'
z
i( ^ Fv z -+- 15 /v 3 -+- 3 .F v 5 -4- 4 Fv 7) = o
4 Z/ /x -4- 2 (A — G) ft 1 — 4^n*2-+-(pz-4-A — G ) ft 3
«*- 1 (F v 6 -*- fv 7 ) = o
»t 10 X 5^ ^ , . -,.
A -4- n X -4- u -4- — u 1 ~\ « 3 -4- (p2 -4- 9(7) 9
3 3 3
£
3 gv 1 + — V4 -+- — j>6 == o
2 2
P-+-p\-4-2Z(ii-4-(3 ^C-4-/)fti-+-6A:fti-4-ziC/ic3
•+-3 i/ v -4- {p* -4- 8 C? -4- A) j 1 -4- 8 g n -4- 3 G y 4 -+-£•>> 5
•>+- *Gv 6 -4- -^2- V 7 tt= O
2
Q-4- ^ X "4- Z M jJ. ■+• ( Z,L -4-772)|LtI -4- 4 / « Z -4-
3 L
-^-Jt*3 -¥■ 4/f > 1 -4- (p1 -4- jG -4- 4 A) V2 -4- l)gVy
+ 1*
3H
— »4 + 3GfJ ■+■ :r — v6-4-4G»7 = 0
» n 5^ ioot i,M TT
Ji •+■ rX * u.i -4- u* H U3 •*• 1 Ht %
3 3 3 > J
►*• (pa >4- 9 A ) t 3 -». 2 Ht 5 -4- — v 7 = 9
A&jW. Tom, III. 00
\
490
4 L fi -+- ( 1 / — 4 K ) y. 1 — 8 h ju 1 :*•(/— 1 20 |U J1
~H ft2!/ 4 =3= o
L
4 M [X -*- (lot — L) pi — i/|ttz ■+• (ot )/zj'
-4- p* 1/ 5 = o
li H v -+- 4 ( A — G) v 1 — 4 ^v 1 -4- (A — G)»4
"*" (r -4- A ) v 6 -t~ g V 7 = o
4//1' 1 -4-4(A — )*i— iigv$ ■+- 2//V4 -4- 2 (A - (?) »f
H- A v 6 -+- (p2 -+- 4 A — 36)117 = o,
equations par lefquelles oh determinera les 14 inconnu.es
v 6 , 1; 7 , en ayant attention de pouffer les valeurs des
deux premieres jufqu'aiix quantites de P ordre de i1 , cel-
les des* quatre "fuivantes juiqu\uix quantites de T ordre de
i ieulement, & enfin -de rejetter daus les valeurs des fept
dernieres toutes les quantites affeftes de i .
Or je remarque 1 .° que la quantite p ne paroifiant que
fous la forme quadrative ," elle aura neceffairement deux
valeurs , Tune pofitive & ]' autre negative ; de forte que
fi on fuppofe que p defigne la racine pofitive , on pourra
ecrire partout indi-fferenternent -+- p , & — p. i.° que fi
on reprefente les deux premieres equations par
f -+- G -+- g \ -+-/* = o & H -+- (fi' •+• A) X -+- i/3 =^= o.^
on aura, en eliminant 7\ ,
f-+-\G -*- k -*- fV)p* -+&GA ^ H g ■+- i{«.h — (Zg)
o
d' oh Ton tirera deux valeurs de p
• • ' • (Ri
d9
Soit maintenant , tarfque t = o , -6 £* D , & • j^ ■ == E ,
c' eft-a-dire
Z> =^"t+- -xfc"-*: 1 lp y- -+- p 1 yS"-t» (t*i**H*f*3l7
-+- i4 ( j ^J -+- v 1 j>* I -t~ v i y I1 ~t- v 3 5J -+- v_4.A. -4j^
*5A-*-»"6yr-+-»7&r) &
£ as f-t-Xij-t-i [ 'iip y e -f (a 1 (§ c -fyn) +,i-«i?ii
29I
n(8:«-+- iy8»i) -+• 3 v 3 S2 » -♦- v 4 y S f -+- v 5 S* e
H- v 6 ( T I -4- y1 1 c ) ■+• v 7 ( T p ►*• y V- e ) ;
i' equation (Q) donnera , en divitant par e<",
^ f p v ■ r P / »
& prenant la quantite p eh — ,
d' ou I on tire
ou bien
6= y H- (^-^)cof:f/-^-H7-— Jxn.:^-^
Soieiit maintenant p'J & p"1 les deux racines de l'^qua-
tion ( R ) , & 8', 6', K , X", ju', ^" &c. les valeurs cor-
reipondantes de 8, X, p occ. ; on aura; en remettant au
lieu de u , u i , k z &c. leurs valeurs _y% jy{, {* &c, ces
deux equations
y ■+■ >,' $ -+- i ( ju'j* -+- fx i y J. -4- -fjt'z {* ~t- [a ■$ j/V^ )'
•4- r ( v'jy3 +v'i/{ + »'i)'f + v' 3 ■{' -J- »4JY{dy
-+■ «' 5 $* Ay -+• v' 6jk/{ dy *- >' y p/f ^ ) = "8 ,
JK H- X?f -4- i ( pf'y* -+- ftf 1 jv f -4- n"z f 4- ^"3 f{ dy )
•+- z'2 ( i'yi -t- v"i yx 1 -+• v"iy f -+- v"$ {* -+- t'^fy^dy
* M/Y 4 [ G k — i/g n- i ( a A — j8 £ ) ] , z.° que G -4- A
-+- f;* > .0 , &■ Soil, — Hg -+- 1 ( d /!■:•— • #£) > o _.,
Si ces trois conditions n'ont point lieu- &ofa> foiv aldrs( J^*>
& qu'on pratique les autres operations
que prefcrit cette methode , on aura les deux equations
fuivantes
#Z *r r i ,, * * rr d . N fin. Ht ,
-— -h Ar= - + f [ ( M cof. Ht ) t —
dt' x L v dt l
dont 1^ premiere eft redu&ible au cas de FArt. LV. , &
dont Fautre etant integree donnera y = / — fT \&t.
Au refte ces fortes d' equations peuvent encore s' inte-
grer par une methode particuliere & fort fimple que je
vais expofer. .
Je rais ' y cOfT Ht = u , y cof. z Ht = v &c. &
j fin. i/r sa {7, ^ fin. i Ht =s^ &c>>
ce qui me donne
£ cof tfr = ? + ZTCf, £cof. z ffi±=J£+xH>r&i
dt dt d t d t
% ekrm ^~- n«, di fin. *#, = ~ - *ffv «£
& enfuite
*■? C TI d*« TT W TTr I
-cof.^^^H- rH~-H>u
^coClHt==-7? •*- *H!7 ~ 4//)
&c
%^&=&4 zH %-frV
*l df d(
&c.
Cela pofe , j'aurai d' abord au lieu de f equation ( S )
celle-ci
^ -4- fry -+-'' « [ (M - HN) u -+- iV ~ ] = r\i)
De plus la meme equation ( S ) etant multipliee fucceili-
vement par col! Ht & par fin. Ht donnera
4'y , i
-fo co£ Ht -+- fry cof. Ht -t- i [ My ( i cof. #f )
-+- — N/ fia. zHj] = T cof. #; , -&
Z dt J '
-r, fin. //"f .+. fry fin. 7/t -+- if — My /in. z #r -+.
rip V L Z ^
A 2> ( r - T 8rf f $ ^ = 7- fin, Ht,
c'-elt-a-dire , en faifant les fubftitutions ci-delTus
* 2 x *£| = T coC if* ( 1 )
z ■ dt J ■ ■} > \ • \ ' ?tr
^i - zH + {fr -H>)U+ i[{- -N H)F-
at d t v ' L \ z
£ x~l=rk& (3)
-
Si on vouloit n'avoir egard, dans la valeur de y, qu'aux
quantite de 1' ordre d.e i , on negligeroit dans les valeurs
de u & de if, & par confequent audi dans les equations
( 2 ) & ( 3 ) tous les termes affe&es de i, moyennant quoi
ces equations ne contiendroient plus que les trois variables
y , u & [f , de ibrte qu'avec 1' equation ( i ) elles fuffi-
roient pour refoudre Ie probleme; mais fi on veut poufler
l'approximation jufqu'aux quantites de 1' ordre de r, com-
me nous 1' avons tait dans les problemes pr^cedens , alors
on confervera tous les termes des equations (i) & (3),
& on multipliera de nouveau 1' equation ( S ) par cof.
2 H t , & par {in. 2 H t ; ce qui donnera , apres les fub-
ltitutions , deux equations en v & en V , -dans lefquelles
on pourra negliger les termes affe&es de i , parceque les
quantites v & V font deja elles-m£mes multipliers par i
dans les equations ( 2 ) & ( 3 ) > ainfi 1' on aura
~ +AH~ + (X1 - AH*)v = T coC.iHt (4)
~J?-*HY7 + l-4- ^l —
4ff')N=o-.
De cette maniere on aura 1' equation integrate
{dy du ^.dV dv ^ dV
A/-4-JU— -f- M -— -+- » -j- -f- N H( — Ap +
dt^dt dt dt dt v r
iN
— M)j -+- ( — pp — z HM) u -h (iN\ ■+■ i Hu.
| ~Mp) U-*> (- 2"_M — vp - 4#N)v -+- (~fjt ■*;
4Hv — N/3)r"Ve^ = /r (?v -4- ha cof. #f -*- M
fin. //r -h v cof. 2 i/r -4- N fin. z Ht) e"' dt .
Soit p* = — R* , de forte que /> = i? • — i , &
fj. = i -*-.£> —
4i/J)B = o,
d' oil 1' on tire
Mifcel, Tom. III. p p
i$t
i — — i*NA
2
(M-NH)(R'-y+HyiNHR'
N ( R'— X'-t- H')^a(M— NH)H
( R1-K' + H')'-4 H' R'
( — M — NH)(R'— K,+4H>) + iNHR'
^ ~~ (R* — X*-h 4 H')*— 16 H'R1
J_ N(R1-R'+4H')RV4(-i M-KH)HR
_2 a A
"" (R> — K, + 4H')'- - 16WR'
( i_ m— NH) (R'-X'-^H*) * iNHR'
B = (R1 — JC + 4H')'- i6H'R'
-LN(R» — 2f, + 4H«) +4(— AT — NH)H
( R1 — X' -+■ 4H*)* — i6H*R*
Et enfuite
\_ dt dt x
.4- ?|3 ^ -4- i* ( — * -+• 4 #0 -*- -R1 B ) P
-[(1— — A ) j -»- i ( * -+• 2 # A ) « — iA. -77
% . ft t
Jh ?(— A ■+• |3 -4- 4#B) v — ?B ^ ] i2 /— 1 "V * *e/- '
2 at J j
= /T [ 1 -4- i * cofi Ht -t- j"1 /3 coC 2 #r -4- ( i A fin. Ht
-4- £*B fin. itfO^*'-!]**^"'^*
ou divifant par e*'v — ', & changeant le$ exponentielle*
imaginaires en Jinus & cofmus ,
*9'
d t dt ■
-t- r/3 ^ -+• P ( ~ * -I- 4 #0 -4- # B ) V
— [ (» A )y -+- i (* ~h 2 H A) u — j A — -
as cof i? f /T [ ( i -»- i * cof Ht -4- /*j8 coC i Ht ) cof. i?c
— i ( A fin. #r -+- i B fin. z H t) RCm. R t ] d t
-+- fin. RtfT[(i -+- ice cof #; ■+- r j8 cof. a Ht) fin. i? £
-*- i ( A fin. #; ■+■ i B fin. x H t) Rcof. R t ] d t
— fin. RtfT\(i -+- i« cof. #r -+- i*|3 cof. i//f ) cof i? r
— i< A fin. #r -4- iB fin. zHt) R fin. i& ] dt ■ V — t
■*- cof. RtfT[(i+i**T ■+• N H) v
N' dV
--■-J-^T^Ht --4H>)v = TcoCiHt . . (7)
~-4H~+(K>-4H-)F=Tfm.zHt . . (8)
-^r-f.4^l-.-H(^_ AH'-)V = r cot lift . . (9)
-~ — 4H~-{-{K"- — 4H--)F' — T{xt\.iHt . (10)
On aura done en tout dix inconnues & dix equations ,
& le probleme ne dependra plus que de 1' integration de
ces equations.
En fuivant notre methode on multipliera 1' equation (1)
par A, l'equation (2) par X', l'equation (3) par j«, l'equa-
tion (4) par M , l'equation (5) par p, l'equation (6) par
M' , 1' equation (7) par v, l'equation (8) par N, liqua-
tion (9) par v', l'equation (10) par N'j & apres les avoir
ujoutees enfemble on multipliera la fomme par et"dt, &
on en prendra Pint^grale ; ce qui donnera (en faifant dif
paroitre de deflous le figne / les differences des variables
y , u , V , a' Sec. & egalant enfuite a zero les coeficiens
des termes ou ces memes variables fe trouveront fous le
figne)
{f-+-K*)\ -+-*( — f/ -+- — M'/>)=*o
M N f ' 00
{? + K")K'+n£- n - -Mf) = o
303
i (M'-h N'H) \' -+- 0>*-+- K1- H1) p + 1 HUp = o->
i N'K'p — z Hy.f> -+- (p* -+- if* — Hl) M = o
- i'iVxp - 2 ify'p -+- ( p1 -+- X'* - H1 ) M' = o
i ( ±L .+. j\r# ) ^ - ~L M> -t- (p* -♦- K'-aH') v
■+• 4 i/Np BS o
t£! ^ + i (iJ li, #'#) M' - 4#vp •+- (p* -t- ^ V
- 4 tf * ) N = o
i ( ^f__ # #) ^ _h i^Mp Vo* +£*— 4^) >'
-4- 4^N> SB O
- ^j»^ + i ( ™—NH) M - 4#v> ■+• (p1 •+• ^/2
- 4 #* ) N' = o .
Et < \-f+x/^L-+-u-r-+-M—- - -4- u' — -
L / dt r dt dt ^ dt
XM,JV' dv „dV ,dv' .T/dV'
tf/ */ <*/ «/ /
iff iN
•4-( — *p M' ).y -+- ( — x'pH — M)y
-+■ ( - n p — zHU ) « -4- ( — ;iW -+- iHfi-Mp) U
.*. ( -Vp — 2#M' )«'-+-( iiVX -+- 2/fyc' — M> ) tf"
-+- ( — M' - vp - 4#N) v -+- ( - — yf -+- 4#*-Np)F
h- ( — ^M - »> - 4#N>'-4- (^-^tfv'-NV)^^'
t=/[ T ( X -4- /u cof. Ht -4- M fin. /ft -+- » cof 2 /ft -4-
N fin. i i/t) -+- r ( X' -+- m' cof. //r -4- M' fin. Ht -4- »'
oof. 2//t -+- N'fin. xHt)-\e"dt (X)
LIX. Qu'on multiplie la quatrieme , la fixieme , la
huitieme, ck la dixieme des equations (V) par ± i^— i,
304
& qu'on les ajoute enfuite chacune a fa precedente , on
aura , au lieu des dix equations ( V ) , les fix fuivantes
M N'
( f -+■ Kl) x -*- i ( — p? -+- — M'p ) = oJ
M N
(,»*-+- Kl) X' -+■ j" ( — ft. — — M /? ) = o
t [ AT -+- iV ( # ■■+- p V - i ) ] x'
+ (I!-[ff^^-.]l)(H^M^ - i) = o
i{M-N{H ^-pv^-i )]\
-+- ( #* - [ H ■+- /j V - 1 ]»)( n*' ■+- M' • - i) = o
i [ M' & N* L*JI -+■ p. V - 1 1 ■);( /»' 4- Ml • - s )
+ 2(f!-[^-+-f/-rj!)(»^N^-.) = o
" i(M-JV[ iH^-pV- i])(n*-+- Mi/- i )
-t- 2 (X'* — [ zH±p^ - i jI)(»,±NV-i) =o.
Les deux premieres donnent, ou bien
—j^jp^L^j+^Wt) . . . . (Y)
8cX' = - i ^-^ , ou bien
& x =
Af f* -t- JV M' p
a (/>'•+■ £» )
Dans le premier cas , la troifieme equation deviendra , en
fubltituant la valeur de X' ,
(K2 — [H-tpV-iy)([jL + MS-i)
-flM' + N'iH+pV-!)] tf;>AfyM/= o,
L v — r ' J a ( />» ■+■ #* )
laquelle donnera feparement , a caufe de 1' ambiguity du
ligne ,jw = o,&M = oj de forte qu'on aura aufli X'
= o , v =i o , & N' = o j & 1' on aura enfuite pour
la determination des quantites p, M', » , & N ,
f*
d' oil 1' on voit que les quantires ,u & M' feront de 1' or-
dre de f , & les cjuantires "v & N de celui de il.
Dans le fecond cas on trouvera d' abord fx = o , M'
e=f o , & par coniequent X = o,» = o,&N = o}
enfuite on aura
d' oil 1' on tirera , u , M , v' , & N'.
Ayant ainli les valeurs de tous les coeficiens on achevera
le ca'cul comme on- a fait dans l'Art. prec, & Ton aura,
a 1' aide des deux valeurs de p- , deux equations finales
qui ferviront a trouver y & y'.
II y a cependant un cas qui demande une difcuffion
particuliere ; c' eft celui ou le coeficient H feroit prefque
egal k K — K', la difference n'erant que de l'ordre de i,
nons alons 1' examiner dans les Articles fuivans.
'
Analije du cas ouH ejl prejquc ^gal a K -»- K'.
LX. Soit K = h 4- ik, K' = K h- ik , & # =
A — K ;.enforte que H = K — K' -* i (k — k ).
Je fais p ^ — i = A -+- i m , c' eft - a - dire p =
— ( h -+- i'ot) V — i } ce qui me donne pz -i- Kz =
— a :' A ( m — k) — i i1 (m- — Ar ) ; & les equations
(Y) & (Z) de 1' Art. prec. fe changeront en celles-ci
Mifcel. Tom. III. q q
(Z)
^-MV-.i=-/— v ,„ — ^*.
3 0.6
xh (m — • A) -+- i(m* — A1)
— r(7f« ~ " M V — i ) . ( a )
' * — i — — — • {b^.iAy-{xb-ih + (£-+•/ m ) )*
X(^ rh M' •— t) (c)
d' ou Ton tirera les valeurs de /tz , ft, M', f, & N.
L' equation ( b ) £rant prife en — donnera
O'-w*' )'-(//-♦- im)'
Or (A' -4- ik'Y — (h' -f- «/«)* = iiA' (A' — in )
-4- ? ( A'2 — m* ) = — i ( m — A) (iA + »" [ m -4- A' ] ) ;
done faifant cette fubftitution , & divifant enfuite le haut
& le bas de la fraction par i , on aura
u' — M • — i = t ;, w ., 77 — 77T. X .
Equation , dans laquelle je remarque que la quantite i
ne fe trouve plus qu'au premier degre; de forte que cette
equation ne doit etre regardee comme exacle qu'aux quan-
tites de 1' ordre de i* pres. C eft pourquoi il' faudra n£-
gliger dans la fuite toutes les quantites de ce meme ordre.
Prenons maintenant 1' equation ( b ) en -+■ , & nous
aurons , en "rejettant les termes de 1' ordre de F ,
Done
i M + N(b' + im) . M-N(ib-b')
f* ~~T ^ {m-k'){xb' + i{m + k )) "*" ' *b(b-b') '
i M + N(V-t.im) .M-N{rh-b') *
T ' {.m-A'){T.bJ + i(m+A') ! 4b{b-b') '
J°7
c' eft-a-dire , en faifant
Not | (M+N/S)(m + t') M-N(ib-b')
' ~~ *bi (m-- k) 8£"(/»-,f) " 8 £(*-#) »
- M+N// . .
Ces valeurs etant fubltituees dans 1' equation (a) il viendra
ou multipliant par — & reduilant ,
(m — k)(m — k') —
-+./[(/** — k*)tm — k) —
i6hb'
{M+Nb)Wm
16 bb'
(*MJ + ANb)(m-A') _
-k ] = °
De forte que , fi 1' on fait
A „ (m>-k>Xm_n ___
Vb ■
on aura ,
( m — k)(m — k) — - -^j-p - +jA = o . (d)
equation d' oil 1' on tirera deux valeurs de m que j'appel-
lerai m \ & m i .
Si on neglige le terme / A on aura les premieres va-
leurs appiochees de m i & de m z ; & fubftituant enfuite
jo8
ces valeurs dans Pexpreflion de A on aura les valeurs de
m i & de m z aux quantites de 1' ordre de i1 pres.
Enfin 1' Equation (c) donnera , en fubftituant les valeurs
de (*' & de M', & negligeant les termes de l'ordre de i%
v, . . M+N(iA-i b'-*-b)
X 8*0.-*) <' + »A*
d' oil , en faifant
& ~~ 4b>(h-b'y~ x 8^c» - ry
on aura
» ss i j8 X , N = i j8 X V — i .
A P egard des autres coeficiens , favoir X', p , M , /
& N' ils feront tous = o , comme nous 1' avons vu dans
1' Art. prec.
LXI. On fera maintenant ces differentes fubftitutions
dans V equation integrate ( X ) de P Art. LVIII. , &. V on
aura , en rejettant les termes de P ordre de f
r'dy M + Nb' ,du' dV . „
\dt *b {m-k) K dt de '
J t,b {m — k)
. , di/ ' dV , . ,dv dV . .
4» (.»» -/* )
-4- i ( /3 T ( cof. i /ft -+- fin. i #r • — i )
. ■+■ T (« cof! Ht -+- A fin. Hi V - i ) ) "V «-('+'»>V-.^ (e)
Suppofons que cette integrate foit prife de telle maniere
qu'elle foit nulle lorfque ic=o, & qu'alors on aity=ft
■£ = g , y — f, j-t = g'> & par consequent U = f,
du' dV „ . c dv
&c~ = zHf( An. LV1IL ) ; il eft clair qu'il faudra
ajouter au fecond membre de 1' equation precedente , la
quantity
Af-t- Ni/ tt n / n i r ,
-*- i{^' + AH/V-i+^(g + 1 #/V — i )
c' eft-a-dire , a caufe de H = h — K ,
3 to
LXII. Pour rendre le calcul plus fimple nous- negli-
gerons d' abord les termes de 1' ordre de i ; moyentunt
quoi 1' equation ( e ) deviendra ( en mettant A -— h! au
lieu de H, & e(*~ *'>'
M+-Nb' .-.;■
*" (g * 4*0-*)* )fin'(A "^ ^^
^ 8h_ 4^c— *-) ;
laquelle , ( en mettant fucceflivement /hi Sc mi a la pla-
ce de to , & denotant par 0 i &: G i , 5- i & $ i les
Taleurs correfpondantes de 6 & de ■S- ) en fournira deux
3't
tn \ — A'
autres , dont la feconde ^tant multipliee par —
& enfuite retranchee de la premiere auffi multipliee par
m i -k
— r i on aura
lt{m i — m 2)
mi-k M+Nfr r
y — ( f H _ -f) cot (h -hi mi) t
mi-k' M+Nb' .-
t- ( 77 £ H ry- g ) (ill. A+l/KI £
— ( / h - -f ) cq£ (A -+• *m i) *
m \ -mx * A,b{m\-mi) i_/ _ . '
"(K„-wt)g-t-4*y(„-i)g)k(*-t,"Bl)t
mt-k mr-k M+Nb' '• ,*
"*" Z7 S ^ r — 77 . 6 * ■*■ -T777 S C^1"^) (g)
#(/wi-«»i) h\m\-nri) i,bb (mi-mi)
LXIII. 11 faudroit maintenant faire un calcul femblable
pour trouver ki valeur de y\ eu employant les autres for-
mules de 1' Art. LIX. ; mais fans entrer dans un nouveau
detail a cet egard , il fuffira de confiderer que les equa-
tions propofees (T) & (U) , dans lefquelles H = A — A',
font telles que 1' une fe change en P autre , en marquant
feulement d' un trait les lettres y, K , M, N, A, T, &
effacant celui des lettres /, K\ M', N\ A', & T ; d' ou
il s' enfuit que pour avoir P expreflion de y il ne faudra
que mettre dans celle de y , /', g', A', k\ M\ N\ T, au
lieu de /, g , A, A, M, N, T, & viceverfa.
A P egard des valeurs de m , on remarquera qu'en ne-.
gligeant le terme i A , elles feront les memes pour les
deux cas, puifque les quantites M, N, A, A, & M', N\
K , k' entrent de la meme maniere dans P equation ( d )
de P Art. LX.
LXIV. Ayant trouve les premieres valeurs de y & de
y' , li on veut avoir une plus grande precifion &: tenir
compte aufli des quantites de P ordre de i , on hommera
i11
ces valeurs y & y', & on defignera de mime par u', U',
v , & V les valeurs correfpondantes des quantity u', U' ,
v , & V \ enfuite on fuppol'era y = y -+- iy, u = u'
-4- i it-, U' = U' -+■ i U'\ & T on fera ces fubltitutions
dans I' equation ( e ) de I' Art. LXF. , en n<£gligeant les
termes de l'ordre de iz; apres quoi on effacera tous les
termes qui ne feront point affe£tes de i , parceque ces ter-
mes fe detruiront d'eux -memes, en vertu de l'equation (t),
& 1' on divifera les autres par i . De cette maniere on
aura
V. d t 4 /j <\m- k) s at
^tt^ + 8^.H-(^1tf.,-(J";w,.):-AA)U-
"*■ (St? ITT -H A* — i#A)u
4 // ( w - A' )
/{
|3 T ( co£ i Ht -+- fin. 2 #r V — i )
-t- T (« cof. i/r -+- A fin. H t V — i)\ ^C*.+>>) dt.
On traitera cette equation comme on a fait ci-devant
1' equation ( f ) , & iuppofant pour abrcger
9 =
3 i 5
t-Ai , «i — Ai j "\
* j a J
#»? i it' /**
— t, ^ *n »?i cof (A-j-i/nz)f-f-^ifin. (A-4- //raz)t
b{m i —mi) \_ . ^
' + Ai -— -+■ /3 2 — i-yiy-t-Siu' + av
/j . *i + Ai . di-Ai i
•+• 0 2
i
>j i , >? 2 , £ i , ^ i &c. etant les valeurs de ij , £ &c.
qui repondent a ot x & m i .
Si on vouloit encore poufTer la precifion plus loin il
faudroit alors reprendre les calculs de l'.Art. LVI11., & y
Mifcel. Tom. III. rr
31*
avoir egard aux quantites de l'ordre de i* que nous y avons
ne^iitrees.
LXV. Soit T = AP, A e'tant une quantite conusance,
d'P
ck P une fonftion de P telle que — -J- azP = oj on
at
aura donc/T cof. (k -t- i m) t dt — A f P cof. (A + em) * dt ,
i afrP
&/P cof. (Ah- im) r oft = ; /—cof. (A -+- im)tdt
j p
= ( en integrant par parties ) — cof. (A -+- im) t
— — P fin. (A -+- im) t -+- - ; — -fPcoi. (A-H im)tdry
A A
done fuppofant que 1' integrate fP coC (A -+- im) t d t
foit priie de maniere quelle foit nulle lorfque t = o, &C
, , dP
qu alors on ait — — = * , on aura
" dt
fP cof. (A -+- im) t dt = [ (A -+- im) P fin. (A ■+■ im) t
dP i
i — 7- cof ( A -4- im) t — ct 1 — ! — - — - .
dt v ' J ( h -+- / m)*- a*
On trouvera de meme , en prenant $ pour ce que
devient P lorfque t = o
fP tin. (k -h im) t dt = [ — (A ■+■ im) P cof. (h-4- im)t
dP .' i
' quand r
dt
, on trouvera
3 1 5
5- — ,,,-*' J l(h' -+im)P cot (h— h')t + 1?~
(1/ +tm)-dl L v ' v ' dt
fin. ( h — h' ) t — *' fin. ( A' -+- i m) t — 0' ( A' -+- t /n)
cof (A' -4- i /n ) t ] .
Done fi on a
T = AP + BQ-*-CR-+-8cc. &
& de meme
T == ^'P' -♦- 5'Q' -+■ C# -+- &c, &
& qu'on fafle
= '-. /» -H -^ Q £ ^ : R + &C.
©= tt^-. /" -4- r^r £ •+■ tt—t K + &c.
h'*-S b'
& de plus
F=f-At G=^~r, F'=f'-A', G'^g'-T,
(A, T, A', & r earn les valeurs de 0, d-$, 0' & ~,
lorfque t = o ) la formule ( g ) de 1' Art. LXII. don-
nera , en negligeant les termes de 1' ordre de i,
f m\-k' M + Nb' r,-\ . .
y = «< F-\ — -F > cof.(A-+-urci) t
f mi-k M+Nb' -i .
L»(wi-ffli) A,bb [mi-mx) J
— < F~t — — ;F r co'- (h-+-imx)t
v. m i - mx A,tf {m\- ma) j
/ mx-k M + Nb- \
— < — -£-+.__ -G >• fin. (h-*-imx)t
\~b{m\—mx) j^bb' ymi-mx) j
H- 0 (h)
3»6
Par la on aura la valeur de y lorfque les fohftions 7*, &
T feront exprimees par des fuites quelconques de differens
jinus & cofinus d' angles multiples de t .
II faut obferver que fi a etoit egal ou prefque egal a /?,
il ne feroit pas permis de negliger les termes aflectes de i
dans l' exprelfion de 6 ; & 1! on trouveroit alors clans la
valeur de y des termes dont les coeliciens feroient tres-
grands ; il en raudra dire autant du cas oil a ne feroit
que tres-peu different de h' ; nous en laiflbns le detail au
Lefteur.
Mais fl a etoit exa&ement egal a h ■+- i m le denomi-
•nateur a* — (A •+• fm)' de 1' expreflion de 6 deviendroit
s= o, & comme cette quantite n'eft point infinie , le nu-
merateur correfpondant feroit aufli egal a zero dans ce
cas la ; faifaat done A-+-j/K = a-+-.
JI8
cof. (4 + i«i)(- cof. ( A •+■ iu) t X
— • fin. (A ■+• iu f X ; ,
fin. ( A -+- i /n a ) t = fin. ( A -+- z ft) t X — 7
-i- col. (A -h ru) t X ; — - — .
Ces fubftitutions faites, on verra que Ies imaginaires (e
detruiront dans la formule ( h ) , & qu'elle deviendra
.y = «< .Fcof. (A -f- ifj£) t -+• -7 fin. (A -4- iju) t > X —
-{\^JF*^lF)fin.(A-f-iu)r-(^(;
li ^L O cof. (A -,- z»\ X — --- -4- 0 .
Ainfi dans le cas ou 1' equation (d) a fes deux racines
imaginaires, la valeur de y contient neceffairement des ex-
ponentielles toutes reelles , & qui croiffent a 1' infini a
mefure que t croit .
Application de la folution prccedente a la Thcorie
de Jupiter & de Saturne.
LXVII. Soit / la maffe du Soleil, / celle de Jupiter,
r le rayon vefteur de l'orbite de cette planete projettee
fur le plan de 1' ecliprique ( plan que nous regarderons
comme abfolument fixe & immobile ) , P = r '? '» " = V (r*-+-pz) =rV (i -+- f ) ,
= rV ( i -+- 7"), & v = • ( [ r fin. (
(»•*-#
— ir/[cof.(
■?*- *-*•
■5 io
d'r' r'dQ* . . _. r> „,
■j;*--^ + (I + J^> + R = °
d QW)
de'
e =
o
dont les trois premieres reprefentent le mouvement de Ju-
piter derange par Saturne , & les trois autres celui de
Saturne derange par Jupiter.
D' ou Ton voir , que quand on aura calcule les deran-
gemens de Jupiter , les memes formules ferviront a calcu-
ler ceux de Saturne , puifqu'il n' y aura qua changer /-',
$>' , p' , it , & /' eh r ,
idqdr F-Rq
dt> ^ V dr ^ rdi* W r
Jbniuite 1 equation — =— — - •+- Q = o donnera — 7—
= c — /Q c/ r , c etant une conftante arbitraire ; d' pu
„ dtp c-(Qdt
1 on tire -j- = — J *- . , 1
Done
311
Done les equations du mouvement de Jupiter feront A
caufe de u = rv'fi+j'),
d? r>
-4- R —
idtj dr
r dt*
r
dt> 1 r*
djp c-fQjt
/ r*
LXIX. Les equations (i) donneront r, 7, &
etant des conftantes arbitraires, & D —
C ( i -♦- tl ) .
La premiere de ces deux formules nous montre que
1' orbite eft toute dans un plan fixe palTant par le centre
des rayons r , & coupant ce plan de maniere que s (bit
la tangentede 1' inclination , & * le lieu du noeud afcendant.
La feconde fait voir que 1' orbite eft une ellipfe dont
le foyer eft dans le centre meme des rayons vecteurs rj
& pour en determiner l'efpace & la pofition on coniide-
rera , que fi on nomme , & A les angles dont — A etant 1' argument
de latitude, &
— A)
& fin. (
x fin. (<& — A); done
Cof (
) = Cofi (^ — *)
X cof. ( * — u) — fin. (
on aura «* (*-•>
= E cof. ( * — B ) X • ( i •+• f ) ; done — J ..... «s
-J- -*■ » E cof. ( * — B ).
Or s = — , & r V ( i •+• ql) sa « rayon vefteur de
1' orbite reelle ; done 1' equation de cette orbire fera
u = tt
— ^ — t- jj E cof. ( — B ),
laquefle eft vifiblement celle d'une ellipfe dont -^- eft Ie
parametre & t> E 1' excentricite. A 1' egard de la pofition
du grand axe de cette ellipfe , il eft clair que = B
dqnnera le lieu du perihelie , & pour avoir 1' angle cor-
relpondant -«)-+- ~
fin. ( $ — * ) ^- — ? t cof. (
m i j
- — zfQrdtp
1 ■+• s»
<2 e ) ^ '
-+- ^ - cof ( ) J u , de ma-
il •/- i ''•T /-♦-/ <7^<7
mere que r on ait {implement -— = — -— X - — -r- — ^
M v dp D dpv (i -i-q1)
— n fin. (
dp>
done on aura ( a caufe de d n = — " ' , ~ 1 da) - —
v cof. (p — a) ' dp%
— >; cof. ( p — u ) -+- -^,— . De forte que l'equatio* ♦
N d p cof. ( ? — a>) a *
dp* * C-z/'Q/V
en t , on pourra , fi Ton veut , trouver tout
de luite les valeurs de * , e , a , & t} ; car les equations
q 3= e fin. ( p — *) & j? = e cof. (
4
„ , dzdy . dzdy. T-Ri}
, . ^* ' - CQdt , . . , . %
A -♦- * — -A ( , — * jjr -J- 3 iy — 4ly )
= o .
On voit d'abord par ces equations que les quantitds
jc-fQjty | /-J | R P-R7 &ih c-fQjt
a* «' a ' r ' — 3b)y —±ibiz-+-6ihyX—iX*
H-il\(iohi~Ab)yi-i- -iCbyi1- 1 1 il hy 2 X -+- 3 fy X'= 0,
t?-'*v-*
. , . . d z dj> • r v
— 4 1 h2 iy ~f- 22——— -+• iiA{A
-+• ior/i2t-_yJ - ir H-pV — S^h^yX -ir i1 { X2 == o ,
— -T- aAy — X
d t J
— 3 / hy~ *+- 2 iv X
-+- .4 i2^ j3 — 3 i?j?*Jl = o .
Si I' on nomme de meme a' la diftance moyenne de
Saturne au Soleil , K fa viteflfe angulaire moyenne , &
qu'on fuppofe
/ = «'(! -h if),
— £ • — i.
Done ( i — 2 * cof. 9 -+• cc1 ) -' = Pl ■+•. Q\
Or fi on fait les quarres des deux feries P &-Q, &
qu'on ajoute enfemble les termes qui auront le meme coef-
ficient , en faifant attention que cof. m 9 X cof. n 9 -+•
fin, m 9 X fin. « 9 = cof. ( m — n ) 9 , on trouvera
( i — 2 * cof. 6 -+- *2) — ' = A -+- B cof. 9 h- C cof. 1 8
-+- D cof. 3 9 -+- &c.
les coenciens A , B , C &c. etant cxprimes de la ma-
niere fuivante
/■f(/-|-I)\J /■f(f-|-I)(J + 1)M<
A = i -4- s-a2 -+- ( — Y *4 -+- ( — — )***
v 2 2.3
-4- &C.
— = j * -+- s X * H X *'
2 2 2 2.3
~t- CvC.
2.3.4
&_ainfi de fuite.
Au refte quand on aura determine par ces furies les
deux premiers coeficiens A & B , on trouvera tous les
fuivans d' une maniere tres-fimple & tres-facile j car fi on
prend les differentielles logarithmiques de 1' equation
33«
(i - 2 « cof G -+- *') — ' = A -4- B cof 6 -+- C cof z 0 -t~ &c.
& qu'apres avoir multiplie les deux membres en croix ,
on compare terme a terme , on aura , comme M. Euler
Fa trouve le premier dans fes Recherche* fur le mouvement
de Suturne ,
(^ (i-+-«» )B— a * « A
*- cr^ir*
j-x o. { i -f- «' ) C — ( i +s)«B
( 3 — ■»)"
(4-0*
&c.
Connoiflant ainfi tous les coeficiens de la ferie qui repre-
fente ( i — i a. cof 0 ~t- a1) — ', on trouvera tout de fuite
ceux de la ferie qui exprime (i — 2 cc cof 0 -+- **) ~ ' — ';
car denotant ces derniers par P , Q , R &c. il faudra que
la ferie P -♦- Q cof 0 -4- R cof 2 0-4- &c. etant multi-
pliee par 1 — 2 * cof 0 -h »-*-S3 col;ie + &C-]t
1 J
Or — s=r - =s ( en negligeant les termes
de 1' ordre de j'1 ) ~- , & par confluent
£, cof. e = ^ cof. *- 1 /y il cof. e.
Done fi on fait
ft
A 2 = a* A 1 — a1 a' —
Jj6
B 2 = a3 B i — a* ,
,Br +D i
B 2 = a3 B i — a* a -*- — -
C 2 = a' C i — a2 a
Dz = a' D
i — ard
z
Ci +Et
&c.
P4 =^(A[+Pi)-fl«a'-
a
Q4 = a'(B i +Qi)- a'a''P^-
R4=a'(C+R1)- aV ^-^
2
&C.
P5 =a3P3-aV(^H-^l)
2 2
o — jo » ' 2A1+C1 2P3+R3 2*
it 5 = a3 J\ 3 — a a ( — •+■ )
N 2 2
« • c 1 //Cl •+-El R3 -+-T3
S 5 = a3 S 3 —
& qu'on fafle
, ,iAi -Ci *
A 3 = a2a - —
R, - WBl"Pl
D x =s a a '
2
2
&c.
* 2 2
D „ , . .Ci -Ei Ri-Ti.
R 6 = a* a' ( 1- )
* 2 2
&c.
^7 — «« ( — - — -+• — - — ; ■+■ -p-
&c.
on aura ( y^rf. cu« )
Mifcel. Tom. III. uu
Q 3= - ( A 3 fin. 9 -4- B 3 fin. z 6 -4- C 3 fid. 3 9 -+■ &C. )
-+- i - y (P6 fin. 0 -+- Q 6 fin. 1 6 -t- R 6 fin. 3 9 ~t- &c. )
«*■ i -/ (P 7 fin. e -*- Q 7 fin. 1 6 -h R 7 fin. 3 6 -+- &c.)
Enfino.ia^ = :({--{^)& -, = *? =5H
d' oil , en negligeant les termes de 1* ordre de i\ on aura
P = ; /' [ ( { a — {V )x( A 1 +Bi cof. 8 -4- C 1 cof. 2 9
De forte que fi on fait'*
A 4 = a' A 1 — Ai
B 4 = a3 B 1 -Bi
C 4 = a'C 1 — Ci
&c.
. « A-j = ~ — ara'ki
a
B 5 = — cVB 1
C5 = — a*a'C 1 ,, o
&c.
on aura , aux quantites de 1' ordre de i1 pies ,
r
J'
= i - { (A4 -+- B4 col. 6 -+- C4 cof. z9 + D4 cor3e -*-&c.)
J'
-*- i - {'(A j h-B5 cof.9-f-C5 cof. i9-4-D5 tof 39-t-&c.)
Et il ne reftera plus, pour, achever' les fi»bftitution$, qu'a
mettre au lieu de 0, c'el't-a-dire au lieu de (P8 cof. /f( + Q8 cof. iHt + &c. )
-t- *y (P$ -+- Qj C0f. i/t -+- R5 C0f. 2#f •+- &c.)
-t- 2 i A/> ( P 6 fin. #t •+- Q 6 fin. 2 #t -*- &c) «/z
H
*■■(*
-wf)
2
H
H
Aj
xH
B?
6b
H
Aj
6 b
B3
34i
•+• i i hfy' ( P 7 fin. #r -+- Q7 fin. i i/f ■+• &c.) Jt
— i (x - x)x(B i fin. //r -4- C i fin. 2 #r -h &c.)
-4- 2 i hf(x - ;t)y( A3 cof. /ft «** B3 cof. i/ft -I- &c.)
=ro (1)
d1 z
-j^ -+- [ Az -4- i ( 2 A f -+• 1 f* -*- n A 4 ) ] j — 4 / ( A' -»-
2 l A f ) jy -*- 2 1 — ^ -4- 10? A1 {^a — 2 lxy -jy- -h
i n + = o (m)
^ -4- 2 ( A -4- i ()y — f — 3 i ( A -4- i f )^ -+■ 4 ? A^3 -+-
n'H.= o . . . . . . . (n)
Telles font les equations du mouvement de Jupiter , en-
cant qu'il eft altere par 1' a&ion de Saturne.
On trouvera des equations femblables pour le mouvement
de Saturne derange par Jupiter ; il ne faudra pour cela
que mettre y', j, x a la place de x, y, { & vlceverfa ,
6 roarquer toutes les autres letires d'un trait, a l'excep-
34i
tion de H , laquelle etant = h — A', deviendra K - hy
c ell-a-dire {implement negative.
LXXVIII. Je remarque maintenant que les equations
(1) & (m) peuvent fe reduire a cette forme plus fimple
— - +I2y + nY=o, & ~r{ -+- Ll z •+- i n Z = o ,
dt' J dt'
en fuppofant
y = y -+- ct -+- : ( /3_y2 -+- )/ £2 ) -+- i2 ( &J3 -+- f y {2
i={+'(RJ + » -^ ) -4- r ( ^ {3 -f- />{/ -+■
d z d y
Pour le prouver , & determiner en meme tems les va-
leurs de * , j3 , y ike. /x , v , it &c. , je prends d' abord
les diiferentielles f'econdes de y & de z , f ai
d'y d'y dy dy'. . . d'z
*a* . . , , d'y dy* . , fy ^z
d z* dy-fz . dz' d'y dydz d'z
d z dy dy d'z d'y d'z .
"" ^Tt'M^Tr"?? •+" *'*7?'7?*>
d'z d'z . ^z //'v /&<&. . .//y <*'£
77» = 7?+ ^^? * ^ * * -dT-^19^ ■ 77>
Vz ~dT ' dl'~^yTt '77' ~*~y7~i ' dt>
ef z d'y
"*" ^77-- 77^
J4>
Enfuite je fubftitue a la place de - , — - , ~ , — -
' l Hi1 ' dt** d/> ' dt '
dy* dz*
-y-x , ~j-t leurs valeurs tirees des equations ( 1 ) & ( m ) ,
en negligeant les quantites qui feroient affectes de i' , ou
de iz n; & pour avoir les valeurs de — & —&- ( car les
1 dtx at*
autres fe deduifent aifement des equations citees) je mul-
tiplie 1' equation ( 1 ) par % dy , & P equation ( m ) par
2 d i , & enfuite je les integre ; ce qui me donne ( en
negligeant les quantites de l'ordre de i1 & de in, parce-
que — & — - ne fe trouvent que dans des termes deja
affecles de i )
± + [ & .+- / ( 6 A f — z g ) -\y +• 2 ( g — iAf —
i i; -t- n A z ) -+• A —~ i ikr y> — 3 i hz f '£ dy •+■
2 n/ft> dy = o ,
■^ -+- (A2 -t- %ih()t + B — Sih--fyidi -+■
A , & £ etant des conitantes.
( Je conferve expres le terme 1 i n f-^ d % parceque la
quantite ^r coiuient un terme de cette forme B 5 if col. i/r,
lequel etant multiple par d ^ , Sc enfuite integre, apres avcir
fubllitue les valeuis de { & de f en t , fe trouvera divife
pur des quantites de l'ordre de 1).
Or 1' equation ( m ) donne , en rejettant tous les ter-
dx z
mes affe&es de i , —— -+- hz 1 = o ; & par confequent
n 77, *y *■ «*/r mats jl~dy^=l —di-
344
— f(~dy "*" { j^{) = (en niettant au lieu de
— &r de ~~ leurs valeurs approchies — A* {r — B &
— A* y — g "+" * A f , car on peut negliger ici tous les
termes affe&es de i & de n) { ~^- ■+- fcfgdy -+• i?y
-+- hlfy i d i ■+■ j1 = ( a caufe de // ^ d i =
p — i ^ f % y*
«+• |\ Done on aura — hr f{*dy -+- -— ,y {2 -f»
t £Zif _h £y +>§Z±JH {»=0j d'ou Ton tire /{l ■+• *(6Af — *g)].y* -f *[g - *Af —
i (fl — tf) ^-nAi]j + ^ + i(g- iAf)f —
a : A*y» •+• :* hxy j* -*- r i { -^— +in/''J> B 5 /cof. Ht(d(\ ,
~ = [ — A2 — i ( 2 A f -H if -1- n A 4) — 1>( g — 2 Af
— ii* -+- nA2) -h 2 i i> ( g — iAf — if -4- n A 2 ) X
(ht-t-iihi) — iit»h*(,xA-4~B)—6i1TB—iilpA
-+- 2 i2 h1 — 6 r t A4 — 9 i1 t A* ] {'
«*• [ — 1 o i1 A2 =*- 7 i2 n* A2 — 20 i2 * A4 — 5 i2 1 A2 -4-
4 t* (T A4 J jks f
Mifcel. Tom. III.
xx
346
-4- [ i? — 2 i'fjL -+- 1 6 ? * A* -+- 4 i* p — 5 iV A2],y ^
r • t • d$dz . , , _
■4- n [ — i-^ — *]«{ — if — — h UfA^ip].
Je mets done ces valeurs de y , z , — r- & -— dans
les equations -^ -4- .fiT2 y -f- n Y = o , & ~ -+- D z
*+- inZ s= o, & enfuite j' egale a zero les termes ho-
mogenes ; ce qui me donne les equations fuivantes
— A2 — i(6 hi — 2 g-H 3 if2-t-nP 4) — 6 i |3 (g - ih(
— Hl-h — iB-4-nAi)-*-8i1yB — 6iilA — zileB
3 r
— (g — 2 A f — if' + nAi)-iiM — 2. iy B-h
z i*n (g — 2 A f ) 2? -+• «f =0,
3 A1 -h 3 * ( 4 A f — g ) — 4 |3 ( A* -+- i ( 6 A f — 2 g )) —
I5a(g-JAf)-+-(3ZJ = o,
— i f ( g — 2 A f ) -+- 4 i >j A2 ( g — i/if) + yX!=o,
— 6 A2 -4- 1 o S A1 — 9 S A2 -+- S JCl = o ,
— 3 A1 H- |8 A1 -+- 1 6 y A1 — 5 f A2 -+- 4 q A4 -4- * JC2 = o ,
— 4/3 — 4}"+-4f — 5 » A2 -4- » X2 = o ,
— 4> — 2 i'(8 $_y — 4 ifijdy — 4 ^^5 /co1"- ^ll^\
■+- Y = o,
— A2 — i ( 2 A f -4- i f 2 -t- n A 4 ) — i p ( g — 2 A f — if*
•+- nAi)4-n'ii(g — iAf — if2 -+- nAi )x(A* •+■
2 i A f ) — 3 i2 y A2 ( 2 A -+- B) — 6 i'lr B — zi'pA-h
zil(g — 2 A f) -4- 6 i — v — — 1- Z = o j
par oil 1' on determinera les valeurs des coeficiens Kx ,
«e, j3, y , & , f, >;, Z2, «, » , t, /j, jAS&:=:-f,*:=4
•+* *A2,
34?
/t = »(ij + u-A-)*,' = - £- ■*• «( -£ ■+■ — — *)»
2 r 2
Y= 4>-h zi|3y -f- 4 z|3 fdy + 4i*yB { + » ,- .
Et Ton remarquera qu'il reftera encore deux indeter-
minees n &
i/f . d zdy ., , 3 . ,
I ^z»
350
ou bien (en mettant pour -~ & —r-% Ieurs valeurs appro-
chees — A*y & — Alz),
i' f ^ d z dy . , %
Et (i on fubftitue cette valeur de j- dans l'equation (n)
de r Art. LXXVII. , on aura
^ = — i(A-*-*f)y-t-f + «(A-+-tf)x(jy1-*-z»)
d y d t . __ , „
-i4(.,y' + iyi!-4I-^r)-na . . (s)
equation facile a integrer des qu'on aura les valeurs de
y & z en t . On fe fo jviendra feulement qu'il faudra ,
avant 1' integration , faire =s o tous les termes conftants.
De plus, (i on veut avoir 1' expreffion du rayon ve-
fteur u de l'orbite reelle , on fera u = a(i-4~iv),
& commea = rv'(i -+- ?2)> on trouvera v =y -i {*
-+- — y t '■> & mettant au lieu de y & { leurs valeurs
en y & z ,
v = y — iy* -+- — ilyi .
Ainfi le probleme ne dependra plus que de 1' integration
des equations
^+I'y + nY=0l . . . (t)
d* z
'•?. h Z'z + i'nZ=:o . . . . (u)
dr
LXXXI. Si on fait n = o , on aura le cas ordinaire
ou 1' orbite eft une ellipfe immobile.
35*
On trouvera done pour ce cas
y = A cof. ( K t — • A ) , & z = A fin. ( L t — E ) ,
A , A , A & E etant des conftantes.
Done i ,° A — — h1 A% & B = — A* A* {Art. LXXIX.),
2.0 fi on fubltitue ces valeurs de y & de z dans le fecond
membre de 1' equation (s), & qu'apres avoir developpe
les puilTances des Jinus & des cofnus on egale a zero tous
les termes conftans , on aura , aux quantites de l'ordre de
ir pres, f-wA (— A2 -+- — AT) = o} d'oii
f= — iA(I A1 -t-— A1),
z a
De forte qu'on trouvera , ( a caufe de
T. . ' d? J dt
dx
frfydt = (a caufe de — = — 2 A y , en negligeant les
termes affefris de i ) — x ; done on aura dans les limited
2
— '—, — - = i x ; & par confequent cof (ht — E )
fin. (.Ar - L) r *
— u fin. (At — E) = 0, ou bien cof. (At -*- ix - E) = o,
c'elk-
c' eft a-dire cof (? 6k donnera par la fubititution de la valeur
de y' le terme ' — - A' cof. [ (h -+- ik) t — A'], a caufe
de K' = h' -+- ik' & de H = h — *K\ de forte que la quan-
tite Y contiendra le terme A' cof [(h •+■ z'/tOf-A'],
lequel etant integre ( Art. XLII. ) donnera dans la valeur
de y le nouveau terme
or (h -*~ ik'Y — K* = (en mettant h -+- ik au lieu
de K , & negligeant les termes de Tordre de ?) 2 i (k' - k) h;
de plus on a , a caufe de * = o & f = -r ( — A ~\ — B\
r ' h N 2 1 '
( Art. LXXXL), k ^ ~ (?4-t- zAO (yfr/. LXXIX.),
& de meme k' = — 77 ( P' 4 -+- 2 A' 2 ) * done le terme
dont il s' agit deviendra
■—£? ^ A cof [(A-t-itfr-A'],
2 — (P'4 + iA'x)-1(P4-t-iAi)
555
ieqnel appartient , comme Ton voit , a la premiere valeur
de y .
On trouvera de meme dans la premiere valeur de y'
un terme contenant cof [(/*' -+- i k) t — A], & qui etant
fubftitue dans le meme terme inQj y' cof. Ht de la
quantite Y dpanera un terme de cette forme cof. [ {h -+- ik) t
— A ] , fivoir col! ( K t — A ») ; de forte que la nou-
velle valeur de y renfermera un arc de cercle {Art. XLII.).
Le meme inconvenient aura lieu , comme il eft aife de
s' en affurer , par rapport a tous les termes de Y & de
Z qui renferment y' , ou z' multiplies par cof. Ht , ou
• par fin. Ht. Tels font dans la quantite Y les termes
* ( Q 5 V cof- Ht "+- 2 h P 7fy' *in- Htdt-x h'BxJy'dt
Xfin. Ht -+- 4/1/1' A iffy dtXcoCHt dt) , & dans la
quantite Z le terme B 5 z' cof Ht. Ainu" il fera necef-
faire d' avoir egard a ces termes dans la premiere appro-
ximation des vaieurs de y 6k z .
On aura done en premier lieu 1' equation fuivante en y
. Kly -4- in ( Q 5 y' cof. Ht-hzk?7fy fin. Ht dt
— lA'Ba fy'dt X fin. Ht -t- 4 hh'Ayffy dt X cof Ht dt)
ou bien, parceque ffy' d t X cof. i/ * Jr — -rjfydtX&n.Ht
— -jrfy' Cm. Htdty
*tl +JC*y+in [Qj/coCtfrH-C^ A3-iA'Bi)
/Y
' fin. #r , ]
//'y
3J6
d*T
Or on a , aux quantiris de I'ordre de n pres, ■— -4-
K1 y = oj done on aura audi, dans la meme hypothefe,
^ ■+- K'W = o ; done i.<> ^ -+- JT* fVdt = oy d'oii
^/' ' d/ ' J
fy'dt = — ■=££- i 2.0 /^ fin. Jfcfc h- if*// fin. Htit
J J Kndi J dt% J J
= o } mais f ~- fin. H t d t = ~- fin. Jft - 7/y' cof. /ft
J dt% de J
— H'-fy fin. Ht dt ; done ^ fin. #t — #/ cof. #t
-*- {K* — Hz)fy' fin. i/f rfti par confequent // fin. i/rit
= [ ^ fin. Ht — Hy' cof. Ht ] : [ #* — K'1 ]. Done
fublrituant ces valeurs dans 1' equation precedence , elle
deviendra
cof. #, + (p^P7__^_Aj+— B*)
% fin. #f ] = o .
Enfuite on aura cette equation en z
d* z
— — f-I:z4- i'nB 5 z' cof Ht = o .
On trouvera de meme des equations femblables en y*
& z', fuivant la remarque de l'Art. LXXV1L, & Ton aura
ainfi quattre equations , lefquelles s' integreront , comme
1' on voit , par la methode de 1' Art. LVIII.
LXXX1V. Puifque H = h — h' (Art.LXXXK) &
K = h -+- iky L = h -+- il (Art. LXXIX. ) , & de
meme K = h' -+■ i k\ L = h! -+■ i /', on aura le cas
de I' Art. LX.
357
Done i.° fi on fait
M = n (Q 5 -4- ^-^ A 3 — ^q^ P 7 )
& de meme
enfuite
Af + NA' p/ M + Nb
& qu'on appelle mi, mi les racines de 1' equation
(m — /fc)x(m — £') — P F = o , enforte que
m i =
m 2
on trouvera {Art. LXII. & LXV.) que la premiere valeur
approchee de y fera de cette forme
(» i - *)F + PF " '/.
y = — col. ( h ■+• i m i ) t
J m i — m t.
(»i-*)G + PG' ,,
•+• fin. ( h •+- i m i ) t
m\ —mi
— — - — cof. (A + iffli)'
m i — mx
( *» i - /*') G -«- P G'
OT I — /WX
i.° Si on fait de meme
fin. (A-*-i«i)f. . (v)
Mifccl. Tom. III. zz
"8
& qu'on nomrae n i , n x les racines de 1' Equation
(/i — /)X(«-0 — Q Q' = o, enforte que
n i
i + r-yt( V-ry+ 4 Qj£)
on aura
J =^- col. ( h ■+• i n i ) t
n i -»i
=■_ fin. (h-t-ini)t
» i — » i N
(«2-/)B + Q_B' .
^ — ^- ^~ — col. (h-i- in i)t
fin. 1m %
sss x j> h , enforte que
p — — r- , & v = ;
%b xh
fuppofons de plus
F
Gi =
2 hr
(i-i')G + iPG'
ih> «
& nous aurons au lieu de 1' equation ( v ) celle-ci
y = F cof. ( i -4- i p) htX cof. / > A r
— .Fi fin. ( i -+- i fjt, ) A r X fin. * » A t
■+■ G fin. (i -4-i'jw)ArX cof i v A r
-f- Gi cof. ( i -4- i fx ) A r X fin. i v A r .
Soit maintenant
/" = & eof. « , G = J fin. * ,
fi = Ji cof. * i , G i = & i fin. « i ,
on aura
y sss I cof. [ ( i -+- i jx) ht — * ] X cof. i v A r
— & i fin. [ ( i -|- i y. ) A r — « i ] X fin. i i A r .
Soit encore
*i = et -t- »» , & S i s=/35,
on aura fin. [(i -+- * ^ ) A f — * i ] = fin. [ < i ■+- i /x) k t
— * ] X cof. t) — cof. [(i-+-£f*)Ar — * ] X fin. n ; done
y = S (cof. i'vAi -♦- j8 fin. ij fin. ivht) cof. [(i •+■ zju) ht — «t]
— S (3 cof. i) fin. i > A t fin. [ ( i •*- i p ) A t — « j .
360
Enfinfoit '^UU^m^Gn.irkt _ cof^, c'eft-a-dire
is col. a lin.it ht fin. •+
1 cot. it he
cot. \J/ = -r— -r e- tang. 1} ,
T /2 cof. » °
& nous aurons
y == S • [ (cof ivht -+- j8 fin. »j fin. zV&t)' ■+- (|3 c°fi n fin. wA*)*]
X cof. [(1 -4-i|t*)At-+-\}/ — *}
ou bien , en faifant
A = I V [ 4£il -+- -LZ^l cof. 1 £»At -+- 18 fin. q fin. z i»At]
& A = * — \J/ — j'jwAf,
y = A cof. ( A * — A ) .
De meme , ii on fait n 1 -*- n r = i p h , m — «i
= 1 j-A, enforte que
/ + /' V((/-/)- + 40^)
p = _r , cr = -3 ,
enfuite
_ (/-/QB -h *gB'
& de plus
i? = — X . fin. g , C = X cof. e ,
B \ = — X 1 fin. e 1 , C 1 = X 1 cof. f 1 ,
,_, - cor. i ht , '■
cot. c = - 1- tang, a,
enfin
A = Xv^[ ' "** y% " -4- i-Zl2L cof. liVAt -+■ y fin. a fin. z«-At]
& E = s — Z, — iphty
on aura par 1' equation ( x )
z = A fin. ( h t — E ).
36i
Voila done les valeurs de y & de z reduites a la me-
me forme que celles de 1' Art. LXXI. ; d' ou il eft aile
de conclure que 1' orbite de Jupiter eft un ellipfe , dans
laquelle i excentricite eft / A , le lieu de 1' aphelie A , la
tangente de 1' inclinaifon a 1' ecliptique i'A, & le lieu du
noeud afcendant E. II en fera de meme de 1'orbite de Sa-
turne , en marquant feulement les lettres d'un trait.
LXXXVI. II faudroit prefentement fubftituer ces valeurs
de y & de z dans les equations (q), ( r ) , & ( s ) de
1' Art. LXXX. , pour en deduire les expreffions des quan-
tites y , f, & xy & par confequent celles de r, q , 6V A t + v fin. a* fin. 2. i— fera ( — ) H ,— ; de mamere qu on
aura, en integrant ,(* ) z=z f (-)dt -+-/d(*), &
par confequent f(—)dt = (x) — /d ( x). Mais comrne
les differences des quantites A , A , A , & E , font de l'ordre
de in, la quantite fdrx) fera aufii du meme ordre, &
par confequent die pourra etre negligee, du rnoins dan*
3<5j
d r
la recherche preTente ; on aura done {Implement / ( ~ ) dt
= ( x ) ; done
x:==(*)-+-jf[ ' ~ fio. livAf - 8 fin. » (cof ihht - i )]
~H — [ ' — >', fin# x if fat — y fin. a (cof z It ht — i)],
& par conftquent
^=At + i(x) •+• -*' [ ' ~g' fin. % i r A i — j3 fin. r,
( cof. x iv ht — 0]~*~ 77 [ — fin* rirht-y fin. a
( cof. z ir fit — ')]*
oil 1' on remarquera que ht eft 1' angle du mouvement
moyen , & i ( x ) 1' equation du centre calculee a 1' or-
dinaire , & combinee avec la reduction a 1' ecliptique.
Or comme les coeficiens it & i & . , yt
/3 fin. n fin. i i v A r 1 H X1 [ — ( cof. i it ht — i :)
J 2 a
-t- }/ fin. co fin. i ir h t"]f
d' oil F on trouvera
« = Ar + i(jt) -+- 5' f ' ' ( fill, i'i t kt — z ivAr )
— /3 fin. » (cof. z iv ht — 0 1 -+- *+■ [ ( '~* fin. 1 *VAf
— 2 i • '
3*5
X [ 5 * ( i + F ) ■*■ V ( i +?:) ] , k = ~ (P4 -t- 2Az>
i£
n
& / = — A 4 ; de forte qu'on aura
i k = -j A ( P 4 ~+- i A i) , i I = — A A 4
&r de meme
ik! = -£ A' ( P' 4 -h a A' x ) , i? = — , A' A' 4 •
Si on vouloit employer 1' autre valeur de f , favoir —
— ( 5 8* -H V ), il faudroit alors rnettre dans les valeurs
de A & de B, V- au lieu de A% & Kz au lieu de A,
& Von trouveroit les memes expre/Eons de k & de L que
ci-devant.
3.- QUe Ltl = b = AJ -4- ig (An.LXXVI.) =
A1 a tres-peu pres, parceque g eft deja.une quantite tres-
petite ( Art. LXXIX. ). Done on aura aufli -~- M K* ,
., I+J' J> A" ,. j r
& par contequent = — z )( — = —, ou bien , a caule-
1 4 1 -¥■ J a' b1
que les mafTes / & J' de Jupiter & de Saturne font tres-
petites par rapport a celle du Soleil I , — = ~ , de for-
t' _>
te qu' on aura — = ( — ) ' .
Cela pofe , on commencera par determiner , fuivant la
methode de 1' Art. LXXIII. les eoeficiens A , B , C &c,
& P , Q , R &c. ; apres quoi on cherchera les valeurs
des quantites Ai, A3 , A4, Bi , B 5 , P4, P7, &:
Q (*— a'Q)
•»
R,_-L(,«±i-,R)
&c.
_ 3 , 1P-+-R ^x
QJ=± (a___Q)
R.-.X (a^_S-R)
&C.
ou bien , en faifant pour plus de fimplicite
P = 3 (a y — a*p)
q=3 (a^-a^Q)
r = 3 (a^i-a^R)
367
&c.
P1
i=
3
(a
1
P)
q»
=
3
(a
iP + R
2
—
Q)
r 1
=
3
(a
Q.+ S
_
R)
&c.
on aura
P! = Ei,Qj=a!,,R3 = y, &c.
De la on trouvera , par les formules de 1' Art. LXXV.,
P 4 = aT ( A -+• p )
**■
3<5S
P7 = aJ h -4. -+• x a» , 8c
' i z
^ , .. -.»A*.C! ipi+ri.
Q 5 =a'qi — a* ( 1 *- ) — i a*.
On trouvera de meme les autres quantites A'z, B'3 &c;
il n' y aura pour cela qu'a mettre dans les formules des
Art. cites , a au lieu de a & a au lieu de a' , & mar-
quer enluite toutes les auttes lettres d' un trait ; ce qui
donnera , apres les fublritutions ,
A'z = A — a —
z
1A-C 1
A 3 = a ;
z a*
A'4 = A — A'z == a —
z
B z == B — a -+- -
B' 5 = — a B ,
& enluite
d'oit
P'4 = At-p. -a^
zA-C ip-r z
Q'j = q - a (— — -4- — _) - -.
Eniin on trouvera par 1' Art. LXXXIV. , en mettant a
la place de H, h — //, a la place de K & de K' leurs
valeurs approchees h & h' , & la place de i n & de i n',
36?
iP =s — A ( Q y — 4 A j — i P 7 H- »Bi)
4*
,\P=-U'(Q'5 - 4A'} - zP'7 ■+- xB'O
4 *
v. 4I • ^4!'
Par ces valeurs de iP, * P' , j'Q, t'Q', & par les va-
leurs de : k , j /:' , i/, i /' trouvees ci-deifus , on trouvera
les valeurs de i p , i v , i p , if ( Art . LXXXV. ) & ces
memes valeurs etant enfuite multipliees par — , on aura
celles de i p , iv, i />', I 4 • cof. «
tang. * I = ( ^ _ k<) f +. 2pr cof. A)cc(.*—-xP$' fin. A - fin. *
V (( *_*')> J. -t- 4 (A - A')/>,Trcor. ^+4^r>)
o i = — 7 j
inr
Done (i on fait
( k — k' ) I -+- x P &' cof. A = S j cof. k
& z P J' fin. A = Is tin. u
on aura
o .„ cof. a • fin. * -h fin. « - cof. * fin. («-»-«)
i . tang, k i s= = s —
° cof. « - cof. « — fin. u - fin. * cof. («-»-«)
= tang. ( u •+• « ) j done * i =«-+-*, 8c par conic-
quent |s «,
3 7°
2.° is ^ fttUk TE A')S -4- 2.P&' cof ^)J
-+- ( 2 P 8' fin. A Y ] = 2 A v £ i = z A > /3 &' $ done
f n A » *
Done, fi on fait pour plus de (implicit^ -j- = b , on
aura
v'((/f-/f/-H2Pbcof.^)' + (2pbfin. A)')
G =
2h>
Pbfm.A J, if-i' + iPbcof. >4
lin. >j = — ,-- -r — , col. t? «= — .
huff ' 2A »/3
Et pour avoir les valeurs de /8' , fin. if , & cof n , il
n' y aura qu'a mettre k! au lieu de A, *' au lieu de ce ,
&' au lieu de & , & viceverfa , 6k marquer enfuite routes
les autres lettres d' un trait ; ce qui donnera , a caufe de
b =-f Sc A = *' — « ,
• [ ( A — A '-+-—- cof. AY -f. ( — fin. y?)1 ]
iP7
TV r ^ A' A -+• -r— Cof. y4
. T'hn. A r , b
fin. 9 = ■.,,-, , cof n =
£' =
bh't'tr 2AV/J'
Si on fait de merne e — e = E , & — = c, on trou-
vera par des procedes femblables
V {{!- l> + 2 f^cco(.E)' -f (iQcfin.E)')
^ aA>
ai
_,-).] -j. J^_ [ JLZ^I ( fin. ii ) /* a tres-peu
pres, c'eft-a-dire de (- fixil' X *-j fin. A ■+• - ih X iX'X /-^"
fin. E)TZ; ce qui donne , comme Ton voit , dans le mou-
vement de cette Planete une inegalite croilTante comme
les quarres des tems , & qui fera au bout de n revolu-
tions de
(- i$xi&'x V fin- ^ -+• A'XXiVx ^-fin. £) G3 °
89O764
D =
: 1 , 194032
S ==
7 1
3»577°
&c.
&c.
& enfuite
Ai = —
0 , 1 101 15
A'i =
1 , 310407
A3 =
O , 04 I 019
A'3 =
-!—
2 , 744109
A4 =
O , 473041
A'4 =
0 , 867697
Bi = —
O , I 43481
Bi ==
4 , 793415
B5 =-
O , 946083
B'5 =
—
1 > 735395
P =
3 j 997995
P « =
—
10 , 531304
q =
8 , 300535
q 1 =
17 , 850134
r =
7 > 3o6455
r 1 =
13 ■> 546971
P4 = -
0 , 131789
P'4 =
3 , 488506
P7 =-
0 , 1 84498
F7 -
7 > 537649
Q5 =
0, 700695
Q/5 =
1
' '
4, 3 5 4384-
Done, a caufe de y = — — = o, 000937207, &
J' 1
de — = = o , 0003 3 1016 , on aura
J 3011 '*
ik
b ~~
—
o , 000078191
V
—
o»
377
000406604
il
b ~~~
O , OOOO78293
if
y ~~
o»
000406606
iP
b ~~
O , OOOO5 1191
;P'
b' ~~
0,
000265 701
—
O, 000078193
—
o»
000406606
& 1'. on trouvera
if* = — ■ o , 0001 1098 1 if/ = — o, 000300553
Has o, 000085415 it' = o, 000112221
ip = o, 000120981 if = o, 000300553
iff- = o, 000120981 ir = o, 000300553
Or felon M. Halley on a pour 1'annee 1750
*5 = = o, 048218
510098
1 0 = = o, 057001
9J4007 "
iX = tang. i° 19' 10"
iX' = tang. i° 30' 10"
* = 6' io° 33' 46",
*' = 8' 19° 39' 58",
d' oil 1' on tire
b = 1, 181190,
c = 1 , 897715 ,
Si done on fubftitue ces valeurs numeriques dans les
formules de 1' Art. prec. on formera la Table fuivante ,
dans laquelle n eft le nombre des revolutions que Jupiter
ou Saturne a achevees depuis le commencement de 1' an-
n^e 1750. que nous avons prife pour epoque ; de forte
qu' il faudra faire n pofitif pour les terns qui fuivent
cette- epoque , 6c negatif pour ceux qui la precedent.
: O
, 0130
31
= O
, 0437
1 0
i
== V
8°
M'
49
t'
= 3J
ii°
10
5
A
= 79°
6'
1/
1 1
l
E :
= M°
/
4
l6 .
37§
5*
Table de la variation des elemens de Jupiter
& dc Saturne, fuivant la thiorie-
De J
upiter
De Saturne
Variation dc la plus grandc
equation du centre
-H
7 ,
4254*
— 3 1 ', 60S6 n
Variation de 1' inclinaifon
a l'ccliptique
i >
0030/2
■+■ a">7449"
Mouvemenr moyen de Taphelie
par rapport aux etuiles fixes
-f-
86",
63 1 1 n
-+-47i",8632 n
Inegalite croiitante dans
le muuvement de l'aphelic
-4-
01 6 2/2*
-+- 0", 1 1 4 1 n
Mouvemenr raoyen des neeuds
par rapport aux etoilcs fixes
-+-
86",
1075/2
— 256", 4655/2
■
Inegilite' croifljnte dans le
mouvemeni des nceuds
o", 0513/2*
— o", 0405/2*
Inegalite croiflante dan«
le mouvement en longitude
2 , 7401/2*
I 4", 1 2 I 8 /2*
*&
A 379
Addition
Pour les Articles LXXVI1L & LXXIX.
Nous avons dit dans le premier de ces deux Articles
que la quantite f^r d £ contient un terme , qui par 1' in-
tegration fe trouve divife par des quantites de 1' or-
dre de / ; & nous avons , en confequence , conferve les
termes oil cette •quantite fe trouvoit multipliee par i2n,
en rejettant toutes fois ceux , oil la meme quautite auroit
ete multipliee par il n . Mais il eft facile de fe convain-
cre par la fubftitution des valeurs de r , & de j ( Art.
LXXXIV. ) , que le divifeur du terme dont il s' agit
fera reellement de l'ordre de i n ; de forte que , (i on
veut avoir egard dans les valeurs de y & de z aux quan-
tites de 1' ordre de j'% il n' eft pas perm is de negliger les
termes de l'ordre de i*n, oil fe trouve la quantite J ■V J j-;
car 1' integration reduira a 1' ordre de iz les coeficiens de
ces termes. II en fera de meme de quelque termes de
l'ordre de i qui fe trouveront dans la quantite nf" &c. £x , il fera aife de trouver, par la remarque pre-
cedente , la forme de la derniere transformee , d' oil Ton
tirera ailement la valeur de V"" &c\ Je ne fais, Monfieur,
qu'indiquer 1' operation , qui feroit tres - fimple & tres-
courte ; vous fupplerez aifement a ce que je ne dis pas.
I I.
Vous me marquez que lorfque y =/■+- Ax, f & h
e^ant des conftantes , vous trouvez moyen de fatisfaire a
1' equation ( * — y ^ -— i )
= x M v — j , en prenant
ale. Voici d' abord
comment j'arrive a votre formule.
Je confidere en premier lieu que ( i -*- hV — i )m =
A -+- B V — i , A 8>c B etant les cofinus & finus de m
fois 1' angle dont la tangente eft h ; c' eft ce que j' ai
demontre le premier dans les Mem. de Berlin 1746. &
ailleurs ; done fi ( 1 -♦- k V- 1 )" — ( 1 — hV — 1 )*=o,
on aura B = o , done B eft le finus de fi x , t etant
la demi-circonference , & ju un nombre entier pofitit ou
negatif j done fi h = tang. 6t, on aura (j. t = mfi?,
done m = -j- .
Je confidere en fecond lieu, que log. ( x -+• h xV — 1)
— J°g- (x-b/-i)= log. ( —j^z 7) = ? V - l
dh
f — sb 1 V — i x 6 t . De la il eft aile- de voir que
ft on fait „(*) =MX°*^hx) + A{f+ i»)' ■+■
i? , on aura
x , & en-
fuite f-»rhx au lieu de y.
if
Or il eft aife de voir qu'au lieu de A (/-4- g jc ) *
dans la vak'ur de q> x , on peut £crire une fuite de ter-
mes tels que A[(f -t- g x) 9 -t- K~\>, A &c \ etant des
eonftantes arbitraires , & / , k des nombres entiers poll-
384
tit's 011 negatife. On peut meme ^crire dans tous, ou dans
plulieurs dc ces termes ( que j' appelle £ pour abreger )
& au lieu de £ .
On remarquera de plus que G peut avoir une infinite
de valeurs ; car ibit 6 tt le plus petit angle dont la tan-
gente elt h , cette tangente fera auili celle de 1' angle
(0^Hz«)t, n etant un nombre quelconque poiitit" ;
done au lieu de 0 on peut mettre G ~*~ 2 n . Par la m&-
ip .. • , M log. (/"-*- *> *)
me ration au lieu du terme ~ , on pourra
l'ubltituer une fuite-de termes A log. (/-+- h x )r -+•• A log.
(/-+- h x )r' -+- &c, pourvu que Ton ait M = Ar ($ -±-- ?■ n) it
-+- //(6+m> &c.
En general on pourra troiiver par une methode fembla-
ble la valeur de
/ — 1 a la putt
fance m -*- k v' — 1 on aura , fuivant mes formules des
Mem. de Berlin 1746., ( * H- /3 A v7 — .,)«•+-* W _ . _
A + BV — 1 , A etant [ ( ** -+- /32 /r) ^c ~ *(J'r±inT)]
X [ cof. ( it log. • ( ccl -+- /3J h* ) -4- m(e±i«)j)],&
B=\ (d'-t-fi1^) T f-M'**"')]fin. [it log. •(**-+-
/32 A* ) -H m ( G :+- 2 n ) 7T "| i on trouvera de meme la va-
leur de A' T & celle de B' en a & en /3 &c. j & il ne
reitera qu'a faire a ^ ■+- «' ,4' + a" ^4" -4- ckc. = oj
b B -+- b B' -+- b" B" -+- &c. = o, ce qui dormera tou-
jours m & k, au moins par une conllru&ion geometriqne;
d'oii il fera facile de tirer, pan une methode fembiable a
la precedente, la valeur de k. De meme fi on fait b log.
( a. -+- (3 • — 1 ) M- b' loo;. ( *' -+- (8V — 1 ) -+- &c. =
z M ■+• 2 N V — 1 (M St N etant donnecs ) on de-
3«5
rerminera b & U par une femblable methode ; je n' en
prefente ici , Moniieur , que . 1' efprit & 1' idee generale ;
cette legere idee fuffit a un auffi grand Geometre que vous ,
pour voir tout ce qu'on en peut tirer.
Si au lieu de x on mettoit une fonftion quelconque X
de x , enforte que a
/ - i
= ^ t+* B >/ — i , &c, on auroit a u ( A -*~ B V — i )
-i- a'a ( A' -*~ BW — i) '■+• &c. = jVf. Mais en voila aflez
fur ce fujet
Au relte , ces formules ne peuvent avoir , ce me fem-
ble , aucuue application pour trouver le imouvernent d' un
fluide dans un vafe dont les parois auroient pour equation
y = j '-i- h x ; 8c on peut meme remarqucr , que toutes
les fois que i' equation des parois donnera y = o pour
r.ne / - i )
— cof. Ni -+- l(jSl. _ (x,^),) Xw cof JVC. Done prenanr,
par exemple, k cof N % pour la premiere valeur de t , il
n' y a qua i .° augmenrer & diminuer fucceffivement JV"
de •+- p & de — p, multiplier h par — — & divifer le
produit par Nl moins le quarre du coeficient de £. a.° ecrire
chaque terme ainfi trouve , 1' un dans une colonne verti-
3*7
cale a droite , 1'autre dais une colonne verticale a gauche ,
de celui qu'on vient d' avoir par l'operation precedente , &
fous la colonne dont le terme le plus haut e.t k cof. Nz ,
mettre de flute les coeficiens de col*. Nz femb'.ables a ceux
qu'on vient d' indiquer , & qui peuvent le reduire a un
feul, favoir -+- *»(N'-^-/>') coC N z . De la il ell
aife de voir que le terme k col. Nz produira les termes
g k cof. (Nr. ±pz) pp k col. ( N?jryt)
/j' /f cof. (N« + 3 /* z)
T i.i.i.( N'-( N ± 3 /> y )<( N> - ( N ± i/>)l)X( Nl- ( H±py)
$*k cof. (Nz + 4 p z )
■ .. i« (NMN±4/'),)X(N'- (N±3^)')X(N'-(^*i/'),)xC &-(K±py)
— &c, le ligne-+- etant pour les colonnes a droite de celle oil
eft h cof iVy, & le figne — pour les colonnes a gauche.
A 1' egard du terme k cof. N { , il fera de meme luccef-
r , . a k cof. Nz
iivement auemente des termes -+• — r-o ttf rr-
° 2 ( N' — ( n ± p y )
a t?t cof. Nz /j'^cof.Nz
i.i. ( N* - ( N * i/O'M A"' - ( N ± /> )* ) i.i.i. <">v.
lefquels en produiront eux memes de nouveaux , analogues
a ceux que le terme k cof iV^ a produit. Vous verrez
aifemcnt , Monheur, par cette vue generate, comment on
peut trouver facilement les differens termes fuceellifs de la
ferie qui exprime la valeur de t . Si on avoit X -*- p = N-,
le denominates feroit = o ; en ce cas au lieu des qua-
tre nouveaux termes que le terme a cof ( X z -*- p i )
produit dans la valeur de t, il faudroit feulemenr changer
le confident N de Nz en un autre N , tel que N'z tut
=ss N'~ h- — - , k! etant le coeficient de cof Nz dans la va-
leur de t trouv^e par les operations precedentes, 6k R le coe-
ficient du terme R cof ( iV"{ rb p{ ) qui multiplie par /3 cof />{
388
donnera dans la differentielle un nouveau ter me de la for-
me d {* col'. N {. Le fondement de cette methode le trou-
ve dans mes Reeherches fur le fifteme du monde pag. 37.,
144., 245. &c. II faut cependant apporter a ce que je
viens de dire , une modification fuffifamment expliquee a
la page 141- de ce meme Ouvrage & qui fait diftinguer
les cas oil le denominateur N* — ( X -+- p )- devenant = o,
change (implement le confident K , & ceux oil il donne
reellement des arcs de cercle dans la valeur du rayon.
I V.
J' ai lu , Monfieur , avec autant'de plaifir que de fruit,
votre belle Piece fur la libration de la Lane bien digne
du prix qu'elle a remporte ; elle m' a fait faire fur la fo-
lution de ce probleme plufieurs reflexions qui me.meneroient
trop loin ; je me bomerai a une feule qui a rapport au
probleme de la preceflion des equinoxes , lequel eft du
meme genre que celui de la libration de la Lune ; c' eft
que toutes les folutions qu'on a donnees jufqu'a prefent de
ce probleme, ont une imperfection dont perfonne he s'eft
appergu. Pour la faire connoitre en peu de mots , fuppo-
fous que les deux equations du probleme foient
*■ df = d(de col', r-) ■+■ k! d 1 d ( fin. * ) .... (J) &
ddv = Tdf - d r cof it fin. it -+- k' d e d { cof *■ . . (2?);
■"f' & r etant des fonftions qui dependent des forces per-
turbatrices . En reduifant , comme on le fuppofe ordmai-
rement , ces equations a
+ d{ = k'd (fin. t) & Tdi — k'de cof it = o,
d e & d it ne feroient point egaux a zero , lorfque { = o;
il eft pourtant aife de voir qu'ils le doivent etre.
Pour fe tircr de cette difficulte, il faut integrer ces equa-
tions plus rigoureufement ; d' abord on fuppofera -n = itf
-+- a. , it' dtant la valeur de 'it lorfque { = o , Sc a une
quantite fort petite , & on aura, en negligeant les t'ermes
trcs-
389
trespetits,& fuppofant pour plus deg^neralite — - = (jl lorl-
que i = o, de = *&& -+- [x d z — k! t-i^- } &
dd* -t- ce/:'1^ — f AS* — *> cof. T {* - IV{1
Cof. IT
dec
Done faifant encore -- = v lorfque £ = o
on
aura la valeur de a. par les methodes d' integration connues ,
& enfuite celle de d s . Si on fuppofe p & v = o , ces
valeurs feront = o , lorfque ^ = o , comme elles le doi-
vent etre; & en negligeant dans les valours de <* & de e-
les termes tres-petits , on retombera dans les memes valeurs
que donneroient les equations ^ i { = k! d { fin. it &
t d i -+■ d t k! cof it = o .
V.
Je fuis charme que nous foyons enfin prefque abfolu-
ment d' accord fur le probleme des cordes vibrantes. Vous
avez reconnu , fuivant ce que vous me dites , que la folu-
tion ne peut avoir lieu , comme je le pretendois , fi les
branches alternatives ne font pas aflujetties a la loi de
continuite ; vous y mettez feulement une reftriclion , la
folution peut avoir lieu , felon vous , fl la courbe initiale
n' eit aflujettie a aucune equation , pourvu que dans ceite
courbe —~ ne faffe de faut nulle part dans la courbe ini-
tiale , ni dans les branches alternatives . Mais comment
concevez vous qu'il puifle ne point y avoir de pareils fauts
dans une courbe ttacee au hazard , & qui ne fera aflujet-
tie , comme vous 1' exigez , a aucune equation ? II me pa-
.ro.it que cette propriete ne peut appartenir qu'a une cour-
be reguli^rerr.ent tracee , & aflujettie a une equation ; en
effet pour que —~ ne rafle de laut nulle part , il taut qu'en
Mifcel. Tom. III. d d d
39°
prenant une partie infiniment petite de la courbe partout
ou Ton voudra, & y faifant commencer Ies coordoiinees ,
on piiilTe fuppofer que dans cette petite portion y fojt
egale a A -t- B xm -h C xn H~ Dx? ■+- &c. Prenons
maimenant une petite partie contigue a celle-la , on aura
par la meme raifon y = A >+■ B'xm' -+- Cxn •+- D V
-t- &c. Or fi les expofans m & m , n &c n, p & p &c.
if etoient pas les memes , & fi les coefficiens A 6c A' ,
B & B' , C &c C &c. n' etoient pas tels qu'il doivent
etre pOur appartenir a une courbe continue , il y auroit
un faut dans quelqu'un des -j—h au point commun qui unit
ces deux parties infiniment petites. Done puifqu'on fuppo-
fe qu'il ny a point de faut dans ~ , il s' enfuit que ces
deux parties , & par la m&me raifon toutes les fuivantes
"a droite & a gauche, font affujetties a une meme equa-
tion. D' ailleurs .quand il feroit vrai que la folutron feroit
applicable a. cettaines courbes tracees au hazard, comment
s'afTurera-t-on que dans ces courbes — n'y fera point de
faut? condition neceffaire , felon vous , pour que la fola-
tion foit applicables a ces courbes. Vous trouverez, Mon-
sieur , beaucoup d' autres reflexions fur cette matiere dans
un long Memoire que je delline au quatrieme Volume de
mes Opufcules. En attendant je delire beaucoup de fayoir
votre avis fur les obfervarions que f ai 1' honrieur de vous
prqpofer , tk je ne defire pas morns que cet avis nous
rapproche entierement quant au point fur lequel nous diffe-
rons encore, & qui me femble purement metaphyfique.
Je ne penfe pas au refte que la folution ne puiffe avoir
lieu dans une 'coiirbe a equation , fi elle n'elt reprefentee par
y = ct (in. ir x -f-,/8 fin. i it x -+~jy (in. 3 it x -+- &c.yJ. >
a la maniere de M. Daniel Bernoulli, . II me paroit evi-
391
dent au contraire que la folution peut avoir lieu dans
b.\i.:coup d' autres combes , par exemple dans celle qui
auroit pour equation y = a. fin. it x * , a etant fort petit,
& p , q des nombres impairs , tels que p foit ^> q , afin
que dy ne foit nulle part = oo , ce qui eft contre 1' hy-
pothefe , fur laquelle la folution eft appuy^e. Je fais que
dans ces courbes il y auroit quelqu'un des — - qui feroit
infini ; mais cela n' empeche pas , ce me femble , la folu-
d" y
tion d' etre bonne , il fiifrit que — ne fafle point defaut,
c'eft-a-dire ne paiTe pas brufqucment du fini a P infini , ou
de 1' infini au fini , ou d' une valeur finie a une autre va-
leur finie.
VI.
Votre formule pour exprimer par une fuite fans imagi-
haires la valeur de
*
39*
.*■ , d'(px d'tox
'•+• &c.
Done
(*-+-.v) — [
*],
ou
x d"-*-'(px
lieu de — r — , r— r— = y — 7-r-t- y — -1— -r-
dx» ' dx" dx" J dx" J 2 dxn+'
d* "*■ 2
V- 1
d'zx = ayl -j^ -f- by
y) - 3
x 0
q> (x — y) = i